2017年高中数学人教A版选修4-4自我小测：第二讲四　渐开线与摆线 （1） Word版含解析

自我小测1．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的摆线方程中，参数对应的点A与点之间的距离为()．A．B．C．D．2．如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是()．A．3πB．4πC．5πD．6π3．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．4．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________；当参数时，对应的曲线上的点的坐标为________．5．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，则该圆的面积为__________，对应圆的渐开线方程为__________．6．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．7．已知一个圆的摆线过点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．8．给出直径为8的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．9．已知一个参数方程是如果把t当成参数，它表示的图形是直线l(设斜率存在)，如果把α当成参数(t＞0)，它表示半径为t的圆．(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t)，求出圆对应的摆线的参数方程．

参考答案1.答案：C解析：根据圆的参数方程，可知圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)．把代入参数方程中可得即，∴.2.答案：C解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.3.答案：(，0)和(，0)解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为＋y2＝36，整理可得．这是一个焦点在x轴上的椭圆，其中，故焦点坐标为(，0)和(，0)．4.答案：2解析：圆的渐开线的参数方程由基圆的半径惟一确定．易知基圆半径为1，从而直径为2；把代入参数方程，得，.由此，可得对应点的坐标为.5.答案：25π(φ为参数)6.答案：(φ为参数)解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换．所以要写出摆线方程关于直线y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x与y互换．7.解：圆的摆线的参数方程为(φ为参数)，令r(1－cosφ)＝0，可得cosφ＝1，解得φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，可得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因圆的摆线过点(1,0)，所以r(2kπ－sin2kπ)＝1，解得(k∈Z)．又r＞0，所以k＞0且k∈Z，即k∈N*.故所求摆线的参数方程是(φ为参数，k∈N*)8.解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径为8，所以半径为4，从而圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为(φ为参数)9.解：(1)如果把t看成参数，可得直线的普通方程为y－2＝tanα(x－2)，即y＝xtanα－2tanα＋2；如果把α看成参数且t＞0时，