2014-2015学年上海市保德中学九年级（上）期末数学试卷

2014-2015学年上海市保德中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）（2014秋•保德县校级期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，下列等式中不成立的是（）A．a=bcotB B．a=csinA C．c=bcosA D2．（4分）（2014秋•保德县校级期末）把抛物线y=-13(x-2A．沿x轴向左平移2个单位 B．沿x轴向右平移2个单位C．沿y轴向上平移2个单位 D．沿y轴向下平移2个单位3．（4分）（2014秋•保德县校级期末）如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，且AD：DB=3：2，则S△ADE：S四边形DECB为（）A．3：2 B．3：5 C．9：25 D．9：164．（4分）（2014秋•保德县校级期末）在下列条件中不能判定△ABC∽△DEF的是（）A．∠D=40°，∠E=80°，∠A=60°，∠B=80°B．∠A=∠D，AB：AC=DF：EFC．∠B=∠E=90°，BC：EF=AC：DFD．AB=1，BC=2，CA=1.5，DE=6，EF=4，FD=85．（4分）（2009•闵行区一模）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，BA→=a→，A．12a→-b→ B．b6．（4分）（2014•徐汇区一模）已知抛物线y=ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（）A． B． C． D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2016•浦东新区一模）已知xy=13，那么xx+y8．（4分）（2014•徐汇区一模）计算：2(m→+n→9．（4分）（2009•闵行区一模）如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于．10．（4分）（2014秋•保德县校级期末）已知抛物线y=ax2+bx+c有最高点，那么该抛物线的开口方向是．11．（4分）（2013秋•武陵区校级期末）在△ABC中，∠C=90°，sinA=45，则tanB=12．（4分）（2009•闵行区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD=2，DB=3，BC=10，要使DE∥AC，那么BE必须等于．13．（4分）（2014秋•保德县校级期末）已知点C为线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AC=1厘米，则AB=厘米．14．（4分）（2011•闸北区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是Rt△ABC的重心，已知CD=2，AC=3，则∠B=度．15．（4分）（2009•闵行区一模）如果二次函数的图象经过点（1，2），且在对称轴x=2的右侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是（只要写出一个符合要求的解析式）．16．（4分）（2009•安庆模拟）1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；此时，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是米．17．（4分）（2017秋•定边县期末）如图，正方形ABCD中，E是CD中点，FC=14BC，则tan∠EAF=18．（4分）（2014秋•保德县校级期末）如图，E、F是平行四边形ABCD边AD、BC上的点，EF分别交对角线AC、BD于点G、H．如果EG：GH：HF=1：3：2，那么AE：BF=．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2014秋•保德县校级期末）解方程：x+7-20．（10分）（2014秋•保德县校级期末）如图，已知向量a→、b→，求作向量2a→21．（10分）（2010•黄浦区一模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=12（1）试求sinB的值；（2）试求△BCD的面积．22．（10分）（2007•呼伦贝尔）如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发．（1）出发后几小时两船与港口P的距离相等；（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果精确到0.1小时）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）23．（12分）（2014秋•保德县校级期末）已知：如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE∥CB，交AB于点E，ADDC=1（1）求AB的长；（2）求S△ADE24．（12分）（2014秋•保德县校级期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，其图象顶点为D，已知点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（2，﹣1）．（1）求此二次函数的解析式；（2）试问△ABD与△BCO是否相似？并证明你的结论；（3）已知P是此二次函数图象上的点，且∠PAB=∠ACB，试求点P的坐标．25．（14分）（2014秋•保德县校级期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，P是斜边AB上的中点，以P为顶点，作∠MPN=∠A．∠MPN的两边分别交AC于点M、N．（1）当△MPN是直角三角形时，求CM的长；（2）当∠MPN绕点P转动时，设CN=x，AM=y，写出y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）连结BM，是否存在点M，使△BMP与△ANP相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

2014-2015学年上海市保德中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）（2014秋•保德县校级期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，下列等式中不成立的是（）A．a=bcotB B．a=csinA C．c=bcosA D【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】直接利用锐角三角函数关系分别判断各选项得出答案．【解答】解：如图所示：A、cotB=ab，则a=bcotBB、sinA=ac，则a=csinAC、cosA=bc，则c=bD、cosB=ac，则a=c•cosB故选：D．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．2．（4分）（2014秋•保德县校级期末）把抛物线y=-13(x-2A．沿x轴向左平移2个单位 B．沿x轴向右平移2个单位C．沿y轴向上平移2个单位 D．沿y轴向下平移2个单位【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】原抛物线顶点坐标为（2，0），平移后抛物线顶点坐标为（0，0），由此确定平移规律．【解答】解：∵抛物线y=-13(x-2)2的顶点坐标为（2，0），抛物线y=-∴平移的方法可以是：x轴向左平移2个单位．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．3．（4分）（2014秋•保德县校级期末）如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，且AD：DB=3：2，则S△ADE：S四边形DECB为（）A．3：2 B．3：5 C．9：25 D．9：16【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】由已知条件可证得△ADE∽△ABC，则ADAB=DEBC，再根据已知条件，得出ADAB【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DE∵AD：DB=3：2，∴ADAB=3∴S△ADES△ABC∵S△ADE+S四边形DBCE=S△ABC，∴S△ADES四边形故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．4．（4分）（2014秋•保德县校级期末）在下列条件中不能判定△ABC∽△DEF的是（）A．∠D=40°，∠E=80°，∠A=60°，∠B=80°B．∠A=∠D，AB：AC=DF：EFC．∠B=∠E=90°，BC：EF=AC：DFD．AB=1，BC=2，CA=1.5，DE=6，EF=4，FD=8【考点】S8：相似三角形的判定．【分析】由两角分别相等的两个三角形相似得出A能判定△ABC∽△DEF；两边成比例，但是夹角不相等，得出B不能判定△ABC∽△DEF；由直角三角形相似的判定方法得出C能判定△ABC∽△DEF；由三边成比例的两个三角形相似得出D能判定△ABC∽△DEF；即可得出结论．【解答】解：A能判定△ABC∽△DEF；理由：∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣80°=40°，∴∠C=∠D，又∵∠B=∠E=80°，∴△ABC∽△FED；B不能判定△ABC∽△DEF；理由：∵AB：AC=DF：EF，∠A=∠D，而不是∠A=∠F，∴不能判定△ABC∽△DEF；C能判定△ABC∽△DEF；理由：∵∠B=∠E=90°，∴AC、DF分别为斜边，∵BC：EF=AC：DF，∴△ABC∽△DEF；D能判定△ABC∽△DEF；理由：∵ABEF=14，∴ABEF∴△ABC∽△EFD．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．5．（4分）（2009•闵行区一模）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，BA→=a→，A．12a→-b→ B．b【考点】LM：*平面向量．【分析】由D是边BC的中点与BC→=b→，即可求得DB→的值，又由DA【解答】解：∵D是边BC的中点，∴BD→=12BC∴DB→=﹣1∵BA→∴DA→=DB→+BA→=﹣12b→+故选：D．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意数形结合思想的应用是解此题关键，还要注意向量是有方向的．6．（4分）（2014•徐汇区一模）已知抛物线y=ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（）A． B． C． D．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线对称轴位置和a，b的关系以及利用图象开口方向与a的关系，得出图象开口向下，对称轴经过x轴正半轴，利用图象与y轴交点和c的符号，进而得出答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，∴图象开口向下，a﹣2＜0，∴图象与y轴交于负半轴，∵a＜0，b=3，∴抛物线对称轴在y轴右侧．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握图象对称轴位置与a，b的关系是解题关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2016•浦东新区一模）已知xy=13，那么xx+y【考点】S1：比例的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据比例的性质及合比定理解答．【解答】解：∵xy=13的两个内项是y、1，两个外项是∴yx根据合比定理，知x+yx=1+31又∵上式的两个内项是x和4，两个外项是x+y和1，∴xx+y故答案为：14【点评】本题主要考查了比例的性质：在比例式中，两个内项之积等于两个外项之积．8．（4分）（2014•徐汇区一模）计算：2(m→+n→)+3(m→【考点】LM：*平面向量．【分析】直接利用整式加减的运算法则求解可求得答案．【解答】解：2(m→+n→)+3(m→-n→)=2m→+故答案为：5m→﹣n【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握平面向量的运算．9．（4分）（2009•闵行区一模）如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于1：16．【考点】S7：相似三角形的性质．【分析】由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，∴它们的相似比为1：4，∴它们的面积的比等于1：16．故答案为：1：16．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．10．（4分）（2014秋•保德县校级期末）已知抛物线y=ax2+bx+c有最高点，那么该抛物线的开口方向是向下．【考点】H7：二次函数的最值．【分析】根据二次函数的性质回答．【解答】解：因为二次函数y=ax2+bx+c有最高点，所以，a＜0，即该抛物线的开口方向是向下的；故答案为：向下．【点评】本题主要考查了二次函数的最值．二次项系数a决定二次函数图象的开口方向和大小．①当a＞0时，二次函数图象向上开口；②a＜0时，抛物线向下开口．|a|越大，则二次函数图象的开口越小．11．（4分）（2013秋•武陵区校级期末）在△ABC中，∠C=90°，sinA=45，则tanB=34【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【分析】设BC=4x，AB=5x，由勾股定理求出AC=3x，代入tanB=ACBC【解答】解：∵sinA=BCAB=4∴设BC=4x，AB=5x，由勾股定理得：AC=AB2∴tanB=ACBC=3x4x=故答案为：34【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=BCAB，cosA=ACAB，tanA=12．（4分）（2009•闵行区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD=2，DB=3，BC=10，要使DE∥AC，那么BE必须等于6．【考点】S4：平行线分线段成比例．【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须BECE=DB【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD=2，DB=3，BC=10，∴要使DE∥AC，∴BECE∴BE10-BE解得：BE=6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须BECE13．（4分）（2014秋•保德县校级期末）已知点C为线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AC=1厘米，则AB=5+12【考点】S3：黄金分割．【专题】11：计算题．【分析】根据黄金分割的定义得到AC=5-12AB，则AB=25-1【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC=5-12∴AB=25-1×1=5+1故答案为5+1【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=5-12AB≈0.618AB，并且线段14．（4分）（2011•闸北区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是Rt△ABC的重心，已知CD=2，AC=3，则∠B=30度．【考点】K5：三角形的重心；KP：直角三角形斜边上的中线．【专题】11：计算题．【分析】根据D是Rt△ABC的重心，CD=2，求证△AEC是等边三角形，得∠A=60°，问题可解．【解答】解：∵D是Rt△ABC的重心，CD=2，∴CE=3=AE，∵AC=3，∴△AEC是等边三角形，∴∠A=60°∠B=90°﹣∠A=90°﹣60°=30°．故答案为：30．【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线和三角形的重心的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形的重心的性质，求证△AEC是等边三角形．15．（4分）（2009•闵行区一模）如果二次函数的图象经过点（1，2），且在对称轴x=2的右侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是y=x2﹣4x+5（只要写出一个符合要求的解析式）．【考点】H3：二次函数的性质．【专题】26：开放型．【分析】由于二次函数的图象在对称轴x=2的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数，图象又经过点（1，2），由此可以确定函数解析式不唯一．【解答】解：∵二次函数的图象在对称轴x=2的右侧部分是上升的，∴这个二次函数的二次项系数为正数，又图象经过点（1，2），∴符合条件的函数有y=x2﹣4x+5，答案不唯一．答案为：y=x2﹣4x+5．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．16．（4分）（2009•安庆模拟）1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；此时，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是125米．【考点】SA：相似三角形的应用．【专题】12：应用题．【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：∵同一时刻物高与影长成比例∴标杆高标杆的影长=电视塔的高度电视塔的影长，即设电视塔的高是x米．则10.8=解得x=12=100即电视塔的高度为125米．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出电视塔的高度，体现了方程的思想．17．（4分）（2017秋•定边县期末）如图，正方形ABCD中，E是CD中点，FC=14BC，则tan∠EAF=【考点】KS：勾股定理的逆定理；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．【分析】由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°，设FC=x，则AB=BC=CD=AD=4x，BF=3x，求出DE=CE=2x，由勾股定理求出AF、EF、AE，由勾股定理的逆定理证明△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，tan∠EAF=EFAE【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°，设FC=x，则AB=BC=CD=AD=4x，BF=3x，∵E是CD中点，∴DE=CE=2x，∴AF=AB2+BF2=5x，EF=CE2+CF2∵AE2+EF2=25x2，AF2=25x2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，∴tan∠EAF=EFAE=5故答案为：12【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角函数；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．（4分）（2014秋•保德县校级期末）如图，E、F是平行四边形ABCD边AD、BC上的点，EF分别交对角线AC、BD于点G、H．如果EG：GH：HF=1：3：2，那么AE：BF=14【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，推出△AEG∽△CGF，△DEH∽△BFH，得到比例式AECF=EGGF=15，DEBF=EHHF=2，求得CF=5AE【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，∴△AEG∽△CGF，△DEH∽△BFH，∴AECF=EGGF=1∴CF=5AE，BF=12DE∵CF+BF=BC=AD=AE+ED=5AE+12DE∴AE=18DE∴AE：BF=18DE1故答案为：14【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2014秋•保德县校级期末）解方程：x+7-【考点】AG：无理方程．【分析】先把x移到等号的右边，再两边进行平方，求出x=3，从而得出x的值．【解答】解：x+7-x+7=1+x，x+7=1+2x+x，2x=6，x=3，x=9．【点评】此题考查了无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法，求出x=3是本题的关键．20．（10分）（2014秋•保德县校级期末）如图，已知向量a→、b→，求作向量2a→【考点】LM：*平面向量．【分析】首先画出AB→=13b→，BC→【解答】解：如图，AB→=13b→，则AC→=AB→+BC→=2a则AC→【点评】此题考查了平面向量的知识．注意三角形法则的应用．21．（10分）（2010•黄浦区一模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=12（1）试求sinB的值；（2）试求△BCD的面积．【考点】T7：解直角三角形．【专题】11：计算题．【分析】（1）作AH⊥BC，则△ABH中，根据勾股定理即可求得AH的长，即可求得sinB；（2）作DE⊥BC，则根据勾股定理可以求得BE的长，求得BC=BE+EC，即4k+6k=8，求得k的值即可求△BCD的面积．【解答】解：（1）作AH⊥BC，垂足为H，∵AB=AC=5，∴BH=12BC=4在△ABH中，AH=AB2-∴sinB=AH（2）作DE⊥BC，垂足为E，在△BDE中，sinB=35，令DE=3kBD=5k，则BE=BD2-又在△CDE中，tan∠BCD=12则CE=DEtan∠BCD=6k于是BC=BE+EC，即4k+6k=8，解得k=4∴S△BCD【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键．22．（10分）（2007•呼伦贝尔）如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发．（1）出发后几小时两船与港口P的距离相等；（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果精确到0.1小时）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】12：应用题；16：压轴题．【分析】（1）求几小时后两船与港口的距离相等，可以转化为方程的问题解决．（2）过点P作PE⊥CD，垂足为E．则点E在点P的正南方向，则得到相等关系，C、D两点到在南北方向上经过的距离相等，因而根据方程就可以解决．【解答】解：（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等．根据题意得81﹣9x=18x．解这个方程得x=3．答：出发后3小时两船与港口P的距离相等．（2）设出发后y小时乙船在甲船的正东方向，此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处．连接CD，过点P作PE⊥CD，垂足为E．则点E在点P的正南方向．在Rt△CEP中，∠CPE=45°，∴PE=PC•cos45°．在Rt△PED中，∠EPD=60°，∴PE=PD•cos60°．∴PC•cos45°=PD•cos60°．∴（81﹣9y）cos45°=18y•cos60°．解得y≈3.7．答：出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向．【点评】在船舶运动过程中，构建解直角三角形的问题，考查学生对所学知识的变式认识能力．23．（12分）（2014秋•保德县校级期末）已知：如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE∥CB，交AB于点E，ADDC=1（1）求AB的长；（2）求S△ADE【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由∠ABD=∠CBD，DE∥BC可推得∠EDB=∠CBD，进而推出∠ABD=∠EDB，由此可得BE=DE=6，由DE∥BC可得AEEB=AD（2）△ADE看成以DE为底，高为h1，△BCD看成以BC为底，高为h2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h1h2=AD【解答】解：（1）BD平∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠ABD=∠EDB，∴BE=DE=6，∵DE∥BC，∴AEEB∴AE6∴AE=2，∴AB=AE+BE=8；（2）△ADE看成以DE为底，高为h1，△BCD看成以BC为底，高为h2，∵DE∥CB，∴△AED～△ABC，∴h1h2=AD∴S△ADE【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．24．（12分）（2014秋•保德县校级期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，其图象顶点为D，已知点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（2，﹣1）．（1）求此二次函数的解析式；（2）试问△ABD与△BCO是否相似？并证明你的结论；（3）已知P是此二次函数图象上的点，且∠PAB=∠ACB，试求点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用顶点式求出函数解析式，即可得解；（2）由（1）中的二次函数解析式即可求得点C、D的坐标．然后根据两点间的距离公式、勾股定理以及等腰三角形的判定推知△ABD和△BCO都是等腰直角三角形，所以它们相似；（3）首先求出tan∠ACB=12，进而得出过A（1，0）的直线为y=±12（x﹣【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+3的图象过点C的坐标为（0，3），顶点D的坐标为（2，﹣1）．∴设抛物线解析式为：y=a（x﹣2）2﹣1，将（0，3）代入得：3=4a﹣1，解得：a=1，故抛物线解析式为：y=（x﹣2）2﹣1=y=x2﹣4x+3；（2）△ABD与△BCO相似．理由如下：如图，∵由（1）知，该抛物线的解析式是y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．故C（0，3），D（2，﹣1）．∵OC=OB=3，∴△BCO是等腰直角三角形．又∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，﹣1），∴AD=BD=2，AB=2，∴AB2=AD2+BD2∴∠ADB=90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴△ABD与△BCO相似；（3）如图，延长CA，并过B点做垂直于CA的直线与CA相交与E点，∵∠CAO=∠BAE，∠COA=∠BEA，∴△COA∽△BEA，∴CABA=COBE=根据勾股定理，CA=10，则EA=105，EB=610=tan∠ACB=BEAC+AE=1∵∠APB=∠ACB，则tan∠APB=12令过A（1，0）的直线为y=k（x﹣1），∵∠PAB=∠ACB，故k=±tan∠ACB=±12故：y=±12（x﹣1分别与y=x2﹣4x+3联立得：12（x﹣1）=x2﹣4x+3解得：x1=1，x2=72∴y1=0，y2=﹣34﹣12（x﹣1）=x2﹣4x+3解得：x1=1，x2=52∴y1=0，y2=54∵A点坐标为：（1，0），综上所述：符合题意的点的坐标为：P（72，﹣34）或P（52【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及两函数交点坐标求法和相似三角形的判定与性质等知识，得出过点A符合要求的直线解析式是解题关键．25．（14分）（2014秋•保德县校级期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，P是斜边AB上的中点，以P为顶点，作∠MPN=∠A．∠MPN的两边分别交AC于点M、N．（1）当△MPN是直角三角形时，求CM的长；（2）当∠MPN绕点P转动时，设CN=x，AM=y，写出y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）连结BM，是否存在点M，使△BMP与△ANP相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）分∠PMN=90°和∠PNM=90°两种情况，根据直角三角形的性质和相似三角形的性质解答；（2）连接CP，证明△CPN∽△AMP，根据相似三角形的对应边成比例计算即可；（3）分△BMP∽△ANP和△BMP∽△APN两种情况讨论，根据相似三角形的判定和性质解答．【解答】解：（1）当∠PMN=90°时，∵∠C=90°，∴PM∥BC，P是斜边AB上的中点，∴CM=12AC=4当∠PNM=90°时，∴PN=12BC=3∵∠PNM=∠C，∠MPN=∠A，∴△PNM∽△ACB，∴PNAC=MN∴MN=94则CM=4﹣94=7∴CM的长为74或4（2）连接CP，∵∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB=BC2∵P是斜边AB上的中点，∴AP=PB=CP=5，∵∠PCA=∠PAC，又∵∠MPN=∠A，∴∠CPN=∠AMP，又∵∠PCA=∠PAC，∴△CPN∽△AMP，∴CPAM=CNAP，即5y∴25x（258≤x≤（3）①当△BMP∽△ANP，则∠MBP=∠A，∴MB=MA，则BM2=（8﹣AM）2+BC2，解得AM=254，即y=25∴x=4；②，当△BMP∽△APN，则∠BMP=∠A，∴△BMP∽△BAM，BMAB=BP∴BM=52，CM=BM2-B则AM=8﹣14=y，则x=8+答：x=8+142或4时，△BMP与【点评】本题考查的是相似三角形知识的综合运用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确运用分情况讨论思想是解题的关键．

考点卡片1．无理方程（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．2．二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=﹣b2a，二次函数y=ax2+bx+c①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣b2a时，y随x的增大而减小；x＞﹣b2a时，y随x的增大而增大；x=﹣b2a时，y②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣b2a时，y随x的增大而增大；x＞﹣b2a时，y随x的增大而减小；x=﹣b2a时，y③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左（右）平移|﹣b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac-b3．二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．4．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-b2a时，y=（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-b2a时，y=（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．6．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．7．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）8．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可一用来判定直角三角形．9．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．10．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．11．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．12．*平面向量平面向量．13．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若ab=cd，，则ad=bc．②合比性质．若ab=cd，，则a+bb=c+dd．③分比性质．．若ab=cd，则a﹣bb=c﹣dd．④合分比性质．．若ab=cd，则a+ba﹣b=c+dc﹣d．⑤等比性质．．若ab=cd=…=mn（b+d+…+n≠0），则a+c+…+mb+d+…+n=mn．14．黄金分割（1）黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ABAC=ACBC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5-12AB≈0.618AB，并且线段（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：5-12；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：（3）黄金矩形：黄金矩形的长宽之比确切值为5-115．平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．16．相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）