人教A版（2023）必修第一册《第五章 三角函数》单元测试(含解析)

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）

A.B.C.D.

2.（5分）的圆心角所对的弧长为，则该圆弧所在圆的半径为

A.B.C.D.

3.（5分）函数的图象如下图所示，为了得到的图象，可以将的图象

A.向右平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

4.（5分）已知，

A.B.C.D.

5.（5分）已知函数其中，其部分图像如图所示，将的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向右平移个单位得到的图像，则函数的解析式为

A.B.

C.D.

6.（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则的面积为

A.B.C.D.

7.（5分），且第三象限角，则

A.B.C.D.

8.（5分）已知函数，，若函数的图象关于点对称，且，则

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）设定义在上的奇函数的部分图象如图图象以为周期向左延伸，其中是函数图象的两条对称轴，则下列结论正确的是

A.当时，方程的所有根之和等于

B.

C.函数在区间上递增

D.

10.（5分）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的

A.

B.

C.函数为奇函数

D.函数在区间上单调递减

11.（5分）如图是函数的部分图象，则

A.B.

C.D.

12.（5分）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为则下列结论正确的是

A.的最小正周期为

B.的最大值为

C.在区间上单调递增

D.为偶函数

13.（5分）下列命题正确的是

A.存在实数，使

B.存在实数，使

C.函数是偶函数

D.是函数的一条对称轴方程

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）若，且，则的值为________.

15.（5分）已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为______．

16.（5分）若函数的图像向右平移个单位后与自身重合，且曲线的一个对称中心为，则的最小正值为________。

17.（5分）已知为钝角，，则__________.

18.（5分）______．

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）如图，在中，，，点在边上，且，

求；

求的长.

20.（12分）计算：

；

21.（12分）已知函数，，求的值域，；

已知，，，，求的值．

22.（12分）已知函数，．

求函数的最小正周期和单调递减区间；

已知中的三个内角，，所对的边分别为，，，若锐角满足，且，，求，的长．

23.（12分）已知

求的最小正周期；

求的单调递减区间．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：

，

故选：．

由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子，求得结果．

这道题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．

2.【答案】C;

【解析】解：的圆心角所对的弧长为，由，

所以该圆弧所在圆的半径为

故选：

把角度数化为弧度数，利用弧长公式计算即可．

此题主要考查了弧度制与弧长公式的应用问题，是基础题．

3.【答案】B;

【解析】

该题考查三角函数的图象和性质以及图象的平移变换，首先根据图象得出函数的解析式，利用诱导公式把和化为同名函数即可得出结果，属中档题．

解：由图象可知，且函数的周期，所以，

所以，且图象过，所以，所以，

所以，

，

而

所以只需将的图像向右平移个单位长即可得的图象．

故选B．

4.【答案】D;

【解析】解：，

又根据二倍角公式可得，

故选：

根据二倍角公式，即可求解．

此题主要考查三角函数的二倍角公式，属于基础题．

5.【答案】B;

【解析】

这道题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．

由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再根据函数的图象变换规律，得出结论．

解：由函数的图象可得，，

．

再由五点法作图可得，，

，函数

将的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，

可得函数的图象；

再向右平移个单位得到

的图象，

故函数的解析式为，

故选B．

6.【答案】A;

【解析】

这道题主要考查了二倍角余弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．

由已知利用二倍角余弦函数公式可求，利用三角形面积公式即可计算得解．

解：由，得：或舍去，

，

故选A．

7.【答案】C;

【解析】解：因为，且第三象限角，

所以，

则

故选：

由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．

此题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

8.【答案】B;

【解析】解：

，

，

其图象关于对称，

，，

，．

，又，

．

故选B．

利用二倍角公式可求得，从而知，利用其图象关于对称即可求得．

该题考查函数的图象变换，着重考查正弦函数的对称性，属于中档题．

9.【答案】ABC;

【解析】【解析】奇函数的的图象关于原点对称由函数图象，知，正确：当时，

图象关于直线对称，方程有两个根，且两根之和等于，正确：函数在上

递增，又函数具有周期性，且周期为，所以在区间，上递增，正确：由图象的对称

性，知函数在上递减，所以，错误

10.【答案】BC;

【解析】解：根据函数的部分图象，可得，

，，

结合五点法作图，可得，，，故错误；

由于，

，故正确；

将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，

显然，为奇函数，故正确；

在区间上，，故函数在区间上单调递增，故错误，

故选：

由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．

此题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．

11.【答案】BD;

【解析】解：若，根据函数的部分图象，可得，

由，求得

再结合五点法作图，可得，，

故函数的解析式为

若，根据函数的部分图象，可得，

由，求得

再结合五点法作图，可得，，故据函数

故选：

分类讨论的符号，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再结合诱导公式，得出结论．

此题主要考查诱导公式、由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于中档题．

12.【答案】BC;

【解析】解：由图知，的最小正周期，则．

由，得．

由，得，则，

所以．

由于函数的最小正周期为，故A不正确；

显然，的最大值为，故B正确；

当时，，则单调递增，故C正确；．

因为，则不是偶函数，故D不正确，

故选：．

由由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象的顶点坐标求出，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．

这道题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的特殊点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．

13.【答案】CD;

【解析】

此题主要考查了求方程的根、三角函数的对称性、命题真假的判断及三角函数的奇偶性等，属中档题.

其中正弦余弦函数的对称性可归纳为：若时，函数取最值，则直线为函数图象的对称轴，根据三角函数的性质逐项判断即可.

由，然后根据三角函数值域，可判断的真假由，易判断的真假根据奇偶性的定义易判断的真假将代入，根据函数对称性，易判断的正误.

解：由于，由，得，矛盾

对于，由，故错误

对于，，显然是偶函数，故正确

对于，中，当时，，

此时的终边落在轴上，函数取最值，

故是函数的图象的一条对称轴是正确的，故正确，

故答案为

14.【答案】;

【解析】

此题主要考查三角函数求值，属于中档题.

由题意和二倍角公式得出，把要求的式子平方并由同角三角函数基本关系变形为，整体代入可得答案.

解：因为，且，

所以，，

所以

，

所以

，

由可得，

所以

故答案为

15.【答案】1;

【解析】解：扇形的圆心角为，半径为，扇形的弧长为：，

所以扇形的面积为：．

故答案为：．

直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．

本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力．

16.【答案】;

【解析】

此题主要考查函数的图象变换和正切函数的对称中心，考查整体代换意识与运算能力，属于中档题．

根据函数的图象向右平移个单位后与自身重合，可得，，结合的范围，可得的值．

解：的图象向右平移个单位后与自身重合，

，，

则，，①

的对称中心为，

的对称中心是，

又是函数的一个对称中心，

，

，，②

由①②知，的最小正值为

故答案为

17.【答案】;

【解析】

此题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式以及二倍角公式，属于中档题.

先根据同角三角函数的基本关系求得，再根据诱导公式以及二倍角公式计算，即可得到答案.

解：因为为钝角，则

所以，

又，

所以，

则

故答案为

18.【答案】;

【解析】解：，

故答案为：．

由条件利用利用诱导公式进行化简求值，可得结果．

这道题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．

19.【答案】

解：在中，，

，

；

在中，由正弦定理得，

在中，由余弦定理得，

解得;

【解析】此题主要考查同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数、正弦定理和余弦定理，灵活运用公式是解答本题的关键，考查了学生的计算能力，属于中等题.

根据题意利用同角三角函数之间的关系及两角和与差的三角函数即可得到结果；

根据题意利用正弦定理和余弦定理即可得到结果.

20.【答案】解：（1）（lg25-2lg）÷100+（-1）0-（）=lg÷10+1-=2÷10+1-=．

（2）sin（）+cos（-）+tan（）=-sin+cos+tan=--+1=0．;

【解析】

由题意利用对数的运算法则，求得所给式子的值．

由题意利用诱导公式化简所给式子，可得结果．

这道题主要考查对数的运算法则的应用，诱导公式，属于基础题．

21.【答案】（1）解：函数f（x）=cox+2sinxcosx-six=sin2x+cos2x=2sin（2x+），

∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，sin（2x+）∈[-，1]，f（x）∈[-1，2]．

（2）已知α∈（-，），β∈（0，π），sinα=，cosβ=，∵cosα==，sinβ==．

∴α∈（0，），β∈（0，），∴β-α∈（-，）

sin（β-α）=sinβcosα-coaβsinα=×-×=，

∴β-α=．;

【解析】

利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得，求的值域．

利用同角三角函数的基本关系求得和的值，两角差的正弦公式求得的值，可得的值．

这道题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．

22.【答案】解：

；

；

的最小正周期为；

由得：

，，

的单调递减区间是，；

，

，

，

，

；

由正弦定理得：，

即，

；

由余弦定理得：

，

即