2016-2017学年人教A版高中数学必修2检测：单元质量评估（1） Word版含解析

单元质量评估(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是一个()A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对【解析】选A.从俯视图来看，上、下底面都是正方形，大小不一样，可以判断是棱台.2.(2016·天水高一检测)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.1【解析】选C.由题意得，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则πl=2πr⇒l=2r，又该圆锥的侧面积为S1=πrl=2πr2，底面积为S2=πr2，所以表面积为S=S1+S2=3πr2=3π⇒r=1，所以该圆锥的底面直径为2.3.正方体内切球与外接球体积之比为()A.1∶QUOTE B.1∶3 C.1∶3QUOTE D.1∶9【解析】选C.设正方体棱长为a，内切球半径为R1，外接球半径为R2.R1=QUOTE，R2=QUOTEa，V内∶V外=QUOTE∶QUOTE=1∶3QUOTE，故选C.4.(2016·海口高二检测)已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为12QUOTEcm3.其三视图中的俯视图(如图所示)，则其侧视图的面积是()A.4QUOTEcm2 B.2QUOTEcm2 C.8cm2 D.4cm2【解析】选A.设正六棱柱的底面边长是a，那么底面面积是S=QUOTEa2(cm2)，那么体积V=QUOTEa3=12QUOTE(cm3)，所以a3=8，解得a=2，那么侧视图是矩形，矩形的高就是俯视图的宽等于2QUOTEcm，所以侧视图的面积是S=2QUOTE×2=4QUOTE(cm2).5.过棱柱不相邻两条侧棱的截面是()A.矩形 B.正方形C.梯形 D.平行四边形【解析】选D.因为棱柱的侧棱平行且相等，故过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.6.(2016·广州高一检测)三棱锥的高为3，侧棱长均相等且为2QUOTE，底面是等边三角形，则这个三棱锥的体积为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.如图所示三棱锥S-ABC，则高SH为3，侧棱SA长为2QUOTE，在Rt△SAH中，AH=QUOTE=QUOTE=QUOTE，延长AH交BC于D，由题意知D为BC中点，H为△ABC重心，则AD=QUOTE.因此底面三角形的边长为3，所以该三棱锥的体积为V=QUOTE×QUOTE×32×3=QUOTE.7.若一个水平放置的圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设圆柱的底面半径为r，高为h，所以QUOTE=QUOTE，所以h=2rQUOTE，所以S侧=2πr×h=4πr2QUOTE，S全=4πr2QUOTE+2πr2，故圆柱的侧面积与全面积之比为QUOTE，故选B.8.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()A.QUOTEπR3 B.QUOTEπR3C.QUOTEπR3 D.QUOTEπR3【解析】选A.依题意，得圆锥的底面周长为πR，母线长为R，则底面半径为QUOTE，高为QUOTER，所以圆锥的体积为QUOTE×π×QUOTE×QUOTER=QUOTEπR3.9.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，该四棱锥的侧面积和体积分别是()A.4QUOTE，8 B.4QUOTE，QUOTEC.4(QUOTE+1)，QUOTE D.8，8【解析】选B.因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其正视图为图中的△PEF，如图.由该四棱锥的正视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE=QUOTE=QUOTE.所以该四棱锥侧面积S=4×QUOTE×2×QUOTE=4QUOTE，体积V=QUOTE×2×2×2=QUOTE.10.(2016·济宁高一检测)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.1【解析】选A.球心在平面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，所以∠BAC=90°，底面ABC外接圆的圆心N位于BC的中点，△A1B1C1的外心M在C1B1中点上.设正方形BCC1B1的边长为x，则在Rt△OMC1中，OM=QUOTE，MC1=QUOTE，OC1=R=1，所以QUOTE+QUOTE=1，即x=QUOTE，所以AB=AC=1，所以侧面ABB1A1的面积为QUOTE×1=QUOTE，故应选A.11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=QUOTE，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，则Q为底面ABCD上的动点(点P，Q可以重合)，则MP+PQ的最小值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解题指南】画出图形，利用折叠与展开法则形成同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ的最小值.【解析】选C.由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM=QUOTE可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小值，最小值为QUOTEsin60°=QUOTE.12.(2015·湖南高考)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体的长，宽，高分别为a，b，h，长方体上底面截圆锥的截面半径为x，对角面截面图如图所示，则有QUOTE=QUOTE⇒h=2-2x，所以长方体的体积为abh≤QUOTEh=QUOTEh=2x·x·(2-2x)≤2QUOTE=QUOTE，当且仅当x=2-2x即x=QUOTE时，等号成立，所以利用率为QUOTE=QUOTE.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.【解析】几何体为两个相同长方体组合而成,长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为2×(2×2×4)=32(cm3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(2×2×2+2×4×4)-2×2×2=72(cm2).答案:723214.(2016·四川高考)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为S=QUOTE×2QUOTE×1=QUOTE,高为1,所以该几何体的体积V=QUOTESh=QUOTE×QUOTE×1=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是8QUOTE，则a=________.【解析】由题意知三棱柱的底面是一个正三角形，一条边上的高是a，得到三棱柱的底面边长是QUOTEa，所以底面面积是QUOTE×QUOTEa×a=QUOTEa2，三棱柱的高为2，所以三棱柱的体积是QUOTEa2×2=8QUOTE，解得a=2QUOTE.答案：2QUOTE15.A，B，C，D四点在半径为QUOTE的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=QUOTE，AB=CD，则三棱锥D-ABC的体积是________.【解析】根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D-ABC，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有QUOTE解得a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积为4×3×5-4×QUOTE×QUOTE×4×3×5=20.答案：2016.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________.【解析】此几何体是半个圆锥，直观图如图所示，先求出圆锥的侧面积S圆锥侧=πrl=π×2×2QUOTE=4QUOTEπ，S底=π×22=4π，S△SAB=QUOTE×4×2QUOTE=4QUOTE，所以S表=QUOTE+QUOTE+4QUOTEL=2(1+QUOTE)π+4QUOTE.答案：2(1+QUOTE)π+4QUOTE三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的体积和表面积.【解析】由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA′=BB′=CC′=2mm，正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2QUOTEmm，所以正三角形ABC的边长为4mm.所以该三棱柱的表面积为S=3×4×2+2×QUOTE×4×2QUOTE=24+8QUOTE(mm2)，V=S底×AA′=QUOTE×4×2QUOTE×2=8QUOTE(mm3).【补偿训练】如图，已知几何体的三视图(单位：cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法).(2)求这个几何体的表面积及体积.【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体.由PA1=PD1=QUOTE，A1D1=AD=2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×QUOTE+2×QUOTE×(QUOTE)2=22+4QUOTE(cm2)，所求几何体的体积V=23+QUOTE×(QUOTE)2×2=10(cm3).18.(12分)(2016·刑台高二检测)已知A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，将四边形ABCD绕y轴旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.【解析】过C作y轴的垂线交y轴于E，则三角形DCE是直角三角形，四边形ABCE是直角梯形，四边形ABCD绕y轴旋转一周所得几何体是一个圆锥和一个圆台的组合体，易求得AB=1，BC=QUOTE，CE=2，AE=1，ED=2，DC=2QUOTE，所得旋转体的表面积是S=π×12+π(1+2)×QUOTE+π×2×2QUOTE=(7QUOTE+1)π，体积为V=QUOTE×π×4×2+QUOTE(1+2+4)×1=5π.19.(12分)(2016·保定高一检测)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V.(2)求该几何体的侧面积S.【解析】(1)此几何体是四棱锥，底面就是俯视图的底面，高是正视图的高，所以此四棱锥的体积是V=QUOTE×8×6×4=64.(2)根据图形，锥体的高，侧面的高，还有射影构成直角三角形，所以侧面的高是h1=QUOTE=5，h2=QUOTE=4QUOTE，所以侧面积是S=QUOTE×8×5×2+QUOTE×6×4QUOTE×2=40+24QUOTE.20.(12分)如图，BD是正方形ABCD的对角线，弧QUOTE的圆心是A，半径为AB，正方形ABCD以AB为轴旋转，求图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比.【解析】把图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分分别绕直线AB旋转所得旋转体体积记为VⅠ，VⅡ，VⅢ，并设正方形的边长为a，因此，VⅠ=QUOTEπa2·a=QUOTEπa3，VⅡ=QUOTE·QUOTEπa3-V1=QUOTEa3，VⅢ=πa2·a-VⅠ-VⅡ=QUOTEa3，所以VⅠ∶VⅡ∶VⅢ=1∶1∶1.21.(12分)(2016·成都高一检测)如图所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求证：三棱柱ABC-A′B′C′的体积V=QUOTESa.【证明】如图所示，连接A′B，A′C，这样就把三