2019中考数学分类汇编：知识点34解直角三角形及其应用

一、选择题8．（2019·苏州）如同，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度．将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是 （）A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m（第8题）【答案】C【解析】过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为30°，∴∠ADE＝30°，∵BC＝DE＝18m，∴AE＝DE•tan30°＝18m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+1.5＝19.5m，故选C．8．（2019·温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为 （）A．米B．米C．米D．米【答案】B【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，则BD=1.5+0.3=1.8(米).在Rt△ABD中，∠ADB=90°，cosB=，所以AB===．故选B.10．（2019·长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是 【】A．nmileB．60nmileC．120nmileD．nmile【答案】D【解析】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=AC•cos∠ACD=60×=30．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故本题选：D．8．（2019·益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图1，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A.asinα+asinβB.acosα+acosβC.atanα+atanβD.第8题图【答案】C【解析】在Rt△ABD中，∵tanβ=，∴BD=atanβ.在Rt△ABD中，∵tanα=，∴BC=atanα.∴CD=BD+BC=atanα+atanβ.1.(2019·泰安)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为________km.A.30+30 B.30+10 C.10+30 D.30【答案】B【解析】如图,由题中方位角可知∠A＝45°,∠ABC＝75°,∠C＝60°,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,∠A＝45°,AB＝,∴AD＝ABcosA＝30,BD＝ABsinA＝30,在Rt△BCD中,∠C＝60°,∴CD＝＝,∴AC＝AD+CD＝30+10,故选B.2.（2019·重庆B卷）如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A,B,C,D在同一平面内）.斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4,那么建筑物AB的高度约为（）【答案】B【解析】作EN⊥AB于N,EM⊥BC交BC的延长线于M.∵斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4,DC=BC=52米，设DM=x米，则CM=2.4x米，在Rt△ECM中，∵+=，∴+=解得x=20∴CM=48米，EM=20+0.8=20.8米，BM=ED+DM=52+48=100米∵EN⊥AB,EM⊥BC，AB⊥BC∴四边形ENBM是矩形.∴EN=BM=100米，BN=EM=20.8米.在Rt△AEN中，∵∠AEF=27°∴AN=EN﹒tan27°≈100×0.51=51米∴AB=AN+BN=51+20.8=71.8米.故选B．3.（2019·重庆A卷）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）＝1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据：°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A．17.0米B．21.9米C．23.3米D．33.3米第第10题图【答案】C．【解析】如答图，延长DC交EA于点F，则CF⊥EA．∵山坡AC上坡度＝1:2.4，AC＝26米，∴令CF＝k，则AF＝2.4k，由勾股定理，得k2＋(2.4k)2＝262，解得k＝10，从而AF＝24，CF＝10，EF＝30．在Rt△DEF中，tanE＝，故DF＝EF•tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3，于是，CD＝DF－CF＝23.3，故选C．第第10题答图4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.二、填空题（2019·遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固，如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i=1:1，加固后坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i=1:,问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石时忽略阶梯，结果保留根号）解：如图，分别过点A,E作AN⊥FC于N,EM⊥F于M，则AN=EM,∵从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，∴AN=9米=EM，∵斜坡AB的坡度i=1:1，∴BN=AN=9米，∵斜坡EF的坡度i=1:，∴FM=9，∴FB=FM+MN-BN=9+2-9=9-7,S梯==,∴体积为200S梯=8100-4500（m3)答:共需土石8100-4500立方米.21．(2019·广元)如图,某海监船以60海里时的速度从A处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在A的西北方向的C处,海监船航行1.5小时到达B处时接到报警,需巡查此可疑船只,此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在D处海监船追到可疑船只,D在B的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)(1)求B,C两处之间的距离;(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.第21题图解：(1)过点C作CE⊥AB于点E,在Rt△BEC中,设BC＝x,∵∠BCE＝30°,∴BE＝BC＝x,CE＝x,在Rt△ACE中,AE＝CE＝x,∴AB＝AE－BE＝x－x,已知AB＝60×1.5＝90,∴x－x＝90,解之得,x＝90+90.答:B,C两处之间的距离(90+90)海里;EE(2)过点B作BF⊥DC于点F,在Rt△BDF中,∠DBF＝60°,由(1)得,BF＝CE＝CE＝x＝135+45,∴BD＝2BF＝270+90,∴时间为(270+90)÷90＝3+.答:海监船追到可疑船只所用的时间为(3+)小时.FF16．（2019·温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米．当∠AOC=90°时，点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′-BE为分米．【答案】5+54【解析】（1）过点O分别作OL⊥MD、ON⊥AM，垂足分别为点L、N，则∠LON=90°，四边形NMLO是矩形，∴MN=LO.∵OC=OD=10分米，∠COD=60°，∴∠COL=30°，CL=CD=5，OL===5，∵∠AOC=90°，∴∠AON=30°，∴AN=AO=5，∴AM=5+5；（2）过点F分别作FQ⊥OB、FP⊥OC，垂足分别为点Q、N.在Rt△OPQ中，∠OQP=90°，∠BOD=60°，∴OQ=2，FQ=2，在Rt△EFQ中，∠EQF=90°，FQ=2，EF=6，∴QE=2，BE=10-2-2=8-2；同理可得PE′=2，∴B′E′=2+10-2=12-2，∴B′E′-BE=(12-2)-(8-2)=4.故填：5+54.15．（2019·盐城）如图，在△ABC中，BC＝，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________.【答案】2【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，又∠C＝45°，故,，设，则，CD=x，，在Rt△ACD中，∠ADB=90°，由勾股定理可得：AD2+BD2=AB2，得，所以，解得,故AC=2.1.(2019·枣庄)如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB的高度约为________m(精确到0.1m).(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)【答案】9.5【解析】由题可知BC＝6m,CD＝1.5m,过D作DE∥BC交AB于点E,易知四边形BCDE是矩形,∴DE＝BC＝6m,在Rt△ADE中,AE＝DE·tan53°＝7.98m,EB＝CD＝1.5m,∴AB＝AE+EB＝9.48m≈9.5m.第15题答图2.（2019·湖州）有一种落地晾衣架如图①所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图②是支撑杆的平面示意图．AB和CD分别是两根不同的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为________cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）②第14题图【答案】120．【解析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，则∠AEB＝90°．∵AO＝85cm，BO＝DO＝65cmα＝74°，∴∠ODB＝∠B＝53°，AB＝150cm．在Rt△ABE中，sinB＝，故h＝AB•sinB＝150×sin53°≈150×0.8＝120．3.（2019·金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是___________．【答案】40°．【解析】量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则过AB中点的水平线对应的是140°，所以此时观察楼顶的仰角度数是40°．4.（2019·金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB=50cm，CD=40cm.（1）如图3，当∠ABE=30°时，BC=_______cm.（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为_______cm2.【答案】（1）（90－45）；（2）2256．【解析】（1）利用直角三角形的性质先求得EB，CF，然后进行线段加减即可；（2）根据题意，得S四边形ABCD＝S梯形AEFD－S△ABE－S△CDF，计算可得.解：(1)∵AB=50，CD=40，∴AB＋CD=EB＋CF＝EF=90.在Rt△ABE中，∵∠E=90°，∠ABE=30°，∴EB＝25.同理可得CF＝20.∴BC=90－45（cm）.（2）根据题意，得AE＝40,DF=32,EB＝＝30，CF＝＝24,∴S四边形ABCD＝S梯形AEFD－S△ABE－S△CDF＝(AE＋DF)·EF－AE·EB－CF·DF＝(40＋32)×90－×40×30－×24×32＝2256.5.(2019·宁波)如图,某海防哨所O发现在它的西北方向,距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处,则此时这艘船与哨所的距离OB约为________米.【答案】566【解析】在Rt△AOH中,OH＝AOcos45°＝,在Rt△BOH中,BO＝.6.（2019·衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是米_________（结果精确到0.1m参考数据；sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）.【答案】1.5【解析】由三角函数的定义得:sinα=sin50°==≈0.77，所以AD≈2×0.77=1.54≈1.5米.7.8.9.10.11.12.13.三、解答题20．（2019年浙江省绍兴市，第20题，8分如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：）【解题过程】22．（2019·嘉兴）某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1米）？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，1.73）【解题过程】（1）如图2-1，过点C作CG⊥AM于点G，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB//DE//CG∴∠DCG=180°-∠CDE=110°.∴∠BCG=∠BCD-∠DCG=30°.∴∠ABC=180°-∠BCG=150°.∴动臂BC与AB的夹角为150°.（2）如图2-2，过点C作CP⊥DE于点P，过点BQ⊥DE于点Q交CG于点N.在Rt△CPD中，DP=CD×cos70°=0.51（米）在Rt△BCN中，CN=BC×sin60°1.04（米）∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB2.35（米）如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K.在Rt△CKD中，DK=CD×sin5°1.16（米）∴DH=DK+KH3.16（米）∴DH-DE0.8（米）.所以斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米.23.（2019浙江省杭州市，23，12分）(本题满分12分)如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D.连接0A.(1)若∠BAC=60°，=1\*GB3①求证：OD=OA.=2\*GB3②当OA=1时，求△ABC面积的最大值.点E在线段0A上.OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED(m，n是正数).若∠ABC＜∠ACB.求证:m-n+2=0【解题过程】（1）①连接OB、OC，则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，∴∠OBC=30°，∴OD=OB=OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD=AO+OD=，△ABC面积的最大值=×BC×AD=×2OBsin60°×=；（2）如图2，连接OC，设∠OED=x，则∠ABC=mx，∠ACB=nx，则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=∠BOC=∠DOC，∵∠AOC=2∠ABC=2mx，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，∵OE=OD，∴∠AOD=180°-2x，即：180°+mx-nx=180°-2x，化简得：m-n+2=0．23．（2019山东烟台，23，10分）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N．当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的傾斜角发生変化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康．现测得OP的长为12cm，OM为10cm，支柱PQ为8cm．(1)当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求的度数．(2)当支柱的端点Q放在卡孔N处时，，若相邻两孔的距离相等，求此间距．（结果精确到十分位）．【解题过程】（1）解：当支柱的端点Q放在卡孔M处时，作出该支架的截面图如图（1），第23第23题答图(1)过点P作，垂足为E，此时，，，，因为，所以，设，所以，在Rt△OPE中，由勾股定理得，，在Rt△PEQ中，由勾股定理得，，所以，解得，所以,在Rt△OPE中，,由参考数据表，可得，．（2）解：当支柱的端点Q放在卡孔N处时，作出该支架的截面图如图（2），第23第23题答图（2）过点P作，垂足为F，此时，，，，，因为，所以，在Rt△OPE中，，所以，在Rt△PEQ中，由勾股定理得，，在Rt△OPE中，由勾股定理得，，所以，所以,所以相邻两孔的距离为1.6cm．22（2019山东威海，22，9分）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．【解题过程】∵BH＝0.6，sinα＝，∴AB＝＝1，∴AH＝0.8，∵AF＝FC＝2，∴BF＝1，作FQ⊥BG于点Q，作EP⊥FQ于点P，∵EF＝FB＝AB＝1，∠EPF＝∠FQB＝∠AHB＝90°，∠EFP＝∠FBQ＝∠ABH，∴△EFP≌△FBQ≌△ABH，∴EP＝FQ＝AH，BQ＝BH，∴BQ＋EP＝0.6＋0.8＝1.4（米）＜2米，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．20．（2019江西省，20，8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B—A—O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm.(结果精确到01)(1)如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE.①填空：∠BAO＝°；②求投影探头的端点D到桌面OE的距离.(2)如图3，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小.(参考数：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60)【解题过程】解：（1）①如图所示，延长OA交BC于点F，∵BC∥OE，OA⊥OE，∴∠BFA=∠AOE=90°，∴∠BAO=∠BFA+∠ABC=90°+70°=160°.答案：160②∵∠BFA=90°，∠ABC=70°，AB＝30cm，sin70°≈0.94，∴AF=AB·sin70°≈30×0.94=28.2（cm）.∵OA=6.8cm，∴OF=AF+OA=28.2+6.8=35（cm）.又∵CD始终垂直于水平桌面OE，且CD＝8cm，∴点D到桌面OE的距离为：OF-CD=35-8=27（cm）.（2）如图所示，作BH⊥CD于点H，∵D到桌面OE的距离为6cm，H到桌面OE的距离为35cm，CD＝8cm，∴CH=35-8-6=21（cm），又∵BC＝35cm，∠H=90°，∴sin∠CBH=，∵sin36.8°≈0.60，∴∠CBH=36.8°.又∵∠ABH=70°,∴∠ABC=∠ABH-∠CBH=70°-36.8°=33.2°.20．（2019·山西）某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).课题测量旗杆的高度成员组长:×××组员:×××,×××,×××测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量示意图说明:线段GH表示旗杆,测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.5m,测点A,B与H在同一条水平直线上,A,B之间的距离可以直接测得,且点G,H,A,B,C,D都在同一竖直平面内.点C,D,E在同一直线上,点E在GH上.测量数据测量项目第一次第二次平均值∠GCE的度数25.6°25.8°25.7°∠GDE的度数31.2°30.8°31°A,B之间的距离5.4m5.6m…………任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是______m.任务二:根据以上测量结果,请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆GH的高度.(参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)任务三:该"综合与实践"小组在制定方案时,讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)【解题过程】任务一:平均值＝(5.4+5.6)÷2＝5.5m任务二:由题意可得,四边形ACDB,ACEH都是矩形,∴EH＝AC＝1.5,CD＝AB＝5.5,设EG＝xm,在Rt△DEG中,∠DEG＝90°,∠GDE＝31°,∵tan31°＝,∴DE＝,在Rt△CEG中,∠CEG＝90°,∠GCE＝25.7°,∵tan25.7°＝,∴CE＝,∵CD＝CE－DE,∴－＝5.5,∴x＝13.2,∴GH＝GE+EH＝13.2+1.5＝14.7.答:旗杆GH的高度为14.7m.任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.22．（2019·娄底）如图（11），某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1:1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为，．已知，，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．解：如图（11－1），设DA与CB的交点为O．∵，∴同理，∵∴．∴．设米,则则由i＝1:1得,；∴，∴∴山顶A的高度AE为16米．22．（2019·衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1041）解：设楼房AB的高为x米，则EB＝x，∵坡度i＝1:，∴坡面CD的铅直高度为5米，坡面的水平宽度为米，∴，解得x＝15＋5≈237（米）.所以楼房AB的高度约为237米.21．(2019·泰州,21题,10分)某体育看台侧面的示意图如图所示,观众区AC的坡度i为1∶2,顶端C离水平地面AB的高度为10m,从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′,竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m,求:⑴观众区的水平宽度AB;⑵顶棚的E处离地面的高度EF.(sin18°30′≈0.32,tan18°30′≈0.33,结果精确到0.1m)第21题图【解题过程】(1)因为AC的坡度i为1∶2,所以,因为BC＝10m,所以AB＝20m;(2)在Rt△DEG中,∠EDG＝18°30′,tan∠EDG＝,GD＝FB＝FA+AB＝23m,所以EG＝7.59m,所以EF＝EG+GF＝EG+DB＝EG+DC+CB＝21.59≈21.6m,顶棚的E处离地面的高度EF为21.6m.第21题答图22．（2019·黄冈）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度.（结果保留小数成后一位，≈1.414，/≈1.732.）【解题过程】22．（2019·陇南）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），∴FH＝CE＝34.6（cm）∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳．21．（2019·株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为，且tan＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点）．求障碍物的高度．【解题过程】如图，∵l1∥l2∴∠ABC=∴tan∠ABC==tan＝，∴BC=3AC=(米）∴BC的长度为4.8米。根据题意得DF1∥AF,∵l1∥l2∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=BM=FF1=0.6(米），∴EM=BM-BE=BC-BE=2.4-0.6=1.8（米）,∵tan∠NEM=tan∠ABC=，∴MN=EM=0.6（米）∴障碍物的高度为0.6米.1.(2019·台州)图1是一辆在平地上滑行的滑板车,图2是其示意图,已知车杆AB长92cm,车杆与脚踏所成的角∠ABC＝70°,前后轮子的半径均为6cm,求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位;参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)解：过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ABD中,AB＝92,∠B＝70°,∴AD＝ABsinB＝86.48,∴A离地面高度为86.48+6≈92.5(cm).答：求把手A离地面的高度92.5cm.DD2.（2019·天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，侧的灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD.（结果保留整数）参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60解：如图，根据题意∠CAD=31°，∠CBD=45°，∠CDA=90°，AB=30，∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=∴AD=∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=,∴BD=，∵AD=BD+AB,∴=30+CD,∴CD=45.答：这座灯塔的高度CD约为45m.3.（2019·眉山）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1:2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度．解：在Rt△DEC中，∵i=DE∶DC=1∶2，且DE2+EC2=DC2.∴DE2+（2DE）2=（）2.解得：DE=20m，EC=40m.过点D作DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥DG于点H，则四边形DEBG、DECH、BCHG都是矩形.∵∠ACB=45°，AB⊥BC，∴AB=BC，设AB=BC=xm，则AG=（x-20）m，DG=（x+40）m，在Rt△ADG中，∵=tan∠ADG，∴，解得：x=50+.答：楼AB的高度为（50+）米.4.（2019·达州）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”，蹲坐着观音崖一块奇石是一只“哮天犬”，昂首向天，望穿古今.一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“哮天犬”上嘴尖与头顶的距离，他们把蹲着的“哮天犬”抽象成ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB=5米，CD=2.7米，景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3米，他们很快就算出了AB的长，你也算算？（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.≈1.41≈1.73）解：过点B作BF⊥CE于点F，再过点A作AG⊥BF于点G，则四边形AEFG是矩形.在Rt△ADE中，tan60°AE=3，，∴DE=.在Rt△CBF中，sin40°，CB=5，∴BF≈3.2，cos40°=≈0.77，CB=5，∴CF≈3.85.∵CD=2.7，∴EF=CD+DE-CF≈0.58，BG=BF-AE≈0.2，∴AB=≈0.6m.5.(2019·巴中)某区域平面示意图如图所示,点D在河的右侧,红军路AB与某桥BC互相垂直.某校”数学兴趣小组”在”研学旅行”活动中,在C处测点D位于西北方向,又在A处测得点D位于南偏东65°方向,另测得BC＝414m,AB＝300m,求出点D到AB的距离.(参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)解：过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F,∵AB⊥BC,∴四边形DEBF是矩形,DE＝BF,EB＝DF,在Rt△AED中,AE＝,∴BE＝AB－AE＝300－,∴DF＝BE＝300－,在Rt△CDF中,∠DCF＝45°,∴∠FDC＝∠FCD,∴CF＝DF＝300－,∴BC＝BF+FC＝300－+ED,∵BC＝414,∴300－+ED＝414,∴ED＝214,∴点D到AB的距离为214m.6.（2019·潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众