第二章 流体静力学

第二章流体静力学第1页，课件共124页，创作于2023年2月第一节流体静压强及其特性一、流体静压强的定义二、流体静压强的特性第2页，课件共124页，创作于2023年2月面积ΔA上的平均流体静压强P：A点上的流体静压强P：一.流体静压强的定义第3页，课件共124页，创作于2023年2月流体静压力：作用在某一面积上的总压力；流体静压强：作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强。流体静压力与流体静压强的区别：第4页，课件共124页，创作于2023年2月1、静压强的方向—沿作用面的内法线方向流体静压强的方向二、流体静压强的特性第5页，课件共124页，创作于2023年2月假定图中某点的静压强不是垂直于作用面，则静压强p必然可分解为两个分量，—个与作用面相切，为切向分量，也就是切应力；另一个与作用面相垂直，为法向分量。从牛顿内摩擦定律中可以看出，静止流体内部是不会出现切应力的，若，则流体的平衡会遭到破坏。因而在静止的流体中切向分量是不存在的，即。因此，流体静压强只可能垂直于作用面。又因为流体处于静止时不能承受拉应力，拉应力的存在也会破坏流体的平衡，所以流体静压强的方向必然是沿着作用面的内法线方向。由于流体内部的表面力只存在着压力，因此流体静力学的根本问题是研究流体静压强的问题。第6页，课件共124页，创作于2023年2月2、在静止流体内部，任一点的流体静压强的大小与作用面的方向无关，只与该点的位置有关。流体微小四面体平衡在静止的或相对静止的流体中，取出一个包括O点在内的微小四面体OABC，如图2-3所示，并将O点设置为坐标原点。取正交的三个边长分别为dx、dy、dz，它们分别与坐标轴x、y、z重合。与坐标面x、y、z及倾斜面ABC垂直的面上平均压强分别为px、py、pz及pn。第7页，课件共124页，创作于2023年2月作用在各面上的流体静压力等于各面的平均静压强与该作用面面积的乘积，即第8页，课件共124页，创作于2023年2月作用在微小四面体上的质量力在各轴向的分力等于单位质量力在各轴向的分力与流体质量的乘积。流体的质量等于流体密度与微小四面体体积的乘积。设单位质量力在x、y、z轴的分力分别是，则质量力在各轴向的分力为：第9页，课件共124页，创作于2023年2月微小四面体在上述表面力和质量力的作用下处于平衡状态，则外力的轴向平衡关系式为：第10页，课件共124页，创作于2023年2月微小四面体在上述表面力和质量力的作用下处于平衡状态，外力的轴向平衡关系式为：，即各向分力投影之和为零：第11页，课件共124页，创作于2023年2月x方向受力分析:上式第（1）项展开写成：当四面体无限地趋于O点时，则dx趋于0，所以有：px=pn。类似地有：px=py=pz=pn第12页，课件共124页，创作于2023年2月说明：1.静止流体中不同点的压强一般是不等的，一点的各向静压强大小相等。2.运动流体是理想流体时，由于μ=0，不会产生切应力，所以理想流体动压强呈静水压强分布特性。第13页，课件共124页，创作于2023年2月第二节流体静压强的分布规律一、重力作用下流体静压强的基本方程二、

分界面和自由面是水平面三、气体压强计算四、等密面是水平面第14页，课件共124页，创作于2023年2月一、重力作用下流体静压强的基本方程在静止液体中，任意取出一倾斜放置的微小圆柱体，微小圆柱体长为△Ɩ，端面积为dA，并垂直于柱轴线。周围的液体对圆柱体有侧面压力及两端面压力。侧面压力与轴向正交，沿轴向没有分力；轴的两端面的压力为P1和P2。

静止液体受的质量力只有重力，重力与轴线夹角为

，可以分解为平行于轴向的G·cos

和垂直于轴向的G·sin

两个分力。倾斜微小圆柱体轴向力的平衡，就是两端压力P1、P2及重力的轴向分力G·cos三个力作用下的平衡。即第15页，课件共124页，创作于2023年2月微小圆柱体断面积dA极小，断面上各点压强的变化可以忽略不计，可以认为断面各点压强相等,设圆柱上端面的压强p1,下端面的压强p2，端面压力为P1＝p1dA，P2＝p2dA，重力G=γ△ƖdA，代入上式，得:消去dA，并由于△ƖG·cos=△h，整理得压强关系式：倾斜微小圆柱体的端面是任意选取的。因此，可以得出普遍关系式：即静止液体中任两点的压强差等于两点间的深度差乘以容重。压强随深度不断增加，而深度增加的方向就是静止液体的质量力——重力作用的方向。所以，压强增加的方向就是质量力的作用方向。第16页，课件共124页，创作于2023年2月用压强关系式求静止液体内某一点的压强，设液面压强为po，液体容重为γ，该点在液面下深度为h，则：流体静力学基本方程式第17页，课件共124页，创作于2023年2月结论：

1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。

2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。

3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。第18页，课件共124页，创作于2023年2月设水箱水面的压强为po，水中1、2点到任选基准面o—o的高度为Zl及Z2，压强为p1及p2，将式中的深度改为高度差后得：液体静力学基本方程式的另一种形式这就是液体静力学基本方程式的另一种形式，也是我们常用的水静压强分布规律的一种形式。结论：在同一种液体中，无论哪一点(Z+P/γ)总是一个常数。第19页，课件共124页，创作于2023年2月几何意义：位置水头z：任一点在基准面0-0以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。

压强水头：表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称压能（压强水头），是该点在压强作用下沿测压管所能上升的高度。测压管水头（）：测压管水头，它表示测压管水面相对于基准面的高度。

两水头相加等于常数，表示同一容器的静止液体中，所有各点的测压管水头均相等。因此，在同一容器的静止液体中，所有各点的测压管水面必然在同一水平面上。第20页，课件共124页，创作于2023年2月能量意义：

表示单位重量流体的压力能，称为比压力能。因为压力为p、体积为V的流体所做的膨胀功为pV，则单位重量物体所具有的压力能为：pV/G=p/γ。比位能z和比压力能p/γ的单位都是焦耳/牛顿。式中z表示单位重量流体相对于某一基准面的位能，称为比位能。从物理学得知，把质量为m的物体从基准面提升一定高度z后，该物体所具有的位能是mgz，则单位重量物体所具有的位能为：(mgz)/(mg)=z。称为单位重量流体的总势能。重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。这就是静止流体中的能量守恒定律。第21页，课件共124页，创作于2023年2月二、分界面和自由面是水平面两种容重不同万不混合的液体，在同一容器中处于静止状态，两种液体之间形成分界面。这种分界面既是水平面又是等压面。现在，我们从反面证明如下：图2—9盛有γ2＞γ1的两种不同液体，设分界面不是水平面而是倾斜面，我们在分界面上任选1、2两点，其深度差为△ｈ，根据压差关系式，从分界面上、下两方分别求压差为：由于液体容重不等于零，且γ2＞γ1。必然是△ｈ＝0，即分界面是水平面，不可能是倾斜面。将△ｈ＝0代人压差关系式，得△ｐ＝0。这就证明分界面是等压面，所以，分界面既是水平面又是等压面。第22页，课件共124页，创作于2023年2月静止的液体和气体接触的自由面，受到相同的气体压强，所以，自由面是分界面的一种特殊形式。它既是等压面，也是水平面。需要指出：上述规律是在同种液体处于静止、连续的条件下推导出来的。因此，液体静压强分布规律只适用于静止、同种、连续液体。第23页，课件共124页，创作于2023年2月静力学基本方程的适用条件：1.静止2.连通(连续)3.连通的介质为同一均质流体4.质量力仅有重力5.同一水平面第24页，课件共124页，创作于2023年2月三、气体压强计算以上规律，虽然是在液体的基础上提出采纳，但对不可压缩气体也仍然适用。由于气体容重很小，在高差不大的情况下，气柱产生的压强值很小，可以忽的压强的影响，则流体静力学基本方程式可以简化为：

表示空间各点气体压强相等．例如认为液体容器，测压管、锅炉等上部的气体空间各点的压强也是相等的。第25页，课件共124页，创作于2023年2月四、等密面是水平面在静止非均质流体中，取轴线水平的微小圆柱体如图2—12。作用在静止流体上的质量力只有重力，侧面压力垂直于轴线，所以这两种力沿轴向均无分力。沿轴向外力的平衡，表现为两端面压力相等。两端面的面积相等，则压强也必然相等。即p1＝p2圆体体轴线在水平面上是任意选取的，两点压强相等，说明水平面上各点压强相等，非均质流体的水平面仍然是等压面。静止均质流体的水平面是等压面是否也适用于静止非均质流体呢？第26页，课件共124页，创作于2023年2月水平面上的容重是否变化呢?在静止非均质流体内部，取相距为△h的两个水平面，在它们之间任选两个铅直微小住体，分别计算它们的压强差为：两柱体的压强差相等，因而γa必等于γb，否则，流体就不会静止，要流动。当两等压面无限接近，即△h→0时，γa和γb就变成同一等压面上两点的容重，此两点容重相等，说明水平面不仅是等压面，而且是等容重面。容重与密度成正比，所以，等容重面也是等密度面。第27页，课件共124页，创作于2023年2月第三节压强的计算基准和度量单位一、压强的两种计算基准（绝对压强和相对压强）c.真空：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态，是负的相对压强。

a.绝对压强：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用

表示。

b.相对压强：又称“表压强”，是以当地工程大气压(at)为基准计量的压强。用表示，

可“＋”可“–”，也可为“0”。

第28页，课件共124页，创作于2023年2月正压：相对压强为正值（压力表读数）。负压：相对压强为负值。真空度：负压的绝对值(真空表读数，用Pv表示)。第29页，课件共124页，创作于2023年2月敞开容器中静止流体的A点相对压强的计算第30页，课件共124页，创作于2023年2月相对压强的实际意义

1．假定容器的活塞打开，容器内外气体压强一致，po＝pa，相对压强为零。2．假定容器的压强po＞pa

，这个超过大气压强的部分，对器壁产生的力学效应，使器壁向外扩张。如果打开活塞，气流向外流出，流出速度与相对压强的大小有关。3．假定容器压强严po＜

pa

。大气压强的部分对器壁产生力学效应，使容器向内压缩。打开活塞，空气一定会吸入，吸入的速度也和负的相对压强大小有关。第31页，课件共124页，创作于2023年2月二、压强的三种度量单位a.应力单位

这是从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示的，N/m2，Pa，kN/m2

，kPa。

b.大气压

标准大气压：1标准大气压(atm)=1.013X105Pa=101.3kPa

工程大气压：at（1kgf/㎡）第32页，课件共124页，创作于2023年2月

c.液柱高度

水柱高mH20：1atm相当于

1at相当于

汞柱高mmHg：1atm相当于

1at相当于

第33页，课件共124页，创作于2023年2月常用换算关系：1atm=1.03323at=101325Pa=1.01325bar=760mmHg=10332.3mmH2O1at=98070Pa=10000mmH2O=735.6mmHg第34页，课件共124页，创作于2023年2月重力场中流体的平衡解由等压面的关系知例如图２-１所示，一倒置的Ｕ形管，其工作液体为油，下部为水已知，求两容器中的压强第35页，课件共124页，创作于2023年2月重力场中流体的平衡解活塞重量使其底面产生的压强为列等压面方程由上式可解得第36页，课件共124页，创作于2023年2月重力场中流体的平衡解图中1-1,2-2和3-3均为等压面,根据流体静压强计算公式,可以逐个写出每一点的静压强,分别为将上式逐个代入下一个式子整理后得A,B两点的压强差例２-4如图所示，已知

求AB两点的压强差第37页，课件共124页，创作于2023年2月重力场中流体的平衡解在F1,F2作用下,活塞底面产生的压强分别为图中a-a为等压面,题目中给出的第一个圆筒上部是计示压强,所以第二个圆筒上部的大气压强不必考虑，列等压面方程解上式得第38页，课件共124页，创作于2023年2月重力场中流体的平衡解在F1,F2作用下,活塞底面产生的压强分别为图中a-a为等压面,题目中给出的第一个圆筒上部是计示压强,所以第二个圆筒上部的大气压强不必考虑，列等压面方程解上式得第39页，课件共124页，创作于2023年2月第四节液柱测压计一、测压管测压管：是以液柱高度为表征测量点压强的连通管。一端与被测点容器壁的孔口相连，另一端直接和大气相通的直管。

适用范围：测压管适用于测量较小的压强，但不适合测真空。

第40页，课件共124页，创作于2023年2月注意：1.由于各种液体重度不同，所以仅标明高度尺寸不能代表压力的大小，还必须同时注明是何种液体的液柱高度才行。2.测压管只适用于测量较小的压力，一般不超过10kPa。如果被测压力较高，则需要加长测压管的长度，使用就很不方便。第41页，课件共124页，创作于2023年2月3.测压管中的工作介质就是被测容器(或管道)中的流体，所以测压管只能用于测量液体的正压，而对于测量液体的负压以及气体的压力则不适用。4.在测量过程中，测压管一定要垂直放置，否则将会产生测量误差。第42页，课件共124页，创作于2023年2月二、U形测压计这种测压计是一个装在刻度板上的两端开口的U型玻璃管。测量时，管的一端与大气相通，另一端与被测容器相接(如图)，然后根据U型管中液柱的高度差来计算被测容器中流体的压力。U型管内装有重度γ2大于被测流体重度γ1的液体工作介质，如水、酒精、四氯化碳和水银等。它是根据被测流体的性质、被测压力的大小和测量精度等来选择的。注意，工作介质与被测流体相互不能掺混。ABCh12第43页，课件共124页，创作于2023年2月如果被测流体的压力较高，用一个U型管则较长，可以采用串联U型管组成多U型管测压计。通常采用双U型管或三U型管测压计。第44页，课件共124页，创作于2023年2月图b,测压管水面低于A点，以1-1为等压面，则故A点的负压或真空度为：如果需要测定气体压强，可以采用u形管盛水，如图c所示。因为空气容重远小于水，一般容器中的气体高度又不太大，因此、可以忽略气柱高度所产生的压强。认为静止气体充满的生间各点脓强相等。现仍以1-1面为等压面，则图a,测压管水面高于A点，AA为正值。即第45页，课件共124页，创作于2023年2月U型管差压计用来测量两个容器或同一容器(或管道等)流体中不同位置两点的压力差。测量时，把U型管两端分别和不同的压力测点A和B相接，如图所示。三、差压计如果测量较小的液体压力差时，也可以采用倒置式U型管差压计。如果被测量的流体的压力差较大，则可采用双U型管或多U型管差压计。第46页，课件共124页，创作于2023年2月图a为测定A、B两处液体压强差的空气压差计．由于气柱高度不大，可以认为两液面为等压面，故得第47页，课件共124页，创作于2023年2月需要测定的压差较大时，采用图b所示的水银压差计。根据1、2点为等压面得如A、B为同种液体，即γA＝γB＝γ如A、B为同种液体，在同一高度，ZI＝Z2，则如果，A、B两处为同一气体，则第48页，课件共124页，创作于2023年2月当测量很微小的流体压力时，为了提高测量精度，常常采用微压计。微压计的结构如图所示，一般用于测定气体压强。它是由一个大容器连接一个可以调整倾斜角度的细玻璃管组成，其中盛有重度为γ的工作液体。四、微压计第49页，课件共124页，创作于2023年2月测压前，微压计两端与大气相通，容器与斜管内的液面平齐。当测量容器或管道中的某处压力时，将微压计上端的测压口与被测气体容器或管道的测点相接，若被测气体的压力p＞pa，则在该压力作用下，微压计容器中液面下降至新位置,而倾斜玻璃管中的液面上升了Ɩ长度，其上升高度h=Ɩ·sin

。当测量时，

为定值，只需测得倾斜长度Z，就可得出压差。由于Ɩ＝/sin

，当sin

＝0.5时，Ɩ＝2h；当sin

＝0.2时，Ɩ＝5h。说明倾斜角度越小，Ɩ比h放大的倍数就越大，侧的精度就更高。γ愈小，读数Ɩ就越大。因此，常用容重比水更小的液体，例如酒精以提高精度。第50页，课件共124页，创作于2023年2月用于测定较大的压强。优点：携带方便、装置简单、安装容易、测读方便、经久耐用，是测量压强的主要仪器。构造：常用的一种弹簧测压计见图。原理：其内装有一端开口，一端封闭端面为椭圆形的镰刀形黄铜管，开口端与被测定压强的液体连通，测压时，由于压强的作用，黄铜管随着压强的增加而发生伸展，从而带动扇形齿轮使指针偏转，把液体的相对压强值在表盘上显示出来。五、金属压力表第51页，课件共124页，创作于2023年2月第五节

作用在平面上的流体静压力在工程实际中，有时需要解决液体对固体壁面的总作用力问题。在已知流体的静压力分布规律后，求总压力的问题，实质上就是求受压面上分布力的合力问题。本节讨论作用在平面上的总压力及其压力中心。

作用在平面上总压力的计算方法有两种：解析法和图解法。第52页，课件共124页，创作于2023年2月一、解析法

1.平面总压力大小hhChDyyCyD...oxyαbadACD设有一与水平面成α夹角的倾斜平面ab，其面积为A，左侧受水压力，水面大气压强为p0，在平板表面所在的平面上建立坐标，原点o取在平板表面与液面的交线上，ox轴与交线重合，oy轴沿平板向下。第53页，课件共124页，创作于2023年2月设在受压平面上任取一微元面积dA，其中心点在液面下的深度为h，作用在dA中心点上的压强为p=p0+γh，则作用在微元面积dA上的总压力为hhChDyyCyD...oxyαbadACDdF=pdA=(p0+γh)dA=p0dA+γysinαdA考虑相对压强dF=pdA=γhdA=γysinαdA第54页，课件共124页，创作于2023年2月整个平面由无数dA组成，则整个平板所受水静压力由dF求和得到。hhChDyyCyD...oxyαbadACD根据平行力系求和原理，作用在平面上的水静压力式中为面积A对ox轴的静面矩，由理论力学知，它等于面积A与其形心坐标yc的乘积，即第55页，课件共124页，创作于2023年2月∴F=γsinαycA=γhcA=pcA上式表明：静止液体作用在任意形状平面上的总压力的大小，等于该平面形心处的静压力与平面面积的乘积。液体总压力的方向垂直指向受压面的内法线方向。hhChDyyCyD...oxyαbadACD第56页，课件共124页，创作于2023年2月2.确定总压力的作用点——压力中心

总压力的作用点又称为压力中心。压力中心D的位置，可根据理论力学中的合力矩定理求得，即各分力对某一轴的静力矩之和等于其合力对同一轴的静力矩。hhChDyyCyD...oxyαbadACD微小面积dA所受水静压力dF=γhdA=γysinαdA对0x轴力矩合力矩第57页，课件共124页，创作于2023年2月总压力F对ox轴的静力矩为:hhChDyyCyD...oxyαbadACD整个平面所受合压力F，假设作用点距ox轴为yD，则：根据合力矩定理

所以式中为受压面对ox轴的惯性矩第58页，课件共124页，创作于2023年2月根据平行移轴定理：hhChDyyCyD...oxyαbadACD其中为受压面对通过平面形心并与平行于ox轴的轴的惯性矩。∴由于恒为正值，故有yD＞yc。说明压力中心D点总是低于形心C。第59页，课件共124页，创作于2023年2月结论：（1）水静压力大小为形心处压强乘以平面面积。（2）水静压力方向垂直于受压平面，并指向平面内法线方向。（3）作用点yD在形心下方，用yD=yC+JC/ycA来算。第60页，课件共124页，创作于2023年2月常见图形的几何特征量第61页，课件共124页，创作于2023年2月例1：一铅直船闸门门宽B=5m，闸门一侧水深为H=7.5m，另一侧水深h=3m，求作用在此闸门上的水平合压力及作用线位置。B＝5mH=7.5mh=3mxyyD1yD2yFP1P2第62页，课件共124页，创作于2023年2月解：左边：迎水面积形心：作用力：作用点：右边：面积形心B＝5mH=7.5mh=3mxyyD1yD2yFP1P2第63页，课件共124页，创作于2023年2月作用力：作用点：∴合力作用线：假设合力的作用线距底边为y，则：代入数据，B＝5mH=7.5mh=3mxyyD1yD2yFP1P2第64页，课件共124页，创作于2023年2月例2：矩形闸门AB可绕其顶端A轴旋转，由固定闸门上的一个重物来保持闸门的关闭。已知闸门宽1.2m，长0.9m，整个闸门和重物1000kg，重心在G处，与A水平距离为0.3m，求水深多大时，闸门刚好打开（θ=60°，设水深为H）。x...θb=1.2mh=0.9m0.3mGACDoyhChDHPEB第65页，课件共124页，创作于2023年2月解：要使闸门打开，闸门迎水面所受水的总压力对转轴A的力矩至少应等于闸门与重物重量对A的力矩。x...θb=1.2mh=0.9m0.3mGACDoyhChDHPEBM水≥M物（等号为刚好打开）面积A=b×h形心∴力压力作用点：第66页，课件共124页，创作于2023年2月又

∵∴∴x...θb=1.2mh=0.9m0.3mGACDoyhChDHPEB代入以上数据，得H≥0.88m故当H=0.88m，闸门刚好打开。第67页，课件共124页，创作于2023年2月二、图解法1.绘制水静压强分布图使用图解法，首先需要绘制静压力分布图，然后再根据它来计算总压力。静压力分布图是依据水静力学基本方程p=p0+γh，直接在受压面上绘制表示各点静压力大小和方向的图形。第68页，课件共124页，创作于2023年2月几种常见受压面的静压力分布图。

静水压强分布图绘制规则：1）按照一定的比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的大小；2）用箭头标出静水压强的方向，并与该处作用面垂直。受压面为平面的情况下，压强分布图的外包线为直线；当受压面为曲线时，曲面的长度与水深不成直线函数关系，故压强分布图外包线亦为曲线。第69页，课件共124页，创作于2023年2月计算总压力的大小现在对高为H、宽为b、底边平行于水平面的垂直矩形平面AB(如图)，计算其总压力，为上式中(2p0+γH)H/2恰为静压力分布图ABCD的面积，我们用Ω表示，则上式可写成

P=Ω

·b第70页，课件共124页，创作于2023年2月由此可见，液体作用在底边平行于水平面的矩形平面上的总压力，等于静压力分布图的面积与矩形平面宽度的乘积。

或者说，其总压力等于静压力分布图的体积。由于静压力分布图所表示的正是力的分布情况，而总压力则是平面上各微元面积上所受液体压力的合力。所以总压力的作用线，必然通过静压力分布图的形心，其方向垂直指向受压面的内法线方向。第71页，课件共124页，创作于2023年2月判断：下列压强分布图中哪个是错误的？

第72页，课件共124页，创作于2023年2月第六节作用在曲面上静止流体的总压力HooverDam胡佛水坝Channel第73页，课件共124页，创作于2023年2月图中圆柱长为Ɩ，母线与纸面垂直。受压曲面AB，左侧受水静压力作用，在表面上任意取一微元面积dA取一点E，E点距水面距离为h，以E点为中，则作用在dA上的水静压力为：假设dP与水平面夹角为θ，则dP在水平方向和铅直方向的分量：水平方向铅直方向第74页，课件共124页，创作于2023年2月ABCDhdPθdAxzEdPZdPXdAdAZdAXθdPθ从右图可得：——微元面在铅直面上的投影——微元面在水平面上的投影∴则第75页，课件共124页，创作于2023年2月1、水平方向：ABCDhdPθdAxzEdPZdPXdAdAZdAXθdPθ为面AB在铅直面上的投影面积Az对水面水平轴的静矩。假设hc为Az的形心在水面下淹没深度则作用在曲面上流体压力的水平分量是Px等于作用于该曲面铅直投影面上的水静压力。第76页，课件共124页，创作于2023年2月2、铅直方向：ABCDhdPθdAxzEdPZdPXhdAx是以dAx为底面积，水深h为高的柱体体积；DCABdAx则为整个受压曲面AB与其在自由面的投影面CD这两个面之间的柱体ABCD的体积；∴——铅直分量Pz为其压力体的液体重量。第77页，课件共124页，创作于2023年2月3、压力体压力体体积的组成：⑴受压曲面本身；⑵通过曲面周围边缘所作的铅垂面；

⑶自由液面或自由液面的延长线。压力体的种类：

实压力体和虚压力体。实压力体Fz方向向下，虚压力体Fz方向向上。第78页，课件共124页，创作于2023年2月4、压力体的绘制动画一动画二动画六动画五动画四动画三第79页，课件共124页，创作于2023年2月4、静水总压力1）作用在曲面上的静水总压力大小：

2）作用线与水平方向的夹角：θPxPPzPθPXPZ第80页，课件共124页，创作于2023年2月3.总压力的合成

总压力的大小利用水平分力及铅垂分力通过求合力的方法求得。结论：曲面上的静水总压力的计算1.计算水平分力

正确绘制曲面的铅垂投影图，求出该投影图的面积及形心深度，然后求出水平分力；2.计算铅垂分力

正确绘制曲面的压力体。压力体体积由以下几种面围成：受压曲面本身、通过曲面周围边缘作的铅垂面、液面或液面的延长线。铅垂分力的大小即为压力体的重量；第81页，课件共124页，创作于2023年2月例1：如图所示一挡水弧形闸门，已知R=2m,θ=30度,h=5m,试求单位宽度所受的水静总压力的大小。RBAEDChθhcF第82页，课件共124页，创作于2023年2月解：水平方向的压力等于面EB上的水压力：RBAEDChθhcF铅直方向的压力等于压力体CABEDC的水重。分成两部分：1.2.第83页，课件共124页，创作于2023年2月RBAEDChθhcF则：代入数据得：第84页，课件共124页，创作于2023年2月第七节流体平衡微分方程式一.流体平衡微分方程式二.有势质量力及力的势函数三.等压面第85页，课件共124页，创作于2023年2月一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程

在流体内部取以任意点A为中心的微小正六面体，六面体的各边分别与直角坐标轴平行，边长分别为dx、dy、dz。中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：

1.方程推导静止流体只受到质量力和由压力产生的法向表面力，这些力应该满足的关系——流体平衡的微分方程式。第86页，课件共124页，创作于2023年2月作用在六面体上的表面力只有周围流体对它的压力。因此先确定六面体各面上的压强。设点A的坐标为x、y、z，压强为p。由于压强是坐标的连续函数，则离该点处的压强为，并且可将在处用泰勒级数展开，即第87页，课件共124页，创作于2023年2月如果dy为无限小量，则在上述级数中二阶及二阶以上的高阶小量均可略去，即等号右边只取前两项已经可以满足精度要求，则上式可以简写为：则沿y轴方向的六面体边界面abcd和中心点处的压强分别为和。作用在这两个面上的法向力为和。第88页，课件共124页，创作于2023年2月当微小六面体处于平衡状态时，ｙ方向的合力为０，即：同理可以写出ｘ、ｚ方向的力平衡方程式，即：第89页，课件共124页，创作于2023年2月用除以上x、y、z轴方向的力平衡方程式，并化简得以上三个式子用矢量形式表示为这就是流体平衡微分方程式。它是欧拉在1755年首先提出的，所以又称为欧拉平衡微分方程式。第90页，课件共124页，创作于2023年2月2.物理意义：1）处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。

2）压强沿轴向的变化率（

）等于轴向单位体积上的质量力的分量（X，Y，Z）。

欧拉平衡微分方程是流体静力学最基本的方程，它可解决流体静力学中许多基本问题。第91页，课件共124页，创作于2023年2月

1.欧拉平衡微分方程适用于静止流体、相对静止的流体

在推导欧拉平衡微分方程的过程中，对质量力的性质及方向并未作具体规定。

2.欧拉平衡微分方程适用于可压缩流体、不可压缩流体。在推导中对整个空间的流体密度是否变化或如何变化也未加限制。3.欧拉平衡微分方程适用于理想流体、粘性流体。流体是处在平衡或相对平衡状态，各流层间没有相对运动。说明第92页，课件共124页，创作于2023年2月流体平衡微分方程的另一种形式因为p=p(x,y,z)压强全微分

流体平衡微分式方程两边乘以dx,dy,dz后相加得：第93页，课件共124页，创作于2023年2月如果流体是不可压缩的，即P为常数。上式右边的括号内的数值必然是某一函数W(x、y、z)的全微分，即二、有势质量力及力的势函数满足上式的函数W(z、y点)称为势函数。具有这样势函数的质量力称为有势的力。第94页，课件共124页，创作于2023年2月

凡满足不可压缩流体平衡微分方程的质量力必然是有势力。或者说：不可压缩流体只有在有势质量力的作用下才能够处于平衡状态。第95页，课件共124页，创作于2023年2月当质量力只有重力时即为流体静力学基本方程式第96页，课件共124页，创作于2023年2月三、等压面1.等压面的定义：是指流体中压强相等（p=常数）的各点所组成的面。等压面满足的方程第97页，课件共124页，创作于2023年2月2.等压面具有的重要特性：1）不可压缩流体中，等压面与等势面重合。所谓等势面就是力的势函数W(x，y，z)=C的面。对于不可压缩流体，等压面也就是等势面。2）在平衡流体中，作用于任一点的质量力必定垂直于通过该点的等压面。第98页，课件共124页，创作于2023年2月液体的相对平衡等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡静压强的分布规律

代入压强差公式

坐标原点选在液面不变化的o点，z轴垂直向上，x轴沿罐车的运动方向积分得

第四节液体的相平衡第99页，课件共124页，创作于2023年2月液体的相对平衡当时得静压强不仅与垂直坐标有关系，同时还和水平坐标有关系等压面方程

积分得

平面和x轴的夹角为

等压面为一簇倾斜平面由公式可以看出,质量力的合力仍然垂直于等压面◆等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡第100页，课件共124页，创作于2023年2月液体的相对平衡自由液面

得

代入

得※形式上和绝对平衡的流体静压强的分布规律完全相同，但实质上两者是有区别的。在绝对平衡状态下，淹深仅仅和垂直坐标有关，而上述的相对平衡状态下，淹深不仅和垂直坐标有关，还和水平坐标有关。◆等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡第101页，课件共124页，创作于2023年2月◆等角速旋转容器中液体的相对平衡将坐标原点取在抛物面的顶点上，z轴垂直向上，xoy面水平单位质量力分量分别为代入压强差公式

积分得

第102页，课件共124页，创作于2023年2月液体的相对平衡当时代入上式得

等压面方程

积分得

等压面为旋转抛物面

的等压面为自由液面

◆等角速旋转容器中液体的相对平衡第103页，课件共124页，创作于2023年2月液体的相对平衡自由液面方程

代入得

特例一

顶盖中心开口的旋转容器（离心式铸造机）流体受惯性力的作用向外甩,由于顶盖的限制,自由液面虽然不能形成抛物面,当压强分布仍为顶盖中心处边缘处◆等角速旋转容器中液体的相对平衡第104页，课件共124页，创作于2023年2月特例二

顶盖边缘开口的旋转容器（离心式水泵、离心式风机）

时得液体的相对平衡液体借助惯性有向外甩的趋势，但中心处随即产生真空,在开口处的大气压和真空形成的压强差的作用下,限制了液体从开口处甩出来,液面不能形成抛物面◆等角速旋转容器中液体的相对平衡第105页，课件共124页，创作于2023年2月液体的相对平衡解当汽车在水平路面上作等加速直线运动时,U形管两支管的液面在同一斜面上,设该斜面和水平方向的夹角为,由题意知由上式可解出两支管液面差的高度第106页，课件共124页，创作于2023年2月液体的相对平衡解等角速旋转容器中液体相对平衡时,流体静压强的通用公式为将顶盖上的边界条件时代入上式,可求得积分常数第107页，课件共124页，创作于2023年2月液体的相对平衡代入上式得作用在顶盖上的静水总压力为令,由上式可以解出第108页，课件共124页，创作于2023年2月答案：c

A.f水<f水银；B.f水>f水银；

C.f水=f水银；

D、不一定。

例1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所受的单位质量力f水和f水银的大小？

第109页，课件共124页，创作于2023年2月自由落体：X＝Y=0,Z=0。

加速运动：X=-a,Y=0,Z=-g。

例题2：试问自由落体和加速度a向x方