2016-2017学年八年级（上）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年河南省驻马店市上蔡一中八年级（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题3分，共24分）1．在实数、﹣3、0、、3.1415、π、、、2.123122312233…（不循环）中，无理数的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6 B．2a+3b=5ab C．（﹣2x）2=﹣4x2 D．（﹣2x2）（﹣3x3）=6x53．一个等腰三角形的两边分别为2cm，5cm，那么这个等腰三角形的（）A．腰长为2cm B．底长为5cm C．周长为9cm D．周长为12cm4．下列说法正确的是（）A．1的立方根是±1 B．=±2C．的平方根是±3 D．0没有平方根5．若x2+2xy+y2=（x﹣y）2﹣A，则A为（）A．2xy B．﹣2xy C．﹣4xy D．4xy6．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确8．如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．20 B．25 C．30 D．32二.填空题：（每小题3分，共21）9．计算5x2y•（﹣3xy3）=；﹣3xy（2x﹣3y）=．10．已知x2﹣3x+1=0，则=．11．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果，那么．12．一组数据4，﹣4，﹣，，4，﹣，4，﹣4，4中，出现次数最多的数是，其频率是．13．若在两个连续的整数m和n之间，且m＜＜n，则（n﹣m）2011=．14．如图，在长方形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，将AD沿直线AF折叠，使点D落在BC的点E处，则CF的长是cm．15．已知等腰△ABC的底边BC=10cm，且周长为36cm，那么它的面积是cm2．二、解答题：16．计算：（1）2x2y•（﹣3xy）÷（xy）2（2）﹣+（3）（x+3）（x+4）﹣（x﹣1）2．17．因式分解（1）a3﹣4a2+4a（2）（x﹣1）（x﹣3）﹣8．18．先化简，再求值：（3x﹣y）2+（3x+y）（3x﹣y），其中x=1，y=﹣2．19．已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+3n的平方根．20．已知：如图所示，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F且BE=CF．求证：（1）AD是∠BAC的平分线；（2）AB=AC．21．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．22．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC=BE．23．某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为；（2）求在扇形统计图中，喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数；（3）如果全校共有学生1500名，请估计该校最喜欢“科普”书籍的学生约有多少人？24．阅读、理解并应用探究．[理解性质]：如图，矩形（长方形）ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD．[应用]探究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN2=CD2+CN2；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN2=BN2+CD2．请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．（2）[探究]试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

2016-2017学年河南省驻马店市上蔡一中八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共24分）1．在实数、﹣3、0、、3.1415、π、、、2.123122312233…（不循环）中，无理数的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．【解答】解：=﹣1，=12，所给数据中无理数有：，π，，2.123122312233…（不循环）共4个．故选C．2．下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6 B．2a+3b=5ab C．（﹣2x）2=﹣4x2 D．（﹣2x2）（﹣3x3）=6x5【考点】单项式乘单项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据单项式的乘法、合并同类项以及单项式的除法法则得出．【解答】解：A、x2•x3=x2+3=x5，故本选项错误；B、2a与3b不是同类项，故本选项错误；C、（﹣2x）2=4x2，故本选项错误；D、利用单项式的乘法的法则，系数和系数相乘，字母与字母相乘，本选项正确．故选D．3．一个等腰三角形的两边分别为2cm，5cm，那么这个等腰三角形的（）A．腰长为2cm B．底长为5cm C．周长为9cm D．周长为12cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】因为等腰三角形的两边分别为2和5，但没有指明哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当2为底时，其它两边都为5，2、5、5可以构成三角形，周长为12；当2为腰时，其它两边为2和5，因为2+2=4＜5，所以不能构成三角形，故舍去，所以2不能作为腰长，5可以作为腰长，周长只能是12．故选D．4．下列说法正确的是（）A．1的立方根是±1 B．=±2C．的平方根是±3 D．0没有平方根【考点】立方根；平方根；算术平方根．【分析】根据立方根、平方根的定义判断即可．【解答】解：A、1的立方根是1，错误；B、=2，错误；C、的平方根是±3，正确；D、0有平方根，错误；故选C5．若x2+2xy+y2=（x﹣y）2﹣A，则A为（）A．2xy B．﹣2xy C．﹣4xy D．4xy【考点】配方法的应用．【分析】利用完全平方公式进行计算即可．【解答】解：x2+2xy+y2=x2﹣2xy+y2+4xy=（x﹣y）2﹣（﹣4xy），故选：C．6．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】首先根据题意由非负数的性质可得，进而得到a=b，a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形．【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，∴a﹣b=0，a2+b2﹣c2=0，解得：a=b，a2+b2=c2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形；故选：C．7．如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】判定线段相等的方法可以由全等三角形对应边相等得出；判定两条直线平行，可以由“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”得出；判定全等三角形可以由SSS、SAS、ASA、AAS或HL得出．【解答】解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP∴△ARP≌△ASP（HL）∴AS=AR，∠RAP=∠SAP∵AQ=PQ∴∠QPA=∠SAP∴∠RAP=∠QPA∴QP∥AR而在△BPR和△QSP中，只满足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BPR≌△QSP故本题仅①和②正确．故选B．8．如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．20 B．25 C．30 D．32【考点】平面展开﹣最短路径问题．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB==25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=；∵25＜5，∴蚂蚁爬行的最短距离是25，故选B二.填空题：（每小题3分，共21）9．计算5x2y•（﹣3xy3）=﹣15x3y4；﹣3xy（2x﹣3y）=﹣6x2y+9xy2．【考点】单项式乘多项式；单项式乘单项式．【分析】根据单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘；单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．【解答】解：5x2y•（﹣3xy3）=﹣15x3y4；﹣3xy（2x﹣3y）=﹣6x2y+9xy2；故填：﹣15x3y4，﹣6x2y+9xy2．10．已知x2﹣3x+1=0，则=7．【考点】完全平方公式．【分析】首先由x2﹣3x+1=0，求得x+的值，然后由（x+）2=x2++2，即可求得答案．【解答】解：∵x2﹣3x+1=0，∴x+=3，∴（x+）2=x2++2=9，∴x2+=7．故答案为：7．11．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果一个点在角的平分线上，那么它到这个角两边的距离相等．【考点】角平分线的性质．【分析】首先要分清原命题的题设与结论，题设是角平分线上的点，可改为点在角平分线上，如此答案可得．【解答】解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．12．一组数据4，﹣4，﹣，，4，﹣，4，﹣4，4中，出现次数最多的数是4，其频率是．【考点】频数与频率．【分析】根据频数的定义找出即可；找出出现最多的数的个数，再求出即可．【解答】解：一组数据4，﹣4，﹣，，4，﹣，4，﹣4，4中，出现次数最多的数是4，其频率是，故答案为：4，．13．若在两个连续的整数m和n之间，且m＜＜n，则（n﹣m）2011=﹣1．【考点】估算无理数的大小．【分析】根据＜＜，可得m、n的值，根据负数的奇次幂是负数，可得答案．【解答】解：由＜＜，得m=3，n=4．（n﹣m）2011=（3﹣4）2011=（﹣1）2011=﹣1，故答案为：﹣1．14．如图，在长方形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，将AD沿直线AF折叠，使点D落在BC的点E处，则CF的长是3cm．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】要求CF的长，应先设CF的长为x，由将△ADF折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADF≌Rt△AEF，所以AE=10cm，FE=DF=8﹣x；在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，已知AB、AE的长可求出BE的长，又CE=BC﹣BE=10﹣BE，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CF2+CE2，即：（8﹣x）2=x2+（10﹣BE）2，将求出的BE的值代入该方程求出x的值，即求出了CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，根据题意得：Rt△ADF≌Rt△AEF，∴∠AEF=90°，AE=10cm，EF=DF，设CF=xcm，则DF=EF=CD﹣CF=（8﹣x）cm，在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，即82+BE2=102，∴BE=6cm，∴CE=BC﹣BE=10﹣6=4（cm），在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即（8﹣x）2=x2+42，∴64﹣16x+x2=x2+16，∴x=3（cm），即CF=3cm．故答案为：3．15．已知等腰△ABC的底边BC=10cm，且周长为36cm，那么它的面积是60cm2．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】先作底边上的高，利用勾股定理求出高，再利用三角形的面积公式求出面积．【解答】解：先作底边上的高AD，交BC于D，∵BC=10，∴AB=AC=×（36﹣10）=13，又∵BD=CD=5，∴AD===12，∴S△ABC=×BC×AD=×10×12=60（cm2）．二、解答题：16．计算：（1）2x2y•（﹣3xy）÷（xy）2（2）﹣+（3）（x+3）（x+4）﹣（x﹣1）2．【考点】整式的混合运算；实数的运算．【分析】（1）原式利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果；（2）原式利用平方根、立方根定义计算即可得到结果；（3）原式利用多项式乘多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式=2x2y•（﹣3xy）÷（x2y2）=﹣6x；（2）原式=5﹣2+2=5；（3）原式=x2+7x+12﹣x2+2x﹣1=9x+11．17．因式分解（1）a3﹣4a2+4a（2）（x﹣1）（x﹣3）﹣8．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】（1）首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）首先利用多项式乘以多项式法则去掉括号，再利用十字相乘法分解因式．【解答】解：（1）a3﹣4a2+4a=a（a2﹣4a+4）=a（a﹣2）2；（2）（x﹣1）（x﹣3）﹣8=x2﹣4x﹣5=（x﹣5）（x+1）．18．先化简，再求值：（3x﹣y）2+（3x+y）（3x﹣y），其中x=1，y=﹣2．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，合并得到最简结果，将x与y的值代入化简后的式子中计算，即可求出值．【解答】解：原式=9x2﹣6xy+y2+9x2﹣y2=18x2﹣6xy，当x=1，y=﹣2时，原式=18×1﹣6×1×（﹣2）=18+12=30．19．已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+3n的平方根．【考点】平方根．【分析】先根据2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5求出m和n的值，再求出m+3n的值，由平方根的定义进行解答即可．【解答】解：∵2m+2的平方根是±4，∴2m+2=16，解得：m=7；∵3m+n+1的平方根是±5，∴3m+n+1=25，即21+n+1=25，解得：n=3，∴m+3n=7+3×3=16，∴m+3n的平方根为：±4．20．已知：如图所示，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F且BE=CF．求证：（1）AD是∠BAC的平分线；（2）AB=AC．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）要证AD平分∠BAC，只需证明△ABD≌△ACD即可．（2）由1可证得Rt△AED≌Rt△AFD，然后推出BE=CF可得AB=AC．【解答】证明：（1）AD是△ABC的中线（已知），∴BD=CD．在Rt△EBD和Rt△FCD中，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）．∴DE=DF（全等三角形的对应边相等），即AD是∠BAC的平分线．（2）在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF（全等三角形的对应边相等）．又∵BE=CF（已知），∴AB=AC．21．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质．【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD（SAS）；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．22．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC=BE．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可以得出△ABE≌△ACD；（2）由△ABE≌△ACD，即可得出结论．【解答】（1）解：△ABE≌△ACD；理由如下：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC，∴∠BAE=∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）（2）证明：由（1）得：△ABE≌△ACD，∴DC=BE．23．某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为25%；（2）求在扇形统计图中，喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数；（3）如果全校共有学生1500名，请估计该校最喜欢“科普”书籍的学生约有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）利用“科普书籍”出现的频率为=1﹣其它的百分比﹣文艺的百分比﹣体育的百分比求解；（2）利用喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数=喜欢“科普书籍”的百分比×360°求解；（3）利用该校最喜欢“科普”书籍的学生数=该校学生数×喜欢“科普书籍”的百分比求解即可．【解答】解：（1）在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为1﹣20%﹣15%﹣40%=25%．故答案为：25%．（2）喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数25%×360°=90°．（3）估计该校最喜欢“科普”书籍的学生数为1500×25%=375名．24．阅读、理解并应用探究．[理解性质]：如图，矩形（长方形）ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD．[应用]探究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角