安徽省合肥八中高二下学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年安徽省合肥八中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题,每小题5分，满分60分）1．在复平面内,复数z=﹣1+i对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列函数求导错误的是（）A．（）′= B．（)′=﹣ C．（lnx）′= D．(e﹣x）′=e﹣x3．函数f（x)的定义域为开区间（a，b），导函数f′(x）在（a，b）内的图象如图所示,则函数f（x)在开区间(a，b）内有极小值（）A．2个 B．1个 C．3个 D．4个4．一个关于自然数n的命题,如果验证当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k≥1且k∈N*）时命题成立的基础上,证明了当n=k+2时命题成立，那么综合上述，对于()A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对5．若复数z=，则|z｜=（)A． B．2 C． D．6．由抛物线y=x2﹣x，直线x=﹣1及x轴围成的图形的面积为(）A． B．1 C． D．7．设a,b,c∈(﹣∞,0)，则a+，b+，c+(）A．都不大于﹣2 B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2 D．至少有一个不小于﹣28．已知和都是无理数,试证:+也是无理数．某同学运用演绎推理证明如下：依题设和都是无理数,而无理数与无理数之和是无理数,所以+必是无理数．这个同学证明是错误的，错误原因是(）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．以上都可能9．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=________;f（n）=________（）A．373n2﹣3n+1 B．383n2﹣3n+2 C．363n2﹣3n D．353n2﹣3n﹣110．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀"“合格”“不合格"．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好"．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人11．过点（1,1）且与曲线y=x3相切的切线方程为(）A．y=3x﹣2 B．y=x+C．y=3x﹣2或y=x+ D．y=3x﹣2或y=x﹣12．已知函数f（x）=ex,g（x)=ln的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB｜的最小值为(）A．2 B．2+ln2 C．e2 D．2e﹣ln二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分，共20分，将答案填在每题的横线上.)13．计算定积分：e2xdx=．14．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数,则z=．15．在三角形中，有结论：“任意两边之和大于第三边”，类比到空间,在四面体中，有(用文字叙述）16．已知函数f（x）的定义域为［﹣1，5］，部分对应值如表,x﹣104f（x）122f(x）的导函数y=f′（x)的图象(该图象关于（2，0)中心对称）如图所示．下列关于f（x)的命题：①函数f（x）的极大值点为0与4；②函数f（x）在[0，2］上是减函数；③函数y=f（x）﹣a零点的个数可能为0、1、2、3、4个；④如果当时x∈［﹣1,t]，f(x）的最大值是2，那么t的最大值为5；．⑤函数f（x）的图象在a=1是上凸的其中一定正确命题的序号是．三.答题：（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知a＞0，﹣＞1，求证：＞．18．（10分）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大？19．（12分）先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1+a2=1,求证a12+a22≥．【证明】构造函数f(x）=(x﹣a1）2+（x﹣a2）2则f（x）=2x2﹣2（a1+a2）x+a12+a22=2x2﹣2x+a12+a22因为对一切x∈R,恒有f（x）≥0．所以△=4﹣8(a12+a22）≤0，从而得a12+a22≥，（1）若a1，a2,…，an∈R，a1+a2+…+an=1,请写出上述结论的推广式;（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．20．（12分）已知f（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]），其中e是自然常数，a∈R（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值;（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．21．（12分）等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+，点（n，Sn）均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1,b，r均为常数的图象上．（Ⅰ）求r的值．（Ⅱ）当b=2时，记bn=2（log2an+1）（n∈N+），证明：对任意的n∈N+,不等式成立．22．（14分）设函数f（x）=ln(1+x），g(x）=xf′(x），x≥0，其中f′（x）是f(x）的导函数．（1）g1(x）=g（x），gn+1(x）=g(gn（x）)，n∈N+，求g1（x)，g2(x），g3（x）,并猜想gn（x）的表达式（不必证明）;（2）若f（x）≥ag（x）恒成立,求实数a的取值范围；（3）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f(n）的大小，并用数学归纳法加以证明．

2016-2017学年安徽省合肥八中高二（下）期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在复平面内，复数z=﹣1+i对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由于复数z=﹣1+i对应的点的坐标为（﹣1，1），从而得出结论．【解答】解：由于复数z=﹣1+i对应的点的坐标为(﹣1，1），在第二象限，故选B．【点评】本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．2．下列函数求导错误的是（）A．(）′= B．（)′=﹣ C．(lnx）′= D．（e﹣x）′=e﹣x【考点】63:导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：对于D，（e﹣x)′=﹣e﹣x,故选：D【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．3．函数f（x）的定义域为开区间（a，b),导函数f′（x）在（a,b)内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值()A．2个 B．1个 C．3个 D．4个【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】如图所示,由导函数f′（x)在(a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f(x）只有在点B处取得极小值．【解答】解：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（x)只有在点B处取得极小值，∵在点B的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，且f′（xB）=0．∴函数f（x）在点B处取得极小值．故选:B．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力,属于基础题．4．一个关于自然数n的命题,如果验证当n=1时命题成立，并在假设当n=k（k≥1且k∈N＊)时命题成立的基础上，证明了当n=k+2时命题成立，那么综合上述,对于（）A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对【考点】RG:数学归纳法．【分析】仔细体会数学归纳法的解题步骤,结合如果验证当n=1时命题成立，并在假设当n=k（k≥1且k∈N*）时命题成立的基础上，证明了当n=k+2时命题成立，即可推出正确选项．【解答】解：本题证的是对n=1,3,5，7，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A、C、D不正确;故选B．【点评】本题是基础题,考查数学归纳法证明问题的步骤，理解递推关系，找出规律是判断正误的关键．5．若复数z=，则|z|=（)A． B．2 C． D．【考点】A8：复数求模．【分析】化简复数z，求出它的模长即可．【解答】解：z===1﹣i，∴|z|==，故选：C【点评】本题考查了复数的化简与模长的计算问题，是基础题目．6．由抛物线y=x2﹣x,直线x=﹣1及x轴围成的图形的面积为（）A． B．1 C． D．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】由图形，利用定积分表示阴影部分的面积，然后计算即可．【解答】解：由抛物线y=x2﹣x，直线x=﹣1及x轴围成的图形的面积为：=(）｜+==1；故选:B．【点评】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积；关键是明确被积函数以及积分上限和下限．7．设a，b,c∈(﹣∞，0)，则a+，b+,c+（）A．都不大于﹣2 B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2 D．至少有一个不小于﹣2【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】假设a+,b+，c+,由此利用反证法和均值不等式能求出结果．【解答】解：假设a+，b+，c+都大于﹣2，即a+＞﹣2，b+＞﹣2，c+＞﹣2，将三式相加,得a++b++c+＞﹣6，又因为a,b，c∈（﹣∞，0）,所以a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，三式相加,得a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+＞﹣6不成立．故选：C．【点评】本题考查不等式的性质和应用,解题时要注意均值不等式的合理运用．8．已知和都是无理数，试证：+也是无理数．某同学运用演绎推理证明如下:依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以+必是无理数．这个同学证明是错误的，错误原因是(）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．以上都可能【考点】F7：进行简单的演绎推理．【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提,小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．【解答】解：大前提：无理数与无理数之和是无理数，错误;小前提：和都是无理数，正确;结论+也是无理数也正确,故只有大前提错误，故选：A．【点评】本题考查演绎推理的基本方法，考查实数的性质，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识,判断这种说法是否正确即可，是一个基础题．9．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=________;f（n）=________（)A．373n2﹣3n+1 B．383n2﹣3n+2 C．363n2﹣3n D．353n2﹣3n﹣1【考点】F1：归纳推理．【分析】根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出f(n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n)的表达式．【解答】解:由于f（2)﹣f（1）=7﹣1=6，f（3)﹣f（2）=19﹣7=2×6，f（4）﹣f（3）=37﹣19=3×6，f（5）﹣f(4)=61﹣37=4×6，…因此，当n≥2时，有f（n）﹣f(n﹣1）=6（n﹣1），所以f(n）=[f(n）﹣f（n﹣1）］+［f（n﹣1)﹣f（n﹣2）]+…+[f(2）﹣f（1）］+f（1)=6［（n﹣1）+（n﹣2)+…+2+1］+1=3n2﹣3n+1．又f（1）=1=3×12﹣3×1+1，所以f(n)=3n2﹣3n+1．当n=4时，f（4）=3×42﹣3×4+1=37．故选:A．【点评】本题主要考查了数列的问题、归纳推理．属于中档题．10．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好"．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A,B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然(AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多有3个．故选：B．【点评】本题主要考查了合情推理,关键是找到语句中的关键词,培养了推理论证的能力．11．过点(1，1）且与曲线y=x3相切的切线方程为（）A．y=3x﹣2 B．y=x+C．y=3x﹣2或y=x+ D．y=3x﹣2或y=x﹣【考点】J7:圆的切线方程．【分析】设切点为（x0，y0），根据解析式求出导数、y0,由导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程求出切线方程，把点（1，1）代入切线方程通过因式分解求出x，代入切线方程化简即可．【解答】解:（1)设切点为（x0,y0），由题意得y=3x2,y0=x03，则切线的斜率k=3x02,∴切线方程是：y﹣x03=3x02（x﹣x0），①∵切线过点（1，1），∴1﹣x03=3x02（1﹣x0），化简得，2x03﹣3x02+1=0,2（x03﹣1）﹣3（x02﹣1）=0，则(x0﹣1）（2x02﹣x0﹣1）=0,解得x0=1或x0=﹣,代入①得:3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0,∴切线方程为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．故选：C．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别，考查化简、计算能力．12．已知函数f(x）=ex,g(x）=ln的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB｜的最小值为（）A．2 B．2+ln2 C．e2 D．2e﹣ln【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】由题意，A（lnm，m)，B(2，m）,其中2＞lnm，且m＞0，表示|AB｜,构造函数，确定函数的单调性，即可求出｜AB｜的最小值．【解答】解：由题意，A（lnm，m）,B（2，m)，其中2＞lnm，且m＞0，∴|AB|=2﹣lnm，令y=﹣lnx（x＞0）,则y′=﹣，∴x=，∴0＜x＜时，y′＜0；x＞时，y′＞0,∴y=﹣lnx（x＞0）在（0，)上单调递减，在(,+∞）上单调递增,∴x=时,|AB|min=2+ln2．故选:B．【点评】本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二.填空题:(本大题共4小题，每小题5分,共20分，将答案填在每题的横线上.）13．计算定积分：e2xdx=．【考点】67：定积分．【分析】找出被积函数的原函数,计算定积分．【解答】解：e2xdx=（)｜=（e2﹣e0）=;故答案为：；【点评】本题考查了定积分的计算，关键是正确找出原函数,代入积分上限、下限计算．14．已知复数z与（z+2)2﹣8i均是纯虚数，则z=﹣2i．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】两个复数都是纯虚数，可设z，化简(z+2）2﹣8i，可求出z．【解答】解:设z=ai,a∈R,∴（z+2）2﹣8i=（ai+2）2﹣8i=4+4ai﹣a2﹣8i=（4﹣a2）+（4a﹣8）i，∵它是纯虚数，∴a=﹣2故答案为：﹣2i．【点评】本题考查复数的分类，及复数的运算，是基础题．15．在三角形中，有结论：“任意两边之和大于第三边”，类比到空间,在四面体中，有任意三面面积之和大于第四面面积（用文字叙述）【考点】F3：类比推理．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．故我们可以根据已知中平面几何中,“三角形任两边之和大于第三边",推断出“三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”．【解答】解：由平面中:“三角形任两边之和大于第三边”，根据平面上关于线的性质类比为空间中关于面的性质,我们可以推断在空间几何中有：在四面体中，“任意三面面积之和大于第四面面积”,故答案为：任意三面面积之和大于第四面面积．【点评】本题主要考查类比推理及正四面体的几何特征．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性;（2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想）．16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表,x﹣104f(x)122f(x）的导函数y=f′（x)的图象（该图象关于（2,0）中心对称）如图所示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0与4；②函数f（x）在[0，2］上是减函数;③函数y=f（x）﹣a零点的个数可能为0、1、2、3、4个;④如果当时x∈[﹣1，t],f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5；．⑤函数f（x）的图象在a=1是上凸的其中一定正确命题的序号是①②④．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①,根据函数的单调性和特殊值,可判断真假;②,根据已知导函数的图象，易分析出f（x）在[0，2］上的单调性,进而判断③的真假；,；③，由导函数y=f′（x）的图象可知函数f（x）的大致图象如图，函数y=f(x）与直线y=a的图象有四个交点可能为0、1、2、4个，可判断真假；④，根据已知导函数的图象，及表中几个点的坐标，易分析出0≤t≤5，均能保证x∈[﹣1，t]时，f（x)的最大值是2,进而判断③的真假；⑤，根据函数f（x）的大致图象，判断【解答】①②④解:对于①，∵由导函数的图象知，函数f（x）的最大值点为0与4，故①正确;对于②，由已知中y=f′(x）的图象可得在［0，2］上f′（x)＜0，即f（x）在[0，2]是减函数，即②正确；对于③，由导函数y=f′（x）的图象可知，函数在［﹣1，0]，［2，4]上为增函数，则［0，2],[4，5］上为减函数,且函数在x=0和x=4取得极大值f（0）=2，f（4）=2,在x=2取得极小值f（2）=0，则函数f（x）的大致图象如图:则函数y=f（x）与直线y=a的图象有四个交点可能为0、1、2、4个，即③错误对于④，由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x∈［﹣1，t］时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即④正确；对于⑤,根据函数f（x）的大致图象，判断⑤错误；故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知,分析出函数的大致形状，利用图象分析函数的性质是解答本题的关键．三.答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分)（2015春•邢台期末）已知a＞0,﹣＞1,求证:＞．【考点】R6：不等式的证明；R8:综合法与分析法（选修）．【分析】证法一：利用分析法直接按照分析法的证题步骤证明即可．证法二：直接利用综合法,通过已知条件证明推证结果即可．【解答】证明：证法一：由已知﹣＞1及a＞0，可知b＞0，要证＞，可证•＞1，即证1+a﹣b﹣ab＞1，这只需证a﹣b﹣ab＞0，即＞1,即﹣＞1，而这正是已知条件，以上各步均可逆推，所以原不等式得证．证法二：﹣＞1及a＞0，可知1＞b＞0，∵﹣＞1,∴a﹣b﹣ab＞0,1+a﹣b﹣ab＞1，（1+a）(1﹣b）＞1．由a＞0，1﹣b＞0，得•＞1，即＞．【点评】本题考查不等式的证明，分析法与综合法的应用,注意基本不等式的应用．18．（10分）（2006•江苏）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】设出顶点O到底面中心o1的距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式，利用导数求出高为何时体积取得最大值．【解答】解：设OO1为xm，（1＜x＜4）．则由题设可得正六棱锥底面边长为:（m）．(求解过程为：)于是底面正六边形的面积为（单位:m2）帐篷的体积为(单位:m3）．可得：求导数，得令V’（x）=0解得x=﹣2（不合题意,舍去)，x=2．当1＜x＜2时，V'（x)＞0，V（x)为增函数;当2＜x＜4时,V'（x)＜0，V（x)为减函数．所以当x=2时,V(x）最大．答当OO1为2m时，帐篷的体积最大．【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）（2016秋•新余期末)先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22≥．【证明】构造函数f（x）=（x﹣a1)2+（x﹣a2）2则f（x)=2x2﹣2（a1+a2）x+a12+a22=2x2﹣2x+a12+a22因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0．所以△=4﹣8（a12+a22）≤0，从而得a12+a22≥，（1）若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，请写出上述结论的推广式;（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】(1）由已知中已知a1，a2∈R,a1+a2=1,求证a12+a22≥，及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式,若a1，a2,…,an∈R，a1+a2+…+an=1，则a12+a22+…+an2≥．(2）但此公式是由归纳推理得到的，其正确性还没有得到验证，观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明．【解答】解:（1）若a1,a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1,求证：a12+a22+…+an2≥，（2)证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2)2+…+（x﹣an）2=nx2﹣2（a1+a2+…+an)x+a12+a22+…+an2=nx2﹣2x+a12+a22+…+an2因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4﹣4n（a12+a22+…+an2）≤0从而证得：a12+a22+…+an2≥【点评】归纳推理的一般步骤是:（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想）．（3）对归纳得到的一般性结论进行证明．20．（12分）(2013•山东模拟)已知f（x）=ax﹣lnx(x∈（0，e］），其中e是自然常数,a∈R(Ⅰ）当a=1时，求f（x)的单调区间和极值;（Ⅱ)是否存在实数a，使f（x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在,说明理由．【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（I）把a=1代入原函数，求出其导函数,即可求f（x)的单调性、极值;（II）先求出其导函数，通过分类讨论分别求出导数为0的根，以及单调性和极值,再与f（x)的最小值是3相结合,即可得出结论．【解答】解：（I）当a=1时，f(x)=x﹣lnx，则（1分)且x∈（0，e］得x∈[1，e）单调递增；（3分）且x∈(0，e]得x∈(0，1）单调递减；当x=1时取到极小值1；（6分）（II)（7分）①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x)在x∈（0,e）上单调递减f(e）＜0，与题意不符；（9分）②当a＞0时,f′（x）=0的根为当时，，解得a=e2（12分）③当时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0,e)上单调递减f（e）＜0，与题意不符；（14分）综上所述a=e2（15分)【点评】本题主要考查导数的应用．导数一般应用在求切线的斜率极其方程，求函数的单调区间以及极值,和求在某个区间上的最值问题上．导数的应用是高考考查的重点，须重视．21．（12分）（2009•山东）等比数列｛an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+，点（n，Sn)均在函数y=bx+r(b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．（Ⅰ）求r的值．（Ⅱ）当b=2时，记bn=2(log2an+1）（n∈N+）,证明：对任意的n∈N+，不等式成立．【考点】RG：数学归纳法．【分析】本题考查的数学归纳法及数列的性质．(1)由已知中因为对任意的n∈N+，点(n，Sn），均在函数y=bx+r(b＞0且b≠1，b,r均为常数的图象上．根据数列中an与Sn的关系，我们易得到一个关于r的方程,再由数列｛an｝为等比数列,即可得到r的值．（2）将b=2代入，我们可以得到数列{an}的通项公式，再由bn=2（log2an+1）（n∈n)，我们可给数列｛bn｝的通项公式，进而可将不等式进行简化，然后利用数学归纳法对其进行证明．【解答】解：（1）因为对任意的n∈N+，点（n,Sn），均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1,b，r均为常数的图象上．所以得Sn=bn+r，当n=1时，a1=S1=b+r，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=bn+r﹣(bn﹣1+r）=bn﹣bn﹣1=(b﹣1)bn﹣1，又因为｛an｝为等比数列,所以r=﹣1，公比为b,an=（b﹣1)bn﹣1（2）当b=2时,an=(b﹣1）bn﹣1=2n﹣1，bn=2（log2an