及面积有关的几何概率

..一．选择题〔共11小题〕1．〔2017•东营〕如图，共有12个大小一样的小正方形，其中阴影局部的5个小正方形是一个正方体的外表展开图的一局部，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的外表展开图的概率是〔〕A． B． C． D．【分析】根据正方形外表展开图的构造即可求出判断出构成这个正方体的外表展开图的概率．【解答】解：设没有涂上阴影的分别为：A、B、C、D、E、F、G，如下图，从其余的小正方形中任取一个涂上阴影共有7种情况，而能够构成正方体的外表展开图的有以下情况，D、E、F、G，∴能构成这个正方体的外表展开图的概率是，应选〔A〕【点评】此题考察概率，解题的关键是熟识正方体外表展开图的构造，此题属于中等题型．2．〔2016•二模〕将一个小球在如下图的地砖上自由滚动，小球最终停在黑色方砖上的概率为〔〕A． B． C． D．【分析】首先观察图形，可得黑色方砖的面积与白色方砖的面积相等，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵黑色方砖的面积与白色方砖的面积相等，∴小球最终停在黑色方砖上的概率为：．应选B．【点评】此题考察了几何概率的知识．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．3．〔2015•〕一只蚂蚁在如下图的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影局部的概率为〔〕A． B． C． D．【分析】根据正方形的性质求出阴影局部占整个面积的，进而得出答案．【解答】解：由题意可得出：图中阴影局部占整个面积的，因此一只蚂蚁在如下图的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影局部的概率是：．应选：B．【点评】此题考察几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件〔A〕；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件〔A〕发生的概率．4．〔2015秋•沁源县期末〕如果小磊将镖随意投中如下图的正方形木板〔假设投中每个小正方形是等可能的〕，那么镖落在阴影局部的概率为〔〕A． B． C． D．【分析】看阴影局部的面积占正方形木板面积的多少即可．【解答】解：阴影局部的面积为2+4=6，∴镖落在阴影局部的概率为=．应选：A．【点评】此题考察几何概率的求法；用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．5．〔2015春•泰山区期中〕甲、乙两人打赌，各自往图中的区域掷石子，假设落在阴影局部上甲获胜，假设落在白色局部上乙获胜，那么甲、乙获胜的概率情况是〔〕A．甲大 B．乙大 C．相等 D．不确定【分析】首先确定阴影的面积在整个正方形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影局部的概率．【解答】解：甲获胜的概率为：=，乙获胜的概率为：=．可见乙获胜的概率大．应选B．【点评】考察了几何概率，将概率的求解设置于石子随意投中如下图的正方形木板的游戏中，考察学生对简单几何概型的掌握情况，既防止了单纯依靠公式机械计算的做法，又表达了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，表达了数学学科的根底性．概率=所求情况数与总情况数之比．6．〔2017•于洪区一模〕如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停顿时，指针指向阴影区域的概率是〔〕A． B． C． D．【分析】确定阴影局部的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停顿转动时指针指向阴影局部的概率．【解答】解：如图：转动转盘被均匀分成6局部，阴影局部占2份，转盘停顿转动时指针指向阴影局部的概率是：=；应选：C．【点评】此题考察了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．7．〔2017春•东平县期中〕转动以下名转盘，指针指向红色区域的概率最大的是〔〕A． B． C． D．【分析】红色区域面积与圆的面积之比即为指针指向红色区域的概率，比拟即可．【解答】解：红色区域面积与圆的面积之比即为指针指向红色区域的概率，观察可知红色区域面积D＞C=A＞B．应选D．【点评】考察了几何概率的计算公式，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．8．〔2016•历下区二模〕如下图，转盘被等分成4个扇形，并在上面一次写上数字1，2，3，5，假设自1转动转盘当它停顿转动时，指针指向奇数区的概率是〔〕A． B． C． D．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小．【解答】解：根据题意可得：转盘被等分成四个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、5，有3个扇形上是奇数，故自由转动转盘，当它停顿转动时，指针指向奇数区的概率是．应选C．【点评】此题主要考察了概率的求法，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性一样，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=．9．〔2015•〕如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，假设让转盘自由转动一次，停顿后，指针落在阴影区域的概率最大的转盘是〔〕A． B． C． D．【分析】利用指针落在阴影区域的概率是：，分别求出概率比拟即可．【解答】解：A、如下图：指针落在阴影区域的概率为：=；B、如下图：指针落在阴影区域的概率为：=；C、如下图：指针落在阴影区域的概率为：；D、如下图：指针落在阴影区域的概率为：，∵＞＞＞，∴指针落在阴影区域的概率最大的转盘是：．应选：A．【点评】此题考察了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．10．〔2015•〕如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分为6个大小一样的扇形，指针的位置固定，转动的转盘停顿后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置〔指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形〕，指针指向阴影区域的概率是〔〕A． B． C． D．【分析】求出阴影在整个转盘中所占的比例即可解答．【解答】解：∵每个扇形大小一样，因此阴影面积与空白的面积相等，∴落在阴影局部的概率为：=．应选：C．【点评】此题主要考察了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．11．〔2015•模拟〕如图，正六边形中，点A在一边上运动，AO交六边形的另一边于B，过O作AB的垂线交六边形于C，D，形成如下图的阴影局部．小设计了两个方案：①把如下图的飞镖盘纸板挂在墙上，玩飞镖游戏〔每次飞镖均落在纸板上〕，那么飞镖落在阴影区域的概率是．②以O为旋转中心，把六边形做成转盘，那么指针落在阴影局部的概率是．那么以上两种方案正确的选项是〔〕A．①② B．① C．② D．①②都错误【分析】求得阴影局部的面积占正六边形的面积的多少即可求得概率，从而确定正确的选项．【解答】解：∵共正六边形的中心的直线能将正六边形平分，∴当AB⊥CD时，两条直线能将正六边形平均分成四份，∴阴影局部的面积是整个正六边形的面积的，∴飞镖落在阴影局部和指针指向阴影局部的概率均为，∴②均正确．应选C．【点评】此题考察了几何概率的求法，根据正多边形的性质确定阴影局部的面积与整个六边形的面积的比是解答此题的关键，难度不大．二．填空题〔共8小题〕12．〔2017•区校级模拟〕一只蚂蚁在如下图的七巧板上任意爬行，它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都一样，那么它停在1号板上的概率是．【分析】首先确定在图中1号板的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在1号板上的概率．【解答】解：因为1号板的面积占了总面积的，故停在1号板上的概率=．【点评】此题考察几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件〔A〕；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件〔A〕发生的概率；此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中，考察学生对简单几何概型的掌握情况，既防止了单纯依靠公式机械计算的做法，又表达了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，表达了数学学科的根底性．13．〔2016•黄冈校级自主招生〕如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A、B、C、D着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂一样的颜色．满足恰好A涂蓝色的概率为．【分析】首先分析出所有满足条件的涂法，然后找出恰好A涂蓝色的涂法，它们的比值即为所求的概率．【解答】解：要使有公共边界的相邻区域不能涂一样的颜色，那么当A涂红时，可有A红、B蓝、C黄、D红；A红、B蓝、C黄、D蓝；A红、B黄、C蓝、D红；A红、B黄、C蓝、D黄共4种情况，；当A涂蓝时，同理也有4种情况；当A涂黄时也有4种情况．∴恰好A涂蓝色的概率为=．故答案为．【点评】此题考察的是几何概率，关键是不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．〔2016春•滕州市期末〕假设一只小猫在如下图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，它最终停留在黑色的方砖上的概率是．【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．【解答】解：观察这个图可知：黑色区域〔4块〕的面积占总面积〔16块〕的，故其概率为．故答案为：．【点评】此题考察几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件〔A〕；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件〔A〕发生的概率．15．〔2015春•宣汉县期末〕一只小鸟自由自在在空中飞翔，然后随意落在以下图〔由16个小正方形组成〕中，那么落在阴影局部的概率是．【分析】根据几何概率的求法：小鸟落在阴影局部的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：设每个小正方形的边长为1，由图可知：阴影局部面积为：×1×3﹣×1×2+〔×3×4﹣×3×3〕+〔×3×4﹣×3×2〕==5所以图中阴影局部占5个小正方形，其面积占总面积的，所以其概率为．故答案为：．【点评】此题考察几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件〔A〕；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件〔A〕发生的概率．16．〔2016•和平区四模〕两个全等的转盘A、B，A盘被平均分为12份，颜色顺次为红、绿、蓝．B盘被平均分为红、绿、蓝3份．分别自由转动A盘和B盘，那么A盘停顿时指针指向红色的概率=B盘停顿时指针指向红色的概率．〔用"＞〞、"＜〞或"=〞号填空〕【分析】利用红色区域面积与圆盘面积之比即指针指向黑色的概率．【解答】解：A中概率为=，B中也为．故A盘停顿时指针指向红色的概率与B盘停顿时指针指向红色的概率一样大．因为它们的概率都等于．故答案为：=．【点评】此题考察了几何概率的计算公式，面积之比即为几何概率．利用扇形统计图得出两转盘的概率是解题关键．17．〔2016春•普宁市期末〕如图，转动的转盘停顿转动后，指针指向黑色区域的概率是．【分析】设圆的半径为R，根据圆的面积公式和扇形的面积公式得到圆的面积=πR2，黑色区域的面积==πR2，然后用黑色区域的面积比圆的面积即可得到针指向黑色区域的概率．【解答】解：设圆的半径为R，∴圆的面积=πR2，黑色区域的面积==πR2，∴转动的转盘停顿转动后，指针指向黑色区域的概率==．故答案为．【点评】此题考察了几何概率的求法：先求出整个图形的面积n，再计算某事件所占有的面积m，那么这个事件的概率=．也考察了扇形的面积公式．18．〔2015•模拟〕如图是一个可以自由转动的转盘，如果转动一次转盘，转盘中阴影局部的扇形的圆心角度数为120°．那么停顿后指针指向阴影局部的概率是．【分析】阴影局部所对圆心角的度数与360°的比即为转动停顿后指针指向阴影局部的概率．【解答】解：P〔指向阴影〕==，故答案为．【点评】此题考察了几何概率，熟悉概率公式和圆心角的度数与360°的关系是解题的关键．19．〔2015秋•泰兴市期末〕如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停顿转动时，指针指向阴影区域的概率是．【分析】设圆的面积为6，易得到阴影区域的面积为4，然后根据概率公式计算即可．【解答】解：设圆的面积为6，∵圆被分成6个一样扇形，∴每个扇形的面积为1，∴阴影区域的面积为4，∴指针指向阴影区域的概率=；故答案为：．【点评】此题考察了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=．三．解答题〔共8小题〕20．〔2014春•通川区期末〕超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖时机．摇奖机是一个圆形转盘，被分成16等分，摇中红、黄、蓝色区域，分获一、二、三获奖，奖金依次为60、50、40元．一次性购物满300元者，如果不摇奖可返还现金15元．〔1〕摇奖一次，获一等奖的概率是多少？〔2〕老一次性购物满了300元，他是参与摇奖划算还是领15元现金划算，请你帮他算算．【分析】〔1〕找到红色区域的份数占总份数的多少即为获得一等奖的概率，〔2〕游戏是否合算，关键要看游戏双方获胜的时机是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．【解答】解：〔1〕整个圆周被分成了16份，红色为1份，∴获得一等奖的概率为：，〔2〕转转盘：60×+50×+40×=20元，∵20元＞15元，∴转转盘划算．【点评】此题主要考察了古典型概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性一样，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=，难度适中．21．〔2013春•校级期末〕向如下图的正三角形区域扔沙包，〔区域中每个小正三角形颜色外完全一样〕沙包随机落在某个正三角形．〔1〕扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是．〔2〕要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出．【分析】〔1〕求出阴影局部的面积与三角形的面积的比值即可解答；〔2〕利用〔1〕中求法得出答案即可．【解答】解：因为阴影局部的面积与三角形的面积的比值是=，所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于．故答案为：．〔2〕如下图：要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑2个小正三角形〔答案不唯一〕．【点评】此题考察几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件〔A〕；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件〔A〕发生的概率．22．〔2012•渠县校级模拟〕小明家阳台地面上，水平铺设黑白颜色相间的18块方砖〔如图〕，他从房间向阳台抛小皮球，小皮球最终随机停留在某块方砖上．〔1〕求小皮球分别停留在黑色方砖与白色方砖上的概率；〔2〕要使停留在黑色方砖和白色方砖上的概率相等，应怎样改变方砖的颜色？【分析】〔1〕根据概小球停在黑色方砖上的概率就是黑色方砖面积与总面积的比值，小球停在白色方砖上的概率就是白色方砖面积与总面积的比值，再根据黑色方砖、白色方砖的个数与总个数之间的关系，即可求出答案；〔2〕要想这两个概率相等，只要使黑色方砖的个数与白色方砖的个数相等即可．【解答】解：〔1〕∵白色方砖8块，黑色方砖10块，又∵黑白颜色相间的有18块方砖，∴小皮球停留在黑色方砖上的概率是=，小皮球停留在白色方砖上的概率是=；〔2〕因为，所以小皮球停留在黑色方砖上的概率大于停留在白色方砖上的概率，要使这两个概率相等，只要把其中一块黑色方砖改为白色方砖即可．【点评】此题考察了几何概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概率公式．23．〔2012秋•岱岳区校级期末〕一写有密码的纸片被随意埋在如下图的矩形区域〔每个方格大小一样〕．〔1〕埋在哪个区域的可能性较大？〔2〕分别计算埋在三个区域的概率；〔3〕埋在哪两个区域的概率一样？【分析】〔1〕根据图形面积大小即可得出埋在哪个区域的可能性较大；〔2〕利用图形面积求出概率即可；〔3〕利用〔2〕中所求得出即可．【解答】解：〔1〕埋在2区的可能性较大；〔2〕P〔埋在1区〕=，P〔埋在2区〕=，P〔埋在3区〕=；〔3〕埋在1区与3区的概率一样．【点评】此题主要考察了几何概率求法，利用图形面积得出概率是解题关键．24．〔2012秋•建平县期末〕有一挖宝游戏，有一宝藏被随意藏在下面圆形区域，〔圆形区域被分成八等份〕如图1．〔1〕假设你去寻找宝藏，你会选择哪个区域〔区域1；区域2；区域3〕？为什么？在此区域一定能够找到宝藏吗？〔2〕宝藏藏在哪两个区域的可能性一样？〔3〕如果埋宝藏的区域如图2〔图中每个方块完全一样〕，〔1〕〔2〕的结果又会怎样？【分析】〔1〕根据扇形面积的大小直接分析得到宝藏的概率即可得出答案；〔2〕根据扇形面积的大小直接分析得到宝藏的概率即可得出答案；〔3〕根据小正方形的面积一样进而分析按得出即可．【解答】解：〔1〕会选择区域3；区域1和区域2的可能性是、区域3的可能性是，藏在区域3的可能性大；在此区域也不一定能够找到宝藏，因为区域3的可能性是，不是1．〔只要说出谁的可能性大可酌情给分〕；〔2〕宝藏藏在区域1和区域2的可能性一样，可能性都是；〔3〕如果埋宝藏的区域如图2〔图中每个方块完全一样〕，〔1〕〔2〕的结果完全一样．【点评】此题主要考察了几何概率问题，根据图形的面积与概率的关系进而得出是解题关键．25．〔2012春•期末〕某商场为了吸引顾客，设立了一可以自由转动的转盘，AB为转盘直径，如下图，并规定：顾客消费100元〔含100元〕以上，就能获得一次转盘的时机，如果转盘停顿后，指针正好对准9折、8折、7折区域，顾客就可以获得相应的优惠．〔1〕某顾客正好消费99元，是否可以获得相应的优惠．〔2〕某顾客正好消费120元，他转一次转盘获得三种打折优惠的概率分别是多少？【分析】〔1〕根据题意，易得答案；〔2〕根据题意乙顾客消费120元，能获得一次转动转盘的时机．根据概率的计算方法，可得答案．【解答】解：〔1〕根据规定消费100元