对坐标的曲线积分课件

第11.2节一、第一型（对坐标的）曲线积分的概念与性质二、第一型（对坐标的）曲线积分的

计算法三、两类曲线积分之间的联系第二型（对坐标的）曲线积分第十一章第11.2节一、第一型（对坐标的）曲线积分的概念与性质二、第1一、第二型（对坐标的）曲线积分的概念与性质1.

引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.一、第二型（对坐标的）曲线积分的概念与性质1.引例:变21)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有33)“近似和”4)“取极限”(其中

为n个小弧段的最大长度)3)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的42.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二型曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向5若

为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y63.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)7二、第二型（对坐标的）曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明:下面先证存在,且有二、第二型（对坐标的）曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L8对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可9特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有10例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则11例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的12例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(313例4.设在力场作用下,质点由沿

移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中

为例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)14例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的15三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的16类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A在t上的投影为类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是令记A在17二者夹角为

例6.设曲线段L的长度为s,证明续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连二者夹角为例6.设曲线段L的长度为s,证明续,证18例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周191.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结1.定义2.性质(1)L可分成k条有向