【解析】2023年高考真题分类汇编：牛顿定律、万在引力

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2023年高考真题分类汇编：牛顿定律、万在引力

一、选择题

1．（2023·北京）2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是（）

A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为

B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于

C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度

D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离

2．（2023·北京）如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块用细线相连，两物块质量均为1kg，细线能承受的最大拉力为2N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动。则F的最大值为（）

A．1NB．2NC．4ND．5N

3．（2023·山东）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（）

A．B．C．D．

4．（2023·海南）如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是（）

A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速

B．飞船在1轨道周期大于2轨道周期

C．飞船在1轨道速度大于2轨道

D．飞船在1轨道加速度大于2轨道

5．（2023·海南）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有、两点，，在固定两个带电量分别为的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧点（小球可视为点电荷），已知，试求是多少（）

A．B．C．D．

6．（2023·海南）如图所示，工人利用滑轮组将重物缓慢提起，下列说法正确的是（）

A．工人受到的重力和支持力是一对平衡力

B．工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力

C．重物缓慢拉起过程，绳子拉力变小

D．重物缓慢拉起过程，绳子拉力不变

7．（2023·浙江）AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为、质量为的小球用长为5cm的绝缘细线悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点（未标出），则（）

A．MC距离为B．电势能增加了

C．电场强度大小为D．减小R的阻值，MC的距离将变大

8．（2023·浙江）如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，，半径Ob与重力的夹角为37°。已知，，则圆柱体受到的支持力F、F大小为（）

A．，B．，

C．，D．，

9．（2023·浙江）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则（）

A．木卫一轨道半径为

B．木卫二轨道半径为

C．周期T与T0之比为

D．木星质量与地球质量之比为

10．（2023·湖北）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3：2，如图所示。根据以上信息可以得出（）

A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27：8

B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大

C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9：4

D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前

11．（2023·辽宁）安培通过实验研究，发现了电流之间相互作用力的规律。若两段长度分别为△L1和△L2、电流大小分别为I1和I2的平行直导线间距为r时，相互作用力的大小可以表示为。比例系数k的单位是（）

A．kgm/(s2A)B．kgm/(s2A2)

C．kgm2/(s3A)D．kgm2/(s3A3)

12．（2023·江苏）如图所示，“嫦娥五号”探测器静止在月球平坦表面处。已知探测器质量为m，四条腿与竖直方向的夹角均为θ，月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的。每条腿对月球表面压力的大小为（）

A．B．C．D．

13．（2023·全国乙卷）一同学将排球自O点垫起，排球竖直向上运动，随后下落回到O点。设排球在运动过程中所受空气阻力大小和速度大小成正比。则该排球（）

A．上升时间等于下落时间B．被垫起后瞬间的速度最大

C．达到最高点时加速度为零D．下落过程中做匀加速运动

14．（2023·浙江选考）太阳系各行星几平在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：

行星名称地球火星木星土星天王星海王星

轨道半径1.01.55.29.51930

则相邻两次“冲日”时间间隔约为（）

A．火星365天B．火星800天C．天王星365天D．天王星800天

二、多项选择题

15．（2023·湖北）如图所示，原长为l的轻质弹簧，一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连。小球套在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数为0.5。杆上M、N两点与O点的距离均为l，P点到O点的距离为，OP与杆垂直。当小球置于杆上P点时恰好能保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。小球以某一初速度从M点向下运动到N点，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（）

A．弹簧的劲度系数为

B．小球在P点下方处的加速度大小为

C．从M点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大

D．从M点到P点和从P点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同

16．（2023·新课标卷）使甲、乙两条形磁铁隔开一段距离，静止于水平桌面上，甲的N极正对着乙的S极，甲的质量大于乙的质量，两者与桌面之间的动摩擦因数相等。现同时释放甲和乙，在它们相互接近过程中的任一时刻（）

A．甲的速度大小比乙的大B．甲的动量大小比乙的小

C．甲的动量大小与乙的相等D．甲和乙的动量之和不为零

17．（2023·新课标卷）一质量为1kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是（）

A．在x=1m时，拉力的功率为6W

B．在x=4m时，物体的动能为2J

C．从x=0运动到x=2m，物体克服摩擦力做的功为8J

D．从x=0运动到x=4的过程中，物体的动量最大为2kgm/s

18．（2023·湖南）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（）

A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大

B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变

C．小球的初速度

D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道

19．（2023·湖南）如图，光滑水平地面上有一质量为的小车在水平推力的作用下加速运动。车厢内有质量均为的A、B两小球，两球用轻杆相连，A球靠在光滑左壁上，B球处在车厢水平底面上，且与底面的动摩擦因数为，杆与竖直方向的夹角为，杆与车厢始终保持相对静止假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（）

A．若B球受到的摩擦力为零，则

B．若推力向左，且，则的最大值为

C．若推力向左，且，则的最大值为

D．若推力向右，且，则的范围为

20．（2023·全国乙卷）如图，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时（）

A．木板的动能一定等于flB．木板的动能一定小于fl

C．物块的动能一定大于D．物块的动能一定小于

21．（2023·全国甲卷）用水平拉力使质量分别为m甲、m乙的甲、乙两物体在水平桌面上由静止开始沿直线运动，两物体与桌面间的动摩擦因数分别为μ甲和μ乙。甲、乙两物体运动后，所受拉力F与其加速度a的关系图线如图所示。由图可知（）

A．m甲m乙C．μ甲μ乙

三、非选择题

22．（2023·北京）2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度B与电流i的关系式为（k为常量）。金属棒被该磁场力推动。当金属棒由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I变为。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求：

（1）金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；

（2）金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比；

（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。

23．（2023·北京）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。

（1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。

24．（2023·山东）如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A与B以相同速度向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知，，，，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数，C与B间动摩擦因数，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小。

（1）求C下滑的高度H；

（2）与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围；

（3）若，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W；

（4）若，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个物体总动量的变化量的大小。

25．（2023·湖北）如图所示，竖直放置在水平桌面上的左右两汽缸粗细均匀，内壁光滑，横截面积分别为S、，由体积可忽略的细管在底部连通。两汽缸中各有一轻质活塞将一定质量的理想气体封闭，左侧汽缸底部与活塞用轻质细弹簧相连。初始时，两汽缸内封闭气柱的高度均为H，弹簧长度恰好为原长。现往右侧活塞上表面缓慢添加一定质量的沙子，直至右侧活塞下降，左侧活塞上升。已知大气压强为，重力加速度大小为g，汽缸足够长，汽缸内气体温度始终不变，弹簧始终在弹性限度内。求

（1）最终汽缸内气体的压强。

（2）弹簧的劲度系数和添加的沙子质量。

26．（2023·湖北）某同学利用测质量的小型家用电子秤，设计了测量木块和木板间动摩擦因数的实验。

如图（a）所示，木板和木块A放在水平桌面上，电子秤放在水平地面上，木块A和放在电子秤上的重物B通过跨过定滑轮的轻绳相连。调节滑轮，使其与木块A间的轻绳水平，与重物B间的轻绳竖直。在木块A上放置n（）个砝码（电子秤称得每个砝码的质量为），向左拉动木板的同时，记录电子秤的对应示数m。

（1）实验中，拉动木板时（填“必须”或“不必”）保持匀速。

（2）用和分别表示木块A和重物B的质量，则m和所满足的关系式为。

（3）根据测量数据在坐标纸上绘制出图像，如图（b）所示，可得木块A和木板间的动摩擦因数（保留2位有效数字）。

27．（2023·辽宁）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。

（1）求金属板间电势差U。

（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ。

（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O’点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的侧形磁场区域的圆心M。

28．（2023·辽宁）如图，质量m1=1kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k=20N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2=4kg的小物块以水平向右的速度滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ=0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为。取重力加速度g=10m/s2，结果可用根式表示。

（1）求木板刚接触弹簧时速度v，的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1。

（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小。

（3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能△U（用t表示）。

29．（2023·江苏）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。

（1）求电场强度的大小E；

（2）若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1；

（3）若电子入射速度在0m乙C．μ甲μ乙

【答案】B,C

【知识点】牛顿定律与图象

【解析】【解答】根据牛顿第二定律得：，解得：。结合图像知，，，故BC符合题意，AD不符合题意。

故答案为：BC。

【分析】根据牛顿第二定律推导所受拉力与其加速度的关系式，结合图像求解。

三、非选择题

22．（2023·北京）2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度B与电流i的关系式为（k为常量）。金属棒被该磁场力推动。当金属棒由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I变为。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求：

（1）金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；

（2）金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比；

（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。

【答案】（1）由题可知，第一级区域的磁感应强度：，由安培力公式：

（2）同理可得第二级区域磁感应强度：，由安培力公式：由牛顿第二定律：可得：

（3）对金属棒根据动能定理：，解得：

【知识点】牛顿第二定律；动能定理的综合应用；安培力的计算

【解析】【分析】(1)根据题意确定磁感应强度，由安培力公式求解；

（2）同理解得二区域安培力，根据牛顿第二定律求解；

（3）对金属棒应用动能定理求解。

23．（2023·北京）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。

（1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。

【答案】（1）根据题意，r＞R为星系中心球体外恒星绕星系中球体匀速圆周运动，由万有引力定律：，可得：

（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，类比质量分布均匀的星系中心球体球壳对壳内物体万有引力为零。

则在区域内球体总质量为，球体体积为：，类比可得：，

同理区域的恒星匀速圆周运动，由万有引力定律：，

联立解得：

（3）根据在范围内的恒星速度v大小几乎不变，

对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有：，

对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有：，

联立解得：

【知识点】万有引力定律的应用

【解析】【分析】(1)根据题意，星系中心球体外恒星绕星系中球体匀速圆周运动，由万有引力定律求解；

（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，类比质量分布均匀的星系中心球体球壳对壳内物体万有引力为零。先根据质量分布均匀，结合球体体积公式求得r球体质量，再由万有引力定律求解；

（3）根据在范围内的恒星速度v大小几乎不变，分别对处于R边缘恒星和处于nR边缘恒星应用万有引力定律，联立求解。

24．（2023·山东）如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A与B以相同速度向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知，，，，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数，C与B间动摩擦因数，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小。

（1）求C下滑的高度H；

（2）与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围；

（3）若，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W；

（4）若，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个物体总动量的变化量的大小。

【答案】（1）滑块C沿弧形轨道下滑过程，由机械能守恒定律可得：，

代入数据解得：H=0.8m。

（2）滑块C刚滑上B时，对C受力分析，由牛顿第二定律得C的加速度大小为：

对B受力分析，由牛顿第二定律得：

解得：，

设经过时间，B和C共速，有：

解得：

共同速度

B的位移为

B和C共速后，一起做匀减速直线运动，对BC整体，由牛顿第二定律得：

解得：

设再经过时间，A与B发生碰撞，则有：

其中A的位移为：

B在时间内的位移为：

解得：或（舍去），，

为保证与P碰撞前，B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，则

解得：

（3）因为，所以B与P碰撞时，滑块C与木板B没有共速，B做匀加速直线运动，C做匀减速直线运动，对木板B，由位移—时间公式得：

代入数据解得：或-2.4s（舍去）

对滑块C，由位移—时间公式得：

代入数据解得：

摩擦力对C做的功

代入数据解得：W=-6J

（4）木板B与P碰撞时，B的速度

C的速度

A的位移为

此时A、B间的距离为

B与P发生弹性碰撞，碰撞后以原速率反弹，反弹后对B受力分析，由牛顿第二定律得：

代入数据解得：

物块A与木板B相向运动，设经时间恰好相遇，由位移关系得：

其中A的位移为：

B的位移为：

代入数据联立解得：或（舍去）

此时B的速度，方向向左；

C的速度，方向向右；

以水平向右为正方向，A、B发生弹性碰撞，由动量守恒定律得：

由能量守恒定律得：

代入数据联立解得：，

此时C的速度

物块A向左的速度大于木板B和滑块C向右的速度，A、B不会再发生碰撞，物块A向左做匀速直线运动，由于摩擦力作用，B和C最后静止，则整个过程动量的变化量为

解得：

【知识点】动量定理；牛顿第二定律；动能定理的综合应用；机械能守恒定律；碰撞模型

【解析】【分析】（1）物块C下滑过程，根据机械能守恒定律求解下滑高度；

（2）滑块C滑上B后，C做匀减速直线运动，B做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式求出B的位移，为s的最小值，若AB恰好发生碰撞，求出发生碰撞时B的位移，为s的最大值；

（3）B与P碰撞时，滑块C与木板B没有共速，根据运动学公式求解时间和C的位移，根据做功公式求解摩擦力对C做功；

（4）由牛顿第二定律和运动学公式求出B与P发生碰撞时的速度和位移，以及C的速度，B与P发生弹性碰撞后，B以原速率反弹，再次根据牛顿第二定律和运动学公式求出A、B碰前的速度，A与B的碰撞为弹性碰撞，根据动量守恒定律和能量守恒定律求解碰撞后A和B的速度，进而判断A、B、C的运动情况，当三个物体都达到平衡状态时，A做匀速直线运动，B和C静止，根据动量公式求出动量的变化量。

25．（2023·湖北）如图所示，竖直放置在水平桌面上的左右两汽缸粗细均匀，内壁光滑，横截面积分别为S、，由体积可忽略的细管在底部连通。两汽缸中各有一轻质活塞将一定质量的理想气体封闭，左侧汽缸底部与活塞用轻质细弹簧相连。初始时，两汽缸内封闭气柱的高度均为H，弹簧长度恰好为原长。现往右侧活塞上表面缓慢添加一定质量的沙子，直至右侧活塞下降，左侧活塞上升。已知大气压强为，重力加速度大小为g，汽缸足够长，汽缸内气体温度始终不变，弹簧始终在弹性限度内。求

（1）最终汽缸内气体的压强。

（2）弹簧的劲度系数和添加的沙子质量。

【答案】（1）对左右气缸内所封的气体，初状态：，，末状态：，，根据玻意耳定律得：，解得：；

答：最终汽缸内气体的压强为。

（2）对右边活塞受力分析，由平衡条件得：，解得：；对左边活塞受力分析，由平衡条件得：，解得：。

答：弹簧的劲度系数；添加的沙子质量为。

【知识点】共点力的平衡；气体的等温变化及玻意耳定律

【解析】【分析】（1）根据玻意耳定律求最终汽缸内气体的压强；

（2）分别对右、左活塞受力分析，由平衡条件列方程求解。

26．（2023·湖北）某同学利用测质量的小型家用电子秤，设计了测量木块和木板间动摩擦因数的实验。

如图（a）所示，木板和木块A放在水平桌面上，电子秤放在水平地面上，木块A和放在电子秤上的重物B通过跨过定滑轮的轻绳相连。调节滑轮，使其与木块A间的轻绳水平，与重物B间的轻绳竖直。在木块A上放置n（）个砝码（电子秤称得每个砝码的质量为），向左拉动木板的同时，记录电子秤的对应示数m。

（1）实验中，拉动木板时（填“必须”或“不必”）保持匀速。

（2）用和分别表示木块A和重物B的质量，则m和所满足的关系式为。

（3）根据测量数据在坐标纸上绘制出图像，如图（b）所示，可得木块A和木板间的动摩擦因数（保留2位有效数字）。

【答案】（1）不必

（2）

（3）0.40

【知识点】滑动摩擦力与动摩擦因数

【解析】【解答】（1）木块与木板间的滑动摩擦力与两者之间的相对速度无关，所以拉动木板时不必保持匀速；

（2）对B受力分析，绳子上的拉力为：，对A和砝码受力分析，在水平方向有：，联立解得：；

（3）根据，结合图像得：，解得：。

故答案为：（1）不必；（2）；（3）。

【分析】（1）木块与木板间的滑动摩擦力与两者之间的相对速度无关；

（2）分别对B、A和砝码受力分析，由平衡条件列方程求解；

（3）图像的斜率为。

27．（2023·辽宁）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。

（1）求金属板间电势差U。

（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ。

（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O’点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的侧形磁场区域的圆心M。

【答案】（1）设板间距为d，则板长为，带电粒子在板间做类平抛运动，

两板之间的电场强度为：，

由牛顿第二定律：

可得：

设粒子在电场中的运动时间为t，则由平抛运动规律可得，

水平方向：

竖直方向：

联立解得：

（2）设粒子射出电场时与水平方向的夹角为a，

则有：，

故：，

粒子射出电场的速度为：，

粒子沿直线匀速运动进入磁场，在磁场中，

由牛顿第二定律：，

可得：，

又因为圆形磁场的半径为

可得：，

设粒子入磁场和出磁场的速度方向的夹角为θ，由圆形磁场粒子偏转规律，径向射入径向射出，磁偏角等于圆心角，

由几何关系可得：

解得：

（3）由（2）中粒子在磁场中的运动轨迹可知，当磁场以沿半径方向射入时粒子圆周运动的弧对应的弦长为偏转磁场的直径时，粒子在磁场中的运动时间最长，

则相对应的粒子的运动轨迹和弦以及圆心M的位置如图所示：

【知识点】牛顿第二定律；带电粒子在电场中的偏转；带电粒子在匀强磁场中的运动

【解析】【分析】（1）根据已知条件计算电场强度，应用牛顿第二定律计算粒子的加速度，根据类平抛运动计算水平位移和偏转位移，再由二者之间的关系求得偏转电压U；

（2）再计算类平抛运动粒子出电场时的速度大小和方向，根据带电粒子在圆形磁场中的规律，计算粒子的圆周云的半径与偏转磁场半径的关系，由圆形磁场径向射入径向射出，圆心角等于偏转角，由几何关系求得偏转磁场中的偏转角；

（3）由粒子在磁场中的运动轨迹可知，当磁场以沿半径方向射入时粒子圆周运动的弧对应的弦长为偏转磁场的直径时，粒子在磁场中的运动时间最长，定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后磁场区域的圆心M。

28．（2023·辽宁）如图，质量m1=1kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k=20N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2=4kg的小物块以水平向右的速度滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ=0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为。取重力加速度g=10m/s2，结果可用根式表示。

（1）求木板刚接触弹簧时速度v，的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1。

（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小。

（3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能△U（用t表示）。

【答案】（1）根据题意，两者共速时木板恰好与弹簧接触，由于地面光滑，则物块与木板组成的系统动量守恒：，代入数据可得：，

对木板由牛顿第二定律可得：由速度位移公式代入数据可得：

（2）木板与弹簧接触以后，对物块和木板组成系统：，对物块有：'

当时，物块与木板将相对滑动，联立解得弹簧的压缩量为：

对物块与木板组成系统由动能定理可得：，

代入数据可得：

（3）木板从速度为时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，由于木板的加速大于物块的加速度，则当二者加速度相同时，即弹簧形变量为时，说明此时木板的速度为，共用时间为，则对物块动量定理：解得：

对物块与木板组成的系统：

联立解得：

【知识点】牛顿运动定律的应用—板块模型；动量与能量的综合应用一板块模型

【解析】【分析】(1)根据系统动量守恒定律解出木板刚接触弹簧时速度大小，再对木板由牛顿第二定律计算加速度并由速度位移公式解得木板位移大小；

（2）木板与弹簧接触以后，由牛顿第二定律求解物块和木板组成系统的加速度和物块加速度，当二者相等时，物块与木板将相对滑动，联立解得弹簧的压缩量，对物块与木板组成系统由动能定理求解木板速度；

（3）木板从速度为时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，由于木板的加速大于物块的加速度，则当二者加速度相同时，即弹簧形变量为时，说明此时木板的速度为，共用时间为，则对物块动量定理求解物块速度，再对物块与木板组成的系统由功能关系求解系统因摩擦转化的内能△U。

29．（2023·江苏）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。

（1）求电场强度的大小E；

（2）若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1；

（3）若电子入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N0的百分比。

【答案】（1）当入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动，说明此时电子受电场力与洛伦兹力平衡，

即eE=ev0B，

解得E=v0B。

（2）当电子入射速度为时，电子所受洛伦兹力F洛=，电子所受电场力F电=eE=ev0B。所以F洛F电，

故电子会向上偏。而洛伦兹力不做功，当电子速度达到时，由动能定理有，

WF电=Ek2-Ek1，WF电=eEy1，Ek1=m（）2，Ek2=m（）2。

联立解得，y1=。

（3）设电子以速度