27.圆的有关性质B

圆的有关性质一、选择题9.(2016山东潍坊，9，3分)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是()A.10B.C.D.2答案：解：过点M作MD⊥y轴，连接MA，MO，∵⊙M与x轴相切于点A(8，0)，∴MA⊥OA，∴四边形OAMD是矩形，∵点B(0，4)与点C(0，16)，∴BD=CD=6，∴OD=10，在Rt△OMA中，OM=，故选D.9.（2016河北，9，3分）图示为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（）第9题图A．△ACD的外心 B．△ABC的外心C．△ACD的内心 D．△ABC的内心答案：B解析：点O在△ABC外，且到三点距离相等，故为外心。知识点：外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。内心：三角形内心到三角形三条边的距离相等。（也就是内切圆圆心)11．（2016湖南衡阳，11，3分）下列命题是假命题的是（）A．经过两点有且只有一条直线B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半C．平行四边形的对角线相等D．圆的切线垂直于经过切点的半径【分析】根据直线公理、三角形中位线定理、切线性质定理即可判断A、B、D正确．【解答】解：A、经过两点有且只有一条直线，正确．B、三角形的中位线平行且等于第三边的一半，正确．C、平行四边形的对角线相等，错误．矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等．D、圆的切线垂直于经过切点的半径，正确．故选C．8．（2015•浙江舟山，8，3分）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120° B．135° C．150° D．165°【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，故的度数是150°．故选：C．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出∠BOD的度数是解题关键．12.（2016海南省，12，3分）如图3，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P=40°,则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°【答案】B8．(2016湖北襄阳，8，3分）如图，I是∆ABC的内心，AI向延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC下列说法中错误的一项是()A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺刚针旋转一定能与线段DI熏合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段膪重合【答案】D二、填空题7．（2016湖南湘西，7，4分）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，那么圆周角∠C=35°．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解．【解答】解：∵圆心角∠AOB=70°，∴∠C=∠AOB=×70°=35°．故答案为：35°．【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13．（2016，13，4分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=70度．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；又∵∠BCD=110°，∴∠BAD=70°．故答案为：70．13.（2016江苏南京，13，2分）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是弧AB上一点，则_____°. 答案：119考点：圆内接四边形内角和定理，圆周角定理。解析：由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的一半，所以，与∠AOB所对同弧的圆周角度数为∠AOB＝61°，由圆内接四边形对角互补，得：∠ACB＝180°－61°＝119°。14．（2016江苏宿迁，14，3分）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为2． 【分析】如图，作CE⊥AB于E，在RT△BCE中利用30度性质即可求出BE，再根据垂径定理可以求出BD． 【解答】解：如图，作CE⊥AB于E． ∵∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣20°﹣130°=30°， 在RT△BCE中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2， ∴CE=BC=1，BE=CE=， ∵CE⊥BD， ∴DE=EB， ∴BD=2EB=2． 故答案为2． 【点评】本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据垂径定理添加辅助线，记住直角三角形30度角性质，属于基础题，中考常考题型． 17.（2016海南省，17，4分）如图6，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P，若点D在优弧ABC上，AB=8，BC=3，则DP=_________．【答案】5.53．（2016湖南湘西，3，4分）四边形ABCD是某个圆的内接四边形，若∠A=100°，则∠C=80°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．【解答】解：∵四边ABCD是圆的内接四边形，∠A=100°，∴∠C=180°﹣100°=80°．故答案为：80°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．16．（2016甘肃定西，16，4分）如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=． 【分析】通过∠ABC=45°，可得出∠AOC=90°，根据OA=OC就可以结合勾股定理求出AC的长了． 【解答】解：∵∠ABC=45°， ∴∠AOC=90°， ∵OA=OC=R， ∴R2+R2=2， 解得R=． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理，解题的关键是通过圆周角定理得到∠AOC的度数． 11.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB＝AC，则∠ABC＝_______________.（第11题）【考点】圆心角、圆周角、等腰三角形的性质及判定.【分析】根据同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，可得出∠C=∠AOB=35°，再根据AB＝AC，可得出∠ABC=∠C，从而得出答案.【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∴∠C=∠AOB=35°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；又∵AB＝AC，∴∠ABC=∠C=35°.故答案为：35°.7．（2016•四川乐山，7，3分）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA=∠CBA，再根据直径的性质得∠ACB=90°，由此即可解决问题．【解答】解：∵∠ACD=40°，CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=（180°﹣40°）=70°，∴∠ABC=∠ADC=70°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠B=20°，故选B．【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．（2016湖南娄底，6，3分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．70°【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠D=40°，∴∠B=∠D=40°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣40°=50°．故选C．二、填空题18．（2016青海西宁，18，2分）⊙的半径为，弦，弦，则度数为．【答案】或13．（2016吉林长春，13，3分）如图，在⊙O中，AB是弦，C是上一点.若∠OAB=25°,∠OCA=40°，则∠BOC的大小为度．【答案】30（2016湖南娄底，13，3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD．【分析】由圆内接四边形的对角互补的性质以及等角的补角相等求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°又∵∠C=∠D，∴∠A+∠D=180°．∴AB∥CD．故答案为：AB∥CD．（2016湖南永州，18，4分）如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC=35度．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABO的度数，再由平行线的性质求出∠BOC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB=40°，OA=OB，∴∠ABO==70°．∵直径CD∥AB，∴∠BOC=∠ABO=70°，∴∠BAC=∠BOC=35°．故答案为：35．11.（2016镇江，11,2分）如图1，⊙O的直径AB=4cm，点C在⊙O上，设∠ABC的度数为x（单位：度，0＜x＜90）,优弧的弧长与劣弧的弧长的差设为y(单位：厘米)，图2表示y与x的函数关系，则a=度.答案：22.5三、解答题（2016江苏苏州，26，10分）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴=，即EG•ED=AE2=18．19.（满分8分） 如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C.过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC.求证：（1）∠PBC=∠CBD;（2）BC2=AB·BDDCPAOB （第19题）【考点】切线的性质，相似三角形的判定和性质.【分析】（1）连接OC，运用切线的性质，可得出∠OCD=90°，从而证明OC∥BD，得到∠CBD=∠OCB，再根据半径相等得出∠OCB=∠PBC，等量代换得到∠PBC=∠CBD.（2）连接AC.要得到BC2=AB·BD，需证明△ABC∽△CBD，故从证明∠ACB=∠BDC，∠PBC=∠CBD入手.【解答】证明：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCD=90°.……………1分又∵BD⊥PC∴∠BDP=90°∴OC∥BD.∴∠CBD=∠OCB.∴OB=OC.∴∠OCB=∠PBC.∴∠PBC=∠CBD.………..4分D