安徽省六安市霍邱二中高二下学期第一次段考数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2015—2016学年安徽省六安市霍邱二中高二（下）第一次段考数学试卷（文科)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i为虚数单位，在复平面内复数对应点的坐标为(）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．(2，2） D．(﹣2,2）2．若复数z=(a2+2a﹣3）+（a﹣l）i为纯虚数(i为虚数单位),则实数a的值为()A．﹣3 B．﹣3或1 C．3或﹣1 D．13．已知圆的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中,该圆的方程为(）A．ρ=2cosθ B．ρ=2sinθ C．ρ=﹣2cosθ D．ρ=﹣2sinθ4．在极坐标系中,点（，)到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A． B． C． D．25．直线（t为参数）与曲线ρ=1的位置关系是(）A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定6．下列推理：①由A，B为两个不同的定点，动点P满足｜PA｜﹣|PB｜=2a＜|AB｜,得点P的轨迹为双曲线；②由a1=1，an=3n﹣1，求出S1，S2，S3猜想出数列｛an}的前n项和Sn的表达式；③由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=abπ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．其中是归纳推理的命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．年劳动生产率x（千元）和工人工资y（元）之间回归方程为y=10+70x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均(）A．增加70元 B．减少70元 C．增加80元 D．减少80元8．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验()A．H0:男性喜欢参加体育活动B．H0：女性不喜欢参加体育活动C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关9．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．若不等式f（x)≤6的解集为{x｜﹣2≤x≤3｝，则实数a的值为()A．1 B．2 C．3 D．410．用反证法证明命题“设a，b∈R，|a|+｜b|＜1,a2﹣4b≥0那么x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1”时，应假设（)A．方程x2+ax+b=0的两根的绝对值存在一个小于1B．方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一个大于等于1C．方程x2+ax+b=0没有实数根D．方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都不小于111．曲线C：(θ为参数）上的点到其焦点的距离的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．3﹣ D．112．已知a＜0，b＞0，则使不等式|a﹣｜x﹣1｜|+|｜x﹣1｜﹣b｜≥｜a﹣b｜等号成立的条件是（）A．﹣b≤x≤b B．1﹣b≤x≤1+b C．x≥1+b D．x≤1﹣b或x≥1+b二、填空题，（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．)13．在比较两个模型的拟合效果时,甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0。85，则拟合效果好的模型是．14．定义运算=ad﹣bc，则符合条件=2的复数z=．15．若|x+1|+|x﹣3｜＞k对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围为．16．某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域｛（x，y)｜x≥0，y≥0｝内植树，第一棵树在点Al（0，1)，第二棵树在点B1(1，1)，第三棵树在点C1（1，0），第四棵树在点C2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么：（1）第n棵树所在点坐标是(44，0），则n=．(2）第2014棵树所在点的坐标是．三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．研究性学习小组为了解某生活小区居民用水量y（吨)与气温x(℃）之间的关系，随机统计并制作了5天该小区居民用水量与当天气温的对应表：日期9月5日10月3日10月8日11月16日12月21日气温x（℃)1815119﹣3用水量y（吨)5746363724（Ⅰ)若从这随机统计的5天中任取2天,求这2天中有且只有1天用水量低于40吨的概率(列出所有的基本事件）;（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程中的,试求出的值，并预测当地气温为5℃时，该生活小区的用水量．18．在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，)，B(3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程;（2)已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．19．已知a＞0,求证：﹣≥a+﹣2．20．某学校为调查高三年学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图(1）和女生身高情况的频率分布直方图（图（2)）．已知图（1）中身高在170～175cm的男生人数有16人．（I）试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人?（II）根据频率分布直方图,完成下列的2×2列联表，并判断能有多大的把握认为“身高与性别有关”？≥170cm＜170cm总计男生身高女生身高总计参考公式：K2=p（K2＞k)0。500.400。250。150.100。050。0250.0100。0050。001k0.4450.7081。3232.0722.7063.8415.0246。6357.87910.8321．已知曲线C的参数方程是(α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且｜PQ｜=，求实数m的值．22．对于任意实数a（a≠0）和b，不等式｜a+b|+|a﹣2b｜≥|a|(｜x﹣1|+|x﹣2|)恒成立，试求实数x的取值范围．

2015—2016学年安徽省六安市霍邱二中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知i为虚数单位，在复平面内复数对应点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．(2，2） D．(﹣2，2)【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：=,则对应的点的坐标为（1，1），故选：A2．若复数z=（a2+2a﹣3)+（a﹣l）i为纯虚数（i为虚数单位）,则实数a的值为（)A．﹣3 B．﹣3或1 C．3或﹣1 D．1【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接由复数z的实部等于0且虚部不等于0列式求解实数a的值．【解答】解：∵复数z=（a2+2a﹣3)+（a﹣l）i为纯虚数,则,解得a=﹣3．∴实数a的值为﹣3．故选：A．3．已知圆的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,该圆的方程为（）A．ρ=2cosθ B．ρ=2sinθ C．ρ=﹣2cosθ D．ρ=﹣2sinθ【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】计算题．【分析】法一:利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y,ρ2=x2+y2，进行代换即得圆的极坐标方程法二:设M（ρ，θ）是圆C上任一点，∠MOx=θ，利用直角三角形而出ρ,θ关系式即可．【解答】解:法一：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换，圆的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，所以ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．法二：圆的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0,即x2+(y﹣1）2=1，设M(ρ,θ）是圆C上任一点，∠MOx=θ，若θ为钝角，则sin(π﹣θ）=sinθ所以2sinθ=ρ．故选B．4．在极坐标系中，点（,)到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（)A． B． C． D．2【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】把点A的极坐标化为直角坐标,把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离．【解答】解：点A（，）的直角坐标为（1，1）,直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的直角坐标方程为x﹣y﹣1=0，利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离为，故选：A．5．直线（t为参数）与曲线ρ=1的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程后,发现曲线C为圆，找出圆心坐标和圆的半径，又把直线l的参数方程化为普通方程后，利用点与圆位置关系，判断即可．【解答】解：将曲线C的极坐标方程ρ=1化为直角坐标方程得x2+y2=1,故知曲线C为圆，其圆心坐标为（0，0)，半径r=1．将直线的参数方程化为普通方程得：y=ax+2a．恒过(﹣2，0）点．点在圆外,故直线l与圆C的位置关系不能确定．故选：D．6．下列推理：①由A,B为两个不同的定点，动点P满足｜PA|﹣|PB|=2a＜｜AB|，得点P的轨迹为双曲线；②由a1=1,an=3n﹣1，求出S1，S2，S3猜想出数列{an｝的前n项和Sn的表达式；③由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=abπ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．其中是归纳推理的命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】归纳推理．【专题】推理和证明．【分析】根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．【解答】解：①由A,B为两个不同的定点，动点P满足|PA|﹣|PB|=2a＜｜AB｜，得点P的轨迹为双曲线,是一般到特殊的推理，是演绎推理；②由a1=1，an=3n﹣1,求出S1，S2，S3猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式，是特殊到一般的推理，是归纳推理；③由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=abπ,是特殊到特殊的推理,是类比推理；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇，是特殊到特殊的推理,是类比推理；故归纳推理只有1个，故选：B7．年劳动生产率x（千元）和工人工资y（元）之间回归方程为y=10+70x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均（）A．增加70元 B．减少70元 C．增加80元 D．减少80元【考点】线性回归方程．【专题】应用题．【分析】根据回归直线方程，当x增加1时，y要增加70,从而可得结论．【解答】解:由题意，年劳动生产率x(千元）和工人工资y(元)之间回归方程为y=10+70x，故当x增加1时,y要增加70元，∴劳动生产率每提高1千元时，工资平均提高70元，故A正确．故选A．8．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验（)A．H0:男性喜欢参加体育活动B．H0:女性不喜欢参加体育活动C．H0:喜欢参加体育活动与性别有关D．H0:喜欢参加体育活动与性别无关【考点】独立性检验．【分析】独立性检验是一种假设性检验，假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性）无关，在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果K2很小,则不能够肯定或者否定假设，反之，则在一定程度上说明假设不合理,即认为两个变量在一定程度上有关．【解答】解析：独立性检验假设有反证法的意味,应假设两类变量(而非变量的属性）无关，这时的K2应该很小，如果K2很大，则可以否定假设,如果K2很小,则不能够肯定或者否定假设．9．已知函数f（x)=｜2x﹣a|+a．若不等式f（x）≤6的解集为｛x|﹣2≤x≤3}，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由不等式f(x）≤6可得,解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值．【解答】解:∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故有不等式f（x）≤6可得|2x﹣a｜≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x)≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴a=1，故选:A．10．用反证法证明命题“设a，b∈R，|a｜+|b|＜1，a2﹣4b≥0那么x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1”时,应假设（）A．方程x2+ax+b=0的两根的绝对值存在一个小于1B．方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一个大于等于1C．方程x2+ax+b=0没有实数根D．方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都不小于1【考点】反证法．【专题】阅读型．【分析】结合反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，然后进行判断即可．【解答】解:由于“都小于1”的反面是“至少有一个大于等于1",所以用反证法证明“设a，b∈R，|a｜+|b|＜1，a2﹣4b≥0那么x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1"时，应先假设方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一个大于等于1．故选B．11．曲线C：（θ为参数)上的点到其焦点的距离的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．3﹣ D．1【考点】椭圆的参数方程．【专题】转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】把参数方程化为普通方程，求出a、c的值，再根据椭圆上的点到其焦点的距离的最小值为a﹣c，得出结论．【解答】解：曲线C：(θ为参数），即+=1,∴a=3,b=2,c==，它上的点到其焦点的距离的最小值为a﹣c=3﹣，故选：C．12．已知a＜0，b＞0，则使不等式|a﹣|x﹣1｜|+|｜x﹣1|﹣b|≥｜a﹣b|等号成立的条件是（)A．﹣b≤x≤b B．1﹣b≤x≤1+b C．x≥1+b D．x≤1﹣b或x≥1+b【考点】绝对值三角不等式．【专题】选作题;转化思想；演绎法；不等式．【分析】由题意（a﹣｜x﹣1|）(｜x﹣1|﹣b）≥0，利用a＜0，b＞0，可得|x﹣1|﹣b≤0，即可得出结论．【解答】解：由题意（a﹣|x﹣1|)（｜x﹣1|﹣b）≥0，∵a＜0,b＞0，∴|x﹣1｜﹣b≤0，∴1﹣b≤x≤1+b，故选B．二、填空题，(本大题共4小题,每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．)13．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0。85,则拟合效果好的模型是甲．【考点】相关系数．【专题】阅读型．【分析】根据相关指数R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好,又有甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0。96和0.85,可以看出甲模型的拟合效果好．【解答】解：∵相关指数R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，又∵甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0。96和0.85,0。96＞0.85∴甲模型的拟合效果好,故答案为：甲14．定义运算=ad﹣bc，则符合条件=2的复数z=2﹣2i．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题；转化思想;定义法；数系的扩充和复数．【分析】根据新定义计算即可．【解答】解：∵定义运算=ad﹣bc，则符合条件=2,∴2i+z=2,∴z=2﹣2i,故答案为：2﹣2i15．若｜x+1｜+|x﹣3｜＞k对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（﹣∞，4）．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；函数的性质及应用;不等式的解法及应用．【分析】｜x+1｜+|x﹣3|＞k对任意的x∈R恒成立,等价于（|x+1|+｜x﹣3|）min＞k，利用不等式的性质即可求得最小值．【解答】解:｜x+1｜+|x﹣3｜＞k对任意的x∈R恒成立,等价于（｜x+1｜+|x﹣3｜)min＞k，∵｜x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3)｜=4，∴k＜4，即实数k的取值范围是(﹣∞，4),故答案为:（﹣∞，4)．16．某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域｛(x，y)|x≥0，y≥0｝内植树，第一棵树在点Al（0，1），第二棵树在点B1（1，1）,第三棵树在点C1(1,0)，第四棵树在点C2(2，0),接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树,那么：(1）第n棵树所在点坐标是（44，0），则n=1936．（2）第2014棵树所在点的坐标是（10,44）．【考点】归纳推理．【专题】推理和证明．【分析】(1）将OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，归纳出第二个正方形，第三个正方形种植的棵树，由第n棵树所在点坐标是（44,0),可求n；（2）由(1）可知正方形种植的树，它们构成一个等差数列，公差为2，计算出前43个正方形共有多少棵树，从而得到第2014棵树所在的点的坐标．【解答】解：（1）OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树,依次下去，第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树，由第n棵树所在点坐标是（44，0），则n=3+5+7+…+89﹣1=1936；(2）由（1)可知正方形种植的树,它们构成一个等差数列，公差为2．故前43个正方形共有43×3+×2=1935棵树，又2014﹣1935=79，79﹣44=35,45﹣35=10，因此第2014棵树在（10，44）点处．故答案为：（1）1936（2）（10，44）三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．研究性学习小组为了解某生活小区居民用水量y（吨)与气温x（℃）之间的关系,随机统计并制作了5天该小区居民用水量与当天气温的对应表：日期9月5日10月3日10月8日11月16日12月21日气温x（℃）1815119﹣3用水量y(吨）5746363724（Ⅰ）若从这随机统计的5天中任取2天，求这2天中有且只有1天用水量低于40吨的概率（列出所有的基本事件）；(Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程中的，试求出的值，并预测当地气温为5℃时，该生活小区的用水量．【考点】回归分析．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（I）用列举法写出从5天中任取2天的所有基本事件,从中找出有且只有1天用水量低于40吨"的基本事件，利用个数比求概率；（II）利用公式求出,，根据回归直线过过样本中心（,）与系数b=1.4求出系数a，可得回归直线方程,把x=5代入回归方程得y值，即为有且只有1天用水量低于40吨”为事件．【解答】解：（Ⅰ）设在抽样的5天中用水量低于40吨的三天为ai（i=1，2,3），用水量不低于40吨的两天为bi（i=1，2)，那么5天任取2天的基本事件是：（a1，a2）,（a1,a3)，（a1,b1），（a1,b2),(a2，a3）,(a2，b1)，（a2，b2），(a3,b1)，（a3，b2），(b1，b2)，共计10个．设“从5天中任取2天,有且只有1天用水量低于40吨"为事件A，包括的基本事件为（a1，b1)，（a1,b2），（a2，b1），(a2,b2），（a3，b1），（a3，b2）共6个，则．∴从5天中任取2天，有且只有1天用水量低于40吨的概率为;（Ⅱ）依题意可知，，∵线性回归直线过点,且,∴把点(10,40)代入直线方程，得，∴又x=5时，y=1。4×5+26=33∴可预测当地气温为5℃时，有且只有1天用水量低于40吨"为事件为33吨．18．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知在极坐标系中，A（3，），B（3,)，圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程;（2）已知P为圆C上的任意一点,求△ABP面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）由x=ρcosθ,y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得圆的直角坐标方程;（2）求得A,B的直角坐标,即可得到直线AB的方程;求得AB的距离和圆C和半径，求得圆C到直线AB的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式,即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由ρ=2cosθ，可得：ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x故在平面直角坐标系中圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1…(2)在直角坐标系中A（0，3）,B（，）所以|AB|==3，直线AB的方程为：x+y=3所以圆心到直线AB的距离d==,又圆C的半径为1,所以圆C上的点到直线AB的最大距离为+1故△ABP面积的最大值为S==…19．已知a＞0，求证:﹣≥a+﹣2．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；分析法．【分析】用分析法，证明不等式成立的充分条件成立,要证原命题,只要证+2≥a++,即只要证（+2)2≥（a++）2，进而展开化简，可得只要证明：（a﹣）2≥0，易得证明，【解答】证明：要证﹣≥a+﹣2,只要证+2≥a++．∵a＞0，故只要证（+2）2≥(a++）2，即a2++4+4≥a2+2++2（a+）+2，从而只要证2≥（a+），只要证4（a2+）≥2（a2+2+），即a2+≥2，即:(a﹣)2≥0，而上述不等式显然成立,故原不等式成立．20．某学校为调查高三年学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1）和女生身高情况的频率分布直方图（图（2))．已知图（1）中身高在170~175cm的男生人数有16人．（I)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人?（II）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大的把握认为“身高与性别有关”？≥170cm＜170cm总计男生身高301040女生身高43640总计344680参考公式：K2=p(K2＞k)0。500。400。250。150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4450.7081.3232.0722.7063.8415.0246。6357。87910。83【考点】独立性检验的应用．【专题】对应思想;数学模型法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，求出身高在170～175cm的男生的频率，计算抽取的男生、女生人数；(Ⅱ）计算男生、女生身高≥170cm的人数，