高中数学1 3 1单调性与大小值课件新人教版必修12ba

1．3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性目标要求热点提示1.了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法．

2．能用文字语言和数学符号语言正确描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点.本节是研究函数的单调性及其应用，学习时应注意以下几点：(1)要结合特殊函数实例，利用图象的形象直观，从感性上认识函数图象具有上升或下降的变化趋势；(2)函数单调性是用严谨的、定量的数学符号语言描述地，必须结合实例准确地把握；(3)判断或证明函数单调性，需要综合运用其他知识(如不等式、因式分解、配方法、数形结合等)，应注意复习相关知识.德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立

即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较

快，以后逐渐缓慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的

艾宾浩斯记忆遗忘曲线(下图)．艾宾浩斯记忆遗忘曲线这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了．这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”．通过这条曲线能说明什么数学问题呢？1．增函数和减函数的定义设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的

任意两个自变量的值

x1，x2，当x1<x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的x1，x2，当x1<x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．f(x1)<f(x2)任意两个自变量的值f(x1)>f(x2)2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是

增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的

单调区间．1．函数y＝2x－2在R上A．是增函数

C．既是增函数又是减函数答案：A(

)B．是减函数

D．不具有单调性2．函数y＝f(x)的图象如右图所示，其增区间是(

)A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]答案：C3．函数f(x)在R上是减函数，则有(

)A．f(3)<f(5)C．f(3)>f(5)B．f(3)≤f(5)D．f(3)≥f(5)解析：∵函数f(x)在R上是减函数，3<5，∴f(3)>f(5)．答案：C4．函数y＝1－x的减区间是

．5．求证：函数f(x)＝2x2在[0，＋∞)上是增函数．证明：设0≤x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x－2x＝2(x1－x2)(x1＋x2)．∵0≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋x2>0.∴f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)＝2x2在[0，＋∞)上是增函数．9类型一

函数单调性的判断与证明【例1】

求证：y＝x＋x(0<x≤3)为减函数．证明：任取x1，x2∈(0,3]且x1<x2(即x2－x1>0)，2

1

2

9x21x12则f(x

)－f(x

)＝x

＋－(x

＋9

)＝x

－x1＋9(x1－x2)x1x2x1x2＝(x

－x

)(1－

9

)＝(x

－x

)·2

1

2

1x1x2－9x1x2.∵x2－x1>0，x1x2>0,0<x1<x2≤3，∴x1x2<9，有x1x2－9<0，∴f(x2)－f(x1)<0，故f(x)在(0,3]上为减函数．类型二

求函数的单调区间【例2】

求函数f(x)＝－2

9－4x2的单调区间．解：设9－4x2＝t(t≥0)，3

3由9－4x2≥0，得－2≤x≤2.33当－2≤x≤0时，随着x增大，t增大；当0<x≤2时，随着x增大，t减小．又函数y＝－2

t在[0，＋∞)上是减函数，3所以，f(x)＝－2

9－4x2在[－2，0]上是减函数，在3(0，2]上是增函数．3即函数f(x)的单调减区间为[－2，0]，单调增区间为(0，2]3

．温馨提示：求函数的单调区间时，要先求函数的定义

域，因为单调区间是定义域的子集，如果函数是复合函数，那么可将函数分解成基本初等函数，然后利用“同增异减”的原则求解．类型三

利用函数的单调性求参数取值范围【例3】

已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．思路分析：由题目可获取以下主要信息：①所给函数为二次函数，且含有参数；②函数在区间(－∞，4]上是减函数．解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解．解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.温馨提示：(1)二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便．(2)已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法．类型四

抽象函数的单调性问题【例4】

已知函数f(x)对任意x、y∈R，总有：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0.比较f(－2)与f

1

的大小．(8)思路分析：如果能够推导出原函数的单调性，那么这个问题就能迎刃而解，此题的关键是如何推证出该函数的单调性．解：先来考察该函数的单调性．∵f(0)＋f(0)＝f(0)(令x＝y＝0)，∴f(0)＝0，又令y＝－x得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．设x1，x2∈R且x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x2－x1>0，依题意x>0，f(x)<0.∴f(x2－x1)<0，即f(x2)<f(x1)，∴y＝f(x)在R上为减函数．∴f(－2)>f(8)1

．温馨提示：研究抽象函数的单调性问题，仍采用特值法，即给变量赋予特殊值．不过在这里为了比较f(x1)与f(x2)的大小，往往需要把x1用x2＋(x1－x2)来代替，再注意到题目中所给的条件，顺利地放缩即可．判断并证明f(x)＝xx2＋1在(0，＋∞)上的单调性．①当0<x1<x2≤1时，x2－x1>0,1－x1x2>0，则f(x2)－f(x1)>0.∴f(x)＝xx2＋1在(0,1]上是增函数．②当1≤x1<x2时，x2－x1>0,1－x1x2<0，则f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)＝xx2＋1在[1，＋∞)上是减函数．(1)y＝

－x2＋2x；(2)y＝求下列函数的单调区间：1x＋1.1(2)将函数y＝x的图象向左平移1个单位得函数y＝1x＋1的图象，如下图所示．观察图象，得函数y＝1x＋1的单调递减区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)．本例中，若将函数“在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？解：由例题知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，a＝－3.,xf(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f(y)＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f(1x－3)≤2.1．函数的单调性是一个“区间概念”，如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，但不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数．例如：函数f(x)＝11但不能说f(x)

(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，因x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，＝x在为当x1＝－1，x2＝1时有f(x1)＝－1<f(x2)＝1不满足减函数的定义．2．判断函数单调性的常用方法

(1)定义法；两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减