向量及其代数运算课件

第八章空间解析几何与向量代数用代数的方法来研究几何问题第八章空间解析几何与向量代数用代数的方法来研究几何问题§7.1向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影六、小结思考题§7.1向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算四、⑴向量：既有大小又有方向的量。如位移、速度、加速度、力等。⑵向量表示：模长为1的向量.模长为0的向量.||⑶向量的模：向量的大小.或或或一、向量概念1、概念⑷单位向量：⑸零向量⑹自由向量：不考虑起点位置的向量.⑺相等向量：大小相等且方向相同的向量.⑻负向量：大小相等但方向相反的向量.⑼向径：空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.⑴向量：既有大小又有方向的量。⑵向量表示：模长为1的向量.模一、向量的概念2、两非零向量的关系⑴相等：大小相等且方向相同的向量.⑵平行或共线：方向相同或相反的两个非零向量.⑶垂直：方向成90°夹角的两个非零向量.【注意】由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为零向量与任何向量都平行或垂直。⑷共面：把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.向量的夹角一、向量的概念2、两非零向量的关系⑴相等：大小相等且方向相同1、向量的加减法二、向量的线性运算⑴加法：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）1、向量的加减法二、向量的线性运算⑴加法：（平行四边形法则⑵向量的加法符合下列运算规律：①交换律：②结合律：③加负律：⑶减法二、向量的线性运算⑵向量的加法符合下列运算规律：①交换律：②结合律：③加负律：2、向量与数的乘法二、向量的线性运算⑴定义：⑵数与向量的乘积符合下列运算规律：①结合律：②分配律：⑶线性运算：向量的加法及数乘统称为向量的线性运算。2、向量与数的乘法二、向量的线性运算⑴定义：⑵数与向量的乘【例1】化简【解】二、向量的线性运算【例2】试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.【证】与平行且相等,结论得证.课本【例1】【例1】化简【解】二、向量的线性运算【例2】试用向量方法证明按照向量与数的乘积的规定，［上式表明］一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.二、向量的线性运算⑷单位向量的表示【注意】与三个坐标轴同向的单位向量的记法.按照向量与数的乘积的规定，［上式表明］一个非零向量除以它的模⑸两个向量的平行关系二、向量的线性运算【证】充分性显然；下面证明必要性两式相减，得⑸两个向量的平行关系二、向量的线性运算【证】充分性显然；下面【注】此定理是建立数轴的理论依据.【注】此定理是建立数轴的理论依据.横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系Oxyz坐标系或[O;i,j,k]坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.三、空间直角坐标系1、坐标系的构成⑴

坐标轴：横轴、纵轴、竖轴⑵

坐标面：xOy面、yOz面、zOx面⑶

卦限：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系Oxyz坐标系三个坐标轴的正方Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ三、空间直角坐标系Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ三、空间直角空间的点M有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点三、空间直角坐标系2、点、向量与坐标空间的点M有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点三、⑴加法1、向量的加减法与数乘四、利用坐标作向量的线性运算⑵减法⑶数乘2、平行向量的坐标表示式⑴加法1、向量的加减法与数乘四、利用坐标作向量的线性运算⑵减例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得四、利用坐标作向量的线性运算例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×四、利用坐标作向量的线性运算【解】【例3】求解以向量为未知元的线性方程组解二元一次方程组，易得【例4】已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数λ≠-1，在直线AB上求点M，使【解】设为直线上的点，四、利用坐标作向量的线性运算【解】【例3】求解以向量为未知元由题意知：四、利用坐标作向量的线性运算由题意知：四、利用坐标作向量的线性运算⑴向量的模:1、向量的模与两点间的距离公式:五、向量的模、方向角、投影按勾股定理可得⑵两点间的距离公式:⑴向量的模:1、向量的模与两点间的距离公式:五、向量的模、方五、向量的模、方向角、投影【解】原结论成立.【例6】已知两点A(5,3,1)和B(1,0,5),求与【解】五、向量的模、方向角、投影【解】原结论成立.【例6】已知两点例.

在z轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.例.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为及(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹【解】设P点坐标为所求点为五、向量的模、方向角、投影【解】设P点坐标为所求点为五、向量的模、方向角、投影2、方向角与方向余弦五、向量的模、方向角、投影⑴空间两向量的夹角的概念:类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.2、方向角与方向余弦五、向量的模、方向角、投影⑴空间两向量的非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.五、向量的模、方向角、投影⑵方向角显然有⑶方向余弦由图分析可知方向余弦通常用来表示向量的方向.向量的方向余弦方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.五、向量的模、方向例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹第二节例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A五、向量的模、方向角、投影3、向量在轴上的投影⑴x轴与向量

的关系⑵向量在u轴上投影五、向量的模、方向角、投影3、向量在轴上的投影⑴x轴与向量五、向量的模、方向角、投影⑶向量在三坐标轴上的投影⑷向量投影的性质五、向量的模、方向角、投影⑶向量在三坐标轴上的投影⑷向量投影【解】五、向量的模、方向角、投影【解】五、向量的模、方向角、投影例9.第二节设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且求OA在OM方向上的投影.解:如图所示,记∠MOA=

,例9.第二节设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA§7.1向量及其线性运算一、向量概念1、概念2、两非零向量的关系二、向量的线性运算1、向量的加减法2、向量与数的乘法三、空间直角坐标系1、坐标系的构成2、点、向量与坐标四、利用坐标作向量的线性运算1、向量的加