简单曲线的极坐标方程市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件

三

简单曲线极坐标方程第1页【自主预习】1.极坐标方程与平面曲线在极坐标系中,方程f(ρ,θ)=0叫做平面曲线C极坐标方程,满足条件:(1)平面曲线C上任意一点极坐标中___________满足方程f(ρ,θ)=0.最少有一个第2页(2)坐标适合方程___________点都在曲线C上.f(ρ,θ)=0第3页2.圆极坐标方程圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ=__(0≤θ<2π)圆心在点(r，0)ρ=_________圆心在点(r，)ρ=________(0≤θ<π)r2rcosθ2rsinθ第4页圆心位置极坐标方程图形圆心在点(r，π)ρ=__________圆心在点ρ=_________(-π<θ≤0)-2rcosθ-2rsinθ第5页3.直线极坐标方程(ρ∈R)直线位置极坐标方程图形过极点,倾斜角为α(1)θ=___(ρ∈R)或θ=______(ρ∈R)(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)απ+α第6页直线位置极坐标方程图形过点(a,0),且与极轴垂直________=a

过点且与极轴平行________=a(0<θ<π)ρcosθρsinθ第7页【即时小测】1.极坐标系中,圆心在极点,半径为2圆极坐标方程为()A.ρ=2 B.ρ=4C.ρcosθ=1 D.ρsinθ=1第8页【解析】选A.由圆心在极点,半径为r圆极坐标方程为ρ=r,得圆心在极点,半径为r圆极坐标方程为ρ=2.第9页2.极轴所在直线极坐标方程为________.【解析】如图,设M(ρ,θ)是极轴所在直线上任意一点,则θ=0(ρ∈R).答案:θ=0(ρ∈R)第10页【知识探究】探究点曲线极坐标方程1.在极坐标系中,点M(ρ,θ)轨迹方程中一定同时含有ρ,θ吗?提醒:不一定,如圆心在极点,半径为1极坐标方程为ρ=1,方程中只含有ρ.第11页2.怎样求圆心为C(ρ0,θ0),半径为r圆极坐标方程?第12页提醒:设圆C上任意一点极坐标为M(ρ,θ),如图,在△OCM中,由余弦定理,得|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM=|CM|2,即ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)=r2.当O,C,M三点共线时,点M极坐标也适合上式,所以圆心为C(ρ0,θ0),半径为r圆极坐标方程为ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)-r2=0.第13页【归纳总结】1.曲线极坐标方程与直角坐标方程在极坐标系中,因为点极坐标表示形式不唯一,即(ρ,θ),(ρ,θ+2π),(-ρ,θ+π),(-ρ,θ-π)都表示同一点,这与点直角坐标含有唯一性显著不一样.所以对于曲线上同一点极坐标各种表示形式,只要求第14页点极坐标中最少有一个能满足曲线极坐标方程即可.第15页2.曲线极坐标方程与直角坐标方程相互转化及应用(1)与点极坐标与直角坐标相互转化一样,以平面直角坐标系原点O为极点,x轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同长度单位.平面内曲线(含直线)极坐标方程与直角坐标方程也能够进行相互转化.第16页(2)较简单曲线极坐标方程可直接求,较复杂曲线极坐标方程能够先求直角坐标方程,然后再转化.尤其提醒:极坐标方程对应曲线形状往往不易看出,通常是先转化为直角坐标方程,然后再分析形状.第17页类型一圆极坐标方程【典例】在极坐标系中,已知圆C圆心为C,半径为1,求圆C极坐标方程.第18页【解题探究】求圆极坐标方程时需要注意什么问题?提醒:求圆极坐标方程时需要检验特殊点是否适合方程.第19页【解析】在圆C上任取一点P(ρ,θ),在△POC中,由余弦定理可得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos∠POC,即化简可得第20页当O,P,C共线时,此方程也成立,故圆C极坐标方程为第21页【延伸探究】1.试求圆直角坐标方程.第22页【解析】圆心极坐标为故直角坐标为又已知圆半径为1,故圆直角坐标方程为第23页2.在极坐标系中,试求该圆上点与点距离最大值.第24页【解析】圆心与点距离

故圆上点与点P距离最大值为第25页【方法技巧】求圆极坐标方程步骤(1)设圆上任意一点极坐标为M(ρ,θ).(2)在极点、圆心与M组成三角形中利用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ,θ)=0并化简.(3)验证极点、圆心与M三点共线时,点M(ρ,θ)极坐标也适合上述极坐标方程.第26页【赔偿训练】1.在极坐标系中,圆C过极点,且圆心极坐标是(a>0),则圆C极坐标方程是()A.ρ=-2asinθ B.ρ=2asinθC.ρ=-2acosθ D.ρ=2acosθ第27页【解析】选B.因为圆心极坐标是,化为直角坐标为(0,a),半径为a,故圆直角坐标方程为x2+(y-a)2=a2,再化为极坐标方程为ρ=2asinθ.第28页2.(·西安高二检测)将极坐标方程ρ=2cosθ化成直角坐标方程为________.【解析】由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=0第29页类型二直线极坐标方程【典例】在极坐标系中,求过点(2,π)且与极轴倾斜角为直线极坐标方程.第30页【解题探究】求直线极坐标方程普通方法是什么?提醒:设出直线上任意一点极坐标(ρ,θ),列出ρ,θ关系式即可.第31页【解析】令A(2,π),设直线上任意一点P(ρ,θ),在△OAP中,∠APO=θ-,由正弦定理得又因为点A(2,π)适合上式,故所求直线极坐标方程为第32页【方法技巧】关于直线极坐标方程(1)求直线极坐标方程普通方法.设出直线上任意一点(ρ,θ),利用三角形中定理,如正弦定理、余弦定理等列出ρ,θ关系式,即为直线极坐标方程.第33页(2)求直线极坐标方程注意事项.①当ρ≥0时,直线上点极角不是常量,所以直线极坐标方程需要转化为两条射线极坐标方程,所以直线极坐标方程不如直线直角坐标方程唯一且简便.②当要求了“负极径”意义,即ρ∈R时,直线极坐标方程就是唯一了.第34页【变式训练】1.(·铜陵高二检测)已知点P极坐标为(1,π),求过点P且垂直于极轴直线极坐标方程.第35页【解析】点P(1,π)直角坐标为(-1,0),所求直线直角坐标方程为x=-1,化为极坐标方程为ρcosθ=-1.第36页2.在极坐标系中,求过点且与极轴平行直线方程.【解析】点在直角坐标系下坐标为即(0,2),所以过点(0,2)且与x轴平行直线方程为y=2.即为ρsinθ=2.第37页类型三直线与圆极坐标方程综合题【典例】(·衡阳高二检测)在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a>0),l:,C与l有且仅有一个公共点.(1)求a值.第38页(2)O为极点,A,B为曲线C上两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|最大值.第39页【解题探究】(1)怎样判断曲线形状?提醒:将曲线极坐标方程化为直角坐标方程判断曲线形状.第40页(2)怎样求|OA|+|OB|最大值?提醒:利用点极坐标以及三角函数性质求最大值.第41页【解析】(1)由曲线C:ρ=2acosθ(a>0)得ρ2=2aρcosθ,化为直角坐标方程为(x-a)2+y2=a2,直线l:得因为直线与圆有且只有一个公共点,所以d==a,解得a=1,a=-3(舍去).第42页(2)不妨设A极角为θ,B极角为θ+,当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值2.第43页【方法技巧】将极坐标方程化为直角坐标方程关键因为直线和曲线是满足某种条件点集合,所以将极坐标方程化为直角坐标方程公式依然用点极坐标化为直角坐标公式y=ρsinθ,x=ρcosθ.第44页【变式训练】1.(·衡水高二检测)在极坐标系中,点到圆ρ=-2cosθ圆心距离为()第45页【解析】选D.点

直角坐标为(1,-),圆ρ=-2cosθ即ρ2=-2ρcosθ直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,所以点(1,-)到圆心(-1,0)距离为.第46页2.(·北京高考)在极坐标系中,直线ρcosθ-ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|=________.第47页【解析】直线ρcosθ-ρsinθ-1=0可化为x-y-1=0.圆ρ=2cosθ可化为ρ2(cos2θ+sin2θ)=2ρcosθ,x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,所以圆心(1,0),半径长为1.圆心在直线AB上,所以|AB|=2.答案:2第48页自我纠错极坐标方程化为直角坐标方程【典例】(·漳州高二检测)化极坐标方程ρ2cosθ-ρ=0为直角坐标方程为(