第二章 解析函数

第二章解析函数第1页，课件共63页，创作于2023年2月1、导数与微分§1解析函数的概念定义：设定义于区域D，为D中一点，且点，若极限

存在，则称在点可导，此极限值称为在点的导数，记第2页，课件共63页，创作于2023年2月（3）可导必然连续，反之不然。若在D内处处可导，则称在D内可导。注:（1）定义中极限可改为；（2）的方式是任意的，因此较一元实变函数具有许多独特的性质和应用。第3页，课件共63页，创作于2023年2月求导法则例1证明：在复平面上处处不可导。（1）（c为常数）（2）（n为正整数）（3）第4页，课件共63页，创作于2023年2月（4）（5）（6）（7）其中与互为反函数。第5页，课件共63页，创作于2023年2月可微与可导等价微分：在点可导，则有则称为函数在的微分记为。若函数在点的微分存在，则称在处可微。第6页，课件共63页，创作于2023年2月2、解析的概念定义：若在的某邻域内处处可微，则称在点解析。若在区域D内每一点解析，则称在D内解析，或称是D内的一个解析函数（全纯函数、正则函数）。若在点不解析，则称为的奇点。第7页，课件共63页，创作于2023年2月注：可微与解析在区域内等价。但对点不等价。

定理：（1）解析函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为解析函数。（2）解析函数的复合函数仍为解析函数。例1讨论的解析性。例2讨论的解析性。第8页，课件共63页，创作于2023年2月3、函数解析的充要条件定理（Cauchy-Riemann条件）函数在区域D内解析的充要条件是：与在D内任一点可微，且满足Cauchy-Riemann方程第9页，课件共63页，创作于2023年2月注意：（1）若在D内满足C-R方程，且u，v具有一阶连续偏导，则在D解析。（2）定理中“D内任一点”改为“D中某一点”，则变为在D内某一点可导的充要条件。且第10页，课件共63页，创作于2023年2月例1：判定下列函数的解析性（1）（2）（3）例2：设函数问常数a，b，c，d取何值时，在复平面内处处解析？第11页，课件共63页，创作于2023年2月推论1：若在区域D内解析，且

则在D内。推论2：若函数在区域D内解析，且，则（为常数）是D内两组正交曲线族。第12页，课件共63页，创作于2023年2月证明：由于，故在D内点与不全为0。1）设在点。则曲线的斜率：由得曲线的斜率：结论得证。第13页，课件共63页，创作于2023年2月2）若中有一个为0，此时过交点的两条切线，必然一条为水平线，另一条为铅直线。结论自然成立。第14页，课件共63页，创作于2023年2月1、指数函数§2初等函数性质：（1），；（2）时，，其中；（3）在复平面上解析，且

第15页，课件共63页，创作于2023年2月2、三角函数与双曲函数（4）加法定理：（5）是以为周期的周期函数。三角函数第16页，课件共63页，创作于2023年2月余弦函数：正弦函数：第17页，课件共63页，创作于2023年2月性质（1）在复平面内解析，且（2）第18页，课件共63页，创作于2023年2月（3）是奇函数，是偶函数，且它们均是以为周期的周期函数。（4）在复数域内不成立。如：，则第19页，课件共63页，创作于2023年2月其它三角函数定义：例1:求的值。例2:对任意的复数，若则必有（为整数）。

正切

余切正割余割第20页，课件共63页，创作于2023年2月性质：（1）这四个函数都在复平面上使分母不为零的点处解析，且（2）正切和余切的周期为，正割和余割的周期为。第21页，课件共63页，创作于2023年2月双曲函数它们的性质类似于三角函数可通过定义来讨论.双曲正弦双曲余弦双曲正切

双曲余切双曲正割双曲余割第22页，课件共63页，创作于2023年2月１、根式函数§3初等多值函数定义:设函数在区域D内有定义，且对D内任意不同的两点及，有，则称函数在D内是单叶的．并且称区域D为的单叶性区域．根式函数为幂函数的反函数（n是大于１的整数）．第23页，课件共63页，创作于2023年2月（１）幂函数的变换（映射）性质及其单叶性区域

函数在平面上是单值解析，它将扩充平面变成扩充平面，且分别对应于．而由函数知对每一个不为零或的，在平面上有n个原象．

令，则第24页，课件共63页，创作于2023年2月结论：１）变换将从原点出发的射线变成从原点出发的射线，并将圆周变成圆周．（如下图）

２）平面上的角形区域变成平面上的角形区域．第25页，课件共63页，创作于2023年2月第26页，课件共63页，创作于2023年2月特别：将平面上的角形区域变成平面上除原点与负实轴的区域．

一般：将张角为的角形区域都变成平面除去原点与负实轴的区域．第27页，课件共63页，创作于2023年2月幂函数的单叶性区域是顶点在原点，张角不超过的角形区域．（２）分出的单值解析分支函数出现多值性的原因是由于确定后，其辐角并不唯一确定。第28页，课件共63页，创作于2023年2月

处理方法：在平面上从原点到任意引一条射线（或一条无界简单曲线），将平面割破，割破的平面构成一个以此割线为边界的区域，记为G（同时也表示该区域中的某一子区域）。第29页，课件共63页，创作于2023年2月

假定从原点起割破负实轴，C为G内过的一条简单闭曲线，即C不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从出发绕C一周时，它的象点各画出一条闭曲线（包含在角形区域内）而回到它原来的位置，因为这时回到其起始的值（下图为n=3的情形）．第30页，课件共63页，创作于2023年2月第31页，课件共63页，创作于2023年2月结论：上述的n个单值连续函数都是解析函数，且在区域G内得到的n个不同的单值连续分支函数第32页，课件共63页，创作于2023年2月

支点：使当变点绕这一点一周时，多值函数从其一支变到另一支，即当变点回到原来的位置时，函数值与原来的值相异，则称此点为此多值函数的支点．（３）的支点及支割线如：和都为的支点．第33页，课件共63页，创作于2023年2月支割线：用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称为的支割线．

例：设确定在从原点起沿负实轴割破的平面上，且，求的值．第34页，课件共63页，创作于2023年2月2、对数函数

(1)对数函数：满足方程的函数称为对数函数，记为。令，则故第35页，课件共63页，创作于2023年2月主值：注：对每个固定的，上式为一单值函数，称为的一个分支。

例1、求，以及它们的主值。第36页，课件共63页，创作于2023年2月性质：1）2）(2)指数函数的变换性质及其单叶性区域令，则第37页，课件共63页，创作于2023年2月结论:1)变换将平面上的直线变成平面上从原点出发的射线，将线段变成圆周.

2)将平面上的带形区域变成平面上的角形区域(如下图).第38页，课件共63页，创作于2023年2月第39页，课件共63页，创作于2023年2月特别:变换将平面上的带形区域变成平面上除去原点及负实轴的区域.一般:变换将宽为的带形区域都变成平面上除去原点及负实轴的区域(如下图).第40页，课件共63页，创作于2023年2月第41页，课件共63页，创作于2023年2月

指数函数的单叶性区域是：平面上平行于实轴，宽不超过的带形区域.(3)分出的单值解析分支参照下图类似于对函数的讨论.在平面上从原点起割破负实轴的区域G内，可得到的多个不同的单值连续分支函数第42页，课件共63页，创作于2023年2月第43页，课件共63页，创作于2023年2月3、一般幂函数与一般指数函数

在区域G内解析，且．以与为支点，以连接它们的广义简单曲线（特别是负实轴）为支割线．幂函数：第44页，课件共63页，创作于2023年2月关于a的三种特殊情形：设表示中的任意一个确定值，表示所有值中的一个.则（１）a为正整数n时，，故是的单值函数．第45页，课件共63页，创作于2023年2月（３）a为无理数或虚数时，有无限多值．（２）a为有理数（既约分数）时，于是，有p个不同的值．第46页，课件共63页，创作于2023年2月

综述：由于的多值性，一般也是多值的（仅当a为整数时例外）．将分成单值解析分支的方法与相同，且仍以０与为支点．当从原点起沿负实轴割破平面后，的每一分支都解析，且第47页，课件共63页，创作于2023年2月一般指数函数：它是无穷多个独立的，在平面上单值解析的函数．

例：求与的值及主值．第48页，课件共63页，创作于2023年2月４、具有多个有限支点的情形根式函数与对数函数的支点都是一个有限支点０和无穷远点

∞.支割线可以是从0到∞的一条射线(如包含原点的负实轴)，与限制变点的辐角范围(如)是一致的.从而，在平面上以此割线为边界的区域G内，能分出单值解析分支．第49页，课件共63页，创作于2023年2月对具有多个有限支点的多值函数，就不能采用限制辐角范围的方法，而首先求出函数的一切支点，然后适当连接支点割破平面．在平面上以此割线为边界的区域G内，分出该函数的单值解析分支．第50页，课件共63页，创作于2023年2月（１）讨论函数的支点．其中是的所有相异零点，分别是它们的重数，且

例１讨论下列函数的支点：（ａ）（ｂ）第51页，课件共63页，创作于2023年2月解：（ａ）当z沿包含０（但不包含１）的简单闭曲线正方向绕行一周后，得到辐角增量的值较初值增加了一个因子发生了变化，由此０是的支点．类似讨论可得１也是其支点．第52页，课件共63页，创作于2023年2月当z沿同时包含０与１的简单闭曲线C绕行一周后，结果为初值乘以，并不改变其值．故∞不是的支点．第53页，课件共63页，创作于2023年2月（ｂ）的可能支点是０，１，∞．由于第54页，课件共63页，创作于2023年2月结果的值均较初值发生了变化．故０，１，∞都是的支点，且此外别无支点．第55页，课件共63页，创作于2023年2月结论：１）的可能支点是和