2022届上海延安高考数学四模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在平面直角坐标系中，经过点P（2&,-a）,渐近线方程为y=的双曲线的标准方程为（）

3.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂

口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%）,根据该图，以下结论一定正确的是（）

A.2019年该工厂的棉签产量最少

B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显

C.三年累计下来产量最多的是口罩

D.口罩的产量逐年增加

4.设加，〃是空间两条不同的直线，a,/是空间两个不同的平面，给出下列四个命题:

①若m/1a,nl//3,a11/3,则

②若a_L/?,m±j3,m^a,则加//a；

③若/〃_L〃，〃?_La,a!IP,贝!]〃//月；

④若。"L/?,an，=/，mlla,mil,则〃其中正确的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

.326j

A.----+64B.8百+6万

3

「327316万c仄16〃

D.8。3H----

333

/（X）是定义在（0,+8）上的增函数，且满足：/（X）的导函数存在，且犬^<x,则下列不等式成立的是（

6.)

A./(2)<2/(1)B.3H3)<4〃4)

C.2/(3)<3/(4)D.3/(2)<2/(3)

7.中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A、3、C、

D、E为顶点的多边形为正五边形，且PT=苴二!•AP,则否一避二1函=（）

22

A

p

bc

△理万年而浮而dH■铤

8.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图D,充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数

学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某

骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太

阳光线）的夹角等于黄赤交角.

图2

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表:

黄赤交角23。4r23°57,24°13,24。28'24。44'

正切值0.4390.4440.4500.4550.461

年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（）

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

x—2y—2<0

9.若工、满足约束条件r—y+lNO，则z=3x+2y的最大值为（）

y<0

A.5B.9C.6D.12

10.设/（幻=厂4'*咒贝!1/（/（-2））=（）

2r,x<0

11

A.-1B.-C.-

42

11.正三棱柱ABC-AAG中，A\=4iAB,。是3C的中点，则异面直线与AC所成的角为（）

71K冗TC

A.B.

6472

12.已知函数/(x+1)是偶函数，当xe(l,”)时，函数/(x)单调递减，设a=b=/(3),c=/(O),

则。、b、c的大小关系为()

A.h<a<cB.c<b<dC.b<c<aD.a<h<c

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛q｝满足q=2,靠「?=2,若％=2阿，则数列也｝的前〃项和S,=.

14.已知数列｛4｝为等比数列，4+g=-2,々+生=6,则％=.

15.满足约束条件12+2|丫氏2的目标函数2=y一%的最小值是.

16.如图所示，点A(l,2),3均在抛物线y2=4x上，等腰直角AABC的斜边为8C,点C在x轴的正半轴上，则点

B的坐标是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保

护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理

科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4

人参加学校的环保知识竞赛.

(1)设事件A为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有“，求事件A发

生的概率；

(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人数，求X的分布列和数学期望.

18.(12分)已知函数/(%)=!%-21+|%-4|.

(1)解关于x的不等式/")«4；

(2)若函数/(x)的图象恒在直线机-1］的上方，求实数用的取值范围

19.(12分)已知点A为圆C：(x—1)2+V=1上的动点，。为坐标原点，过尸(0,4)作直线的垂线(当A、0

重合时，直线。4约定为)，轴)，垂足为M，以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求点M的轨迹的极坐标方程；

(不、\0A\

(2)直线/的极坐标方程为psin6+-=4,连接。4并延长交/于B,求舄的最大值.

20.(12分)已知矩阵股=［；'：］(9eR)不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量〃==,求a,。的值.

h41

21.(12分)如图，设A是由〃x〃个实数组成的〃行〃列的数表，其中劭①j=i,2,3,…，〃)表示位于第i行第/

列的实数，且劭e{L-1}.记S(〃，")为所有这样的数表构成的集合.对于Ae(〃，〃)，记r,(A)为A的第i行各数之积,

q(A)为A的第j列各数之积.令/(A)=2)；(4)+Zc/(A)

<=1

«11412…d\n

021022ain

•・・・・・・・・・•・

・・・dnn

(I)请写出一个AeS(4,4),使得4闺=0；

(II)是否存在A€S(9,9),使得儿4)=0?说明理由；

(IH)给定正整数〃，对于所有的AeS(〃，〃)，求/(4)的取值集合.

-121「10］

22.(10分)已知矩阵加=,MN=.

21J|_01

(1)求矩阵N；

⑵求矩阵N的特征值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据所求双曲线的渐近线方程为y=±也X,可设所求双曲线的标准方程为2x2-y2=k.再把点（20,一夜）代入，

求得k的值，可得要求的双曲线的方程.

【详解】

•.•双曲线的渐近线方程为y=土近X,.•.设所求双曲线的标准方程为2x2-y2=k.又（2夜,-J5）在双曲线上，则

22

k=16-2=14,即双曲线的方程为2x2一2=14,.•.双曲线的标准方程为上一上=]

714

故选：B

【点睛】

本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题.

2.D

【解析】

先判断函数的奇偶性可排除选项4G当xf（T时，可分析函数值为正，即可判断选项.

【详解】

（九、

y-sinx——-In|x|=-cosxln|x|,

<2）

丁・-cos（-x）In|—x|=—cosxIn|x|,

即函数为偶函数，

故排除选项A,G

当正数x越来越小，趋近于0时，-cosx<0,ln|x|<0,

所以函数^二五!!（尤一!^）ln|x|>0,故排除选项8,

故选：D

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.

3.C

【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的

正误.综合可得出结论.

【详解】

由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法

比较，故A、B、D选项错误；

由堆积图可知，从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最

多的是口罩，C选项正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.

4.C

【解析】

根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.

【详解】

解：①：〃?、〃也可能相交或异面，故①错

②：因为a_L/7,mL/3,所以机ua或加//&,

因为Wa,所以m//a,故②对

③：〃//月或〃u力，故③错

④：如图

因为尸，。口，=/,在内a过点E作直线/的垂线

则直线aLl

又因为/〃//a,设经过〃?和夕相交的平面与a交于直线b,则加//8

又机_U,所以人_U

因为a_U,b±l,bua,aua

所以。//a/〃w,所以故④对.

故选：C

【点睛】

考查线面平行或垂直的判断，基础题.

5.B

【解析】

还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.

【详解】

由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥

1,1,

半个圆柱体积为：匕=—万广。=—乃x2~x3=6万

22

四棱锥体积为：V,=-S/Z=-X4X3X2A/3=8^

•33

原几何体体积为：V=h+%=8百+6〃

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.

6.D

【解析】

根据“X)是定义在(0,+纥)上的增函数及〈界有意义可得r(x)>0,构建新函数g(x)=/5,利用导数可得

g(x)为(0,+纥)上的增函数，从而可得正确的选项.

【详解】

因为“％)是定义在(0,+。)上的增函数，故r(x)“.

f(x\

又分'有意义，故/'(力工0,故/'(x)>0,所以/(司<4'(%).

令g(x)=W，贝！|g，(x)=/(U)〉0，

故g(x)在(0,+纪)上为增函数，所以g⑶〉g⑵即W>W，

整理得到2/(3)>3/(2).

故选：D.

【点睛】

本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系

构建新函数，本题属于中档题.

7.A

【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题.

【详解】

解：行—垦1屈=而—既=丽=垦1森.

22

故选：A

【点睛】

本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属

于基础题.

8.D

【解析】

先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤

交角，即可得到正确选项.

【详解】

解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为£，春秋分日光与垂直线夹角为£,

则a-万即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，

将图3近似画出如下平面几何图形：

/小tana—tan£1.6-0.66八

tan(a-/7)=---------------=--------------------«0.457.

1+tana・tan°l+1.6x0.66

•.•0.455<0.457<0.461,

估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及

数学运算能力，属中档题.

9.C

【解析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线z=3x+2y,找出直线在）’轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数

计算即可.

【详解】

x-2y-2<0

作出满足约束条件x-y+lNO的可行域如图阴影部分（包括边界）所示.

y.

/<»\/x-y+1=0

□4737

由z=3x+2y,得y=+7平移直线y=—；x+：,当直线y=—+£经过点（2,0）时，该直线在）'轴上

的截距最大，此时Z取最大值，

即Zmax=3x24-2x0=6.

故选：C.

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想

的应用，属于基础题.

10.C

【解析】

试题分析：•••/(-2)=2q=1,.•./(/(一2))=/[1]=]_/!=]_'=!.故C正确.

414,V422

考点：复合函数求值.

11.C

【解析】

取片G中点后，连接AE，CE,根据正棱柱的结构性质，得出A£〃AO,则/。建即为异面直线AO与AC所

CE

成角，求出tan/C4E=”，即可得出结果.

【详解】

解：如图，取用G中点E,连接A|E,CE,

由于正三棱柱ABC-4&G,则B&±底面A四G,

而AEu底面AMG，所以

由正三棱柱的性质可知，△A4G为等边三角形，

所以且AEn6G=E,

所以4后，平面8BCC，

而ECu平面BBCC，则

则4石〃皿“EC=9。°,

:.NC4E即为异面直线AO与4c所成角，

设AB=2,则AA=2X/LAE=6，C£=3,

则tanZ.CA^E=--=—f==G,

J3

・・乙=­・

故选：c.

【点睛】

本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.

12.A

【解析】

根据〃x+l）图象关于轴对称可知“X）关于X=1对称，从而得到“X）在（一8,1）上单调递增且/（3）=/（-1）；

再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.

【详解】

Q/（x+l）为偶函数；./（x+l）图象关于）'轴对称

・•・/（x）图象关于x=l对称

3«1,+8）时，“X）单调递减时，“X）单调递增

又/⑶=/（一1）且T<—3<。•-即。

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的

单调性，通过自变量的大小关系求得结果.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

叽-％=2,求得乙的通项，进而求得a”=21?,得b”通项公式，利用等比数列求和即可.

n+1nn

【详解】

由题1%］为等差数列，.•.％=号+n-1x2=2na”=2/b_=22n,=叩一叫=--4，故答案为

InJn1ni-43

4n+,-4

3

【点睛】

本题考查求等差数列数列通项，等比数列求和，熟记等差等比性质，熟练运算是关键，是基础题.

14.81

【解析】

设数列｛4｝的公比为4,利用等比数列通项公式求出《国，代入等比数列通项公式即可求解.

【详解】

设数列｛4｝的公比为心由题意知，

q+a2

因为％+4=-2,由等比数列通项公式可得，

%-3q=-2,解得％=1,

由等比数列通项公式可得，

a5=ad=1x(-3)，=81.

故答案为：81

【点睛】

本题考查等比数列通项公式；考查运算求解能力；属于基础题.

15.-2

【解析】

可行域|x|+21)，|<2是如图的菱形ABCD,

代入计算,

知ZA=0-2=-2为最小.

16.(3,2⑹

【解析】

设出8,C两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程，解方程求得B的坐标.

【详解】

设B(a,0),C(c,0),(a,"c>0),由于B在抛物线上，所以=4。.由于三角形ABC是等腰直角三角形，ACVBA,

所以廉•岫=占・|51=一1.由I^RACl得J(l_4+(2-Op=j4+(l—c『，化为

，〃2Y642「-|r-

1--+(2—4=4+；~~可得(4一〃)216+(2+方=64x16+(2+4，所以〃一4=8,解得

\4J(2+。)

6=26，则a=3.所以8(3,26).

故答案为：(3,273)

【点睛】

本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)会(2)见解析

【解析】

(1)按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可(2)由超

几何分布求解即可

【详解】

(1)因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人,

文科男生1人，女生3人.

的以P(小CW404

所以P(A)——加一万.

(2)X的可能取值为0,1,2,3,

X的分布列为

X0123

£31

P

621030

11316

EX=0x-+lx-+2xj3x—=

6210305

【点睛】

本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题

18.(1)[1,5](2)(-1,3)

【解析】

(D零点分段法分XW2,2Vx<4,xN4三种情况讨论即可;

(2)只需找到了(x)的最小值即可.

【详解】

-2x+6,x<2

(1)由/(x)=«2,2<x<4.

2x-6,x>4

若xW2时，/(x)=—2x+6W4,解得|<x<2；

若2Vx<4时，/(x)=2<4,解得2<xv4；

若xN4时，/(x)=2x-6<4,解得4<xW5；

故不等式/*)44的解集为[1,5].

(2)由/(x)(x—2)—(x—4)|=2,有|，九一1|<2,得一

故实数山的取值范围为(T,3).

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.

19.(1)p=4sin6；(2)2+^

8

【解析】

(1)设"的极坐标为(夕,。)，在AOPM中，有。=4sin。，即可得结果；

⑵设射线。4：0=a,L圆。的极坐标方程为。=2cos8,联立两个方程，可求出侬，联立

、

Psin^+y

4..sin〔2a+fTC1+g,利用三角函数的性质可得最值.

可得|o@,则计算可得

731_43O

3=a

【详解】

(1)设M的极坐标为(°,。)，在AOPM中，有。=4sin。,

•••点M的轨迹的极坐标方程为P=4sin0；

7T7T\

(2)设射线04：0=a,ctG圆C的极坐标方程为。=2cose,

p=2cos0

由*得：|。4|=4=2cosa,

6=a

4

「sin(8+?4俎.1°回=2=一

由，71

7得：sina+

0=a3

,侬2cosa

,\0B-4-

.兀

sina+一

I3

—+巴7t

23

1.(.71.71

二一cosasinsincrcos—+cosasin—

233

L…a+&)s2a

44

=gsin2a+(cos2a+1)

△sin2a+兀W+V3

43V

7in

Qae

2兀八汽4兀

.----<2a+—<—

333

2+73

・••当2a+?q

即a=—时9

1I闻8

max

\0A\2+S

•・.舄的最大值为

\0B\8

【点睛】

本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.

。=4

20.

b=—\

【解析】

由M不存在逆矩阵，可得出?=T,再利用特征多项式求出特征值3,0,Ma=3a，利用矩阵乘法运算即可.

【详解】

因为“不存在逆矩阵，det(M)=1；=。，所以"Z.

2+1-a

矩阵M的特征多项式为/□)==A2—3A—4—ab=A2—32,

-b2-4

令./•(/l)=0,则2=3或2=0,

所以Me=3a,即入[]=3，

—1+tz—3a=4

所以《,,°，所以〈

8+4=3h=-1

【点睛】

本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题，考查学生的运算能力，是一道容易题.

21.(I)答案见解析；(II)不存在,理由见解析；(HD析(〃-2©|%=0,1,2,…

【解析】

(I)可取第一行都为-1,其余的都取1,即满足题意；

(D)用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；

(m)通过分析正确得出/(A)的表达式，以及从A。如何得到小，A2……,以此类推可得到4.

【详解】

(I)答案不唯一，如图所示数表符合要求.

因为晨A)e{1,-1},Cj(A)e{l,—l}(i,/=1,23…,9),

所以/;(A),弓(A),4(A),q(A),C2(A),...»。式A)这18个数中有9个1,9个-1.

令M=/j(A)-^(A)...^(A)-c1(A).c2(A)...c9(A).

一方面，由于这18个数中有9个1,9个-1,从而加=(一1)9=—1①，

另一方面，4(A)"(A)…6(A)表示数表中所有元素之积(记这81个实数之积为机)；

。(A),。2(A)…C9(A)也