表面式永磁无刷电动机气隙磁场的解析解

表面式永磁无刷电动机气隙磁场的解析解

1基于有限元法的电机气隙二维磁场的仿真表面磁钢无刷机结构简单，体积小，重量轻，效率高，深受应用。该类电机的永磁体直接放置在转子表面,永磁体的低磁导率使电机的等效气隙显著增大,如果仍然用简化的一维磁场加以考虑,显然会增大分析误差。用有限元法分析可以保证计算精度,但比较花时间,尤其在设计初步阶段,电机的尺寸参数需多次调整时,显得不太方便。本文用解析法对电机气隙区域的二维磁场进行分析。近年来,国内外学者对此进行了研究,并取得了相应的成果。其中主要的难点是如何考虑定子开槽对气隙磁场的影响问题,以往是在许-克变换的基础上,都要对气隙相对磁导的分布作一些简化假设。本文则直接根据许-克变换的结果获得气隙相对磁导,从而使计算精度更高,更符合实际。在获得定量的表达式之后,对一台200W永磁无刷电机的气隙主磁场进行了计算,与有限元法比较,计算结果相当一致。在此基础上,本文应用麦克斯韦应力张量法计算了电机的磁阻转矩。2磁化强度法生成磁密采用极坐标系对其进行分析。永磁无刷电动机计算使用的物理模型如图1所示。图中:Rs、Rm、Rr分别为定子内径、磁钢外径和转子外径;g为气隙长度,θ为转子位置角,M是永磁体的磁化强度。分析中采用的假设条件:(1)定、转子铁心的导磁率为无限大;(2)定子表面光滑无齿槽;(3)永磁体均匀径向充磁,工作的第二象限具有线性去磁特性,且Μ=Brμ0‚Br是剩磁密度,μ0为空气磁导率。径向磁化强度分布如图2所示。使用标量磁位φ求解,磁场强度可表示为:Η=-∇φ(1)在气隙(区域Ⅰ)中有:BⅠ=μ0ΗⅠ(2)在永磁体(区域II)中有:BⅡ=μmΗⅡ+μ0Μ(3)进而得出标量磁位方程,在气隙中:∇2φⅠ=0(4)在永磁体中:∇2φⅡ=divΜμr(5)在极坐标下,对于径向均匀充磁,磁化强度M可表示为Μ=Μrr+Μθθ(6)式(6)中:Μr=∞Σn=1,3,5...Μncos(npθ)‚Μθ=0。p为极对数,θ是所在点与磁极中心线之间的夹角,Μn=2(Br/μ0)αpsin(nπαp/2)(nπαp)/2,αp是极弧系数。由divΜ=Μrr+∂Μr∂r+1r∂Μθ∂θ=Μrr得标量磁位在气隙和永磁体中的数学模型。在气隙中∂2φⅠ∂r2+1r∂φⅠ∂r+1r2∂2φⅠ∂θ2=0(7)在永磁体中∂2φⅡ∂r2+1r∂φⅡ∂r+1r2∂2φⅡ∂θ2=Μrμrr(8)H中对应的两个分量Ηr=-∂φ∂r‚Ηθ=-1r∂φ∂θ。式(7)和式(8)满足的边界条件如下:(1)φⅠ(r‚θ)=φⅠ(r‚-θ)φⅡ(r‚θ)=φⅡ(r‚-θ)(9)ΗθⅠ(r,θ)|r=Rs=0ΗθⅡ(r,θ)|r=Rr=0(2)BrⅠ(r,θ)|r=Rm=BrⅡ(r,-θ)|r=RmΗθⅠ(r,θ)|r=Rm=ΗθⅡ(r,θ)|r=Rm[ΚΗ-*2D](10)根据数学模型及其边界条件,得到标量磁位表达式,进而得到气隙和永磁体中的磁密表达式。磁密分量在气隙中的完整表达式:BrⅠ(r,θ)=∞Σn=1,3,5⋯,μ0Μnμrnp(np)2-1R-(np-1)m{(np-1)R2npm+2Rnp+1rRnp-1m-(np+1)R2nprμr+1μr[R2nps-R2npr]-μr-1μr[R2npm-R2nps(Rr/Rm)2np]}⋅[rnp-1+R2npsr-(np+1)]cos(npθ)(11)BθⅠ(r,θ)=∞Σn=1,3,5⋯,(-μ0Μn)μrnp(np)2-1R-(np-1)m{(np-1)R2npm+2Rnp+1rRnp-1m-(np+1)R2nprμr+1μr[R2nps-R2npr]-μr-1μr[R2npm-R2nps(Rr/Rm)2np]}⋅[rnp-1-R2npsr-(np+1)]sin(npθ)(12)同理可以得到永磁体中的磁场密度表达式,这里不再赘述。3主磁通密度b永磁电机的磁阻转矩是由于电机转动时,定、转子之间的气隙磁导发生变化引起的。考虑齿槽结构对电机气隙磁场的影响,是分析和计算磁阻转矩的关键。图3是转子铁心表面光滑、定子铁心单个槽时的物理模型,分析中作如下假设:(1)槽为无限深;(2)铁心磁导率为无穷大,定、转子铁心表面均为等标量磁位面。为了计算相对磁导函数,在许-克变换时,取转子侧磁位为0,定子侧磁位φ0=1;(3)永磁体以相同磁导率的材料填充。利用许-克变换可求得永磁体、气隙和槽内区域任意点的磁通密度B。因为定、转子之间的磁位差为1。所以单个槽时的相对磁导分布函数˜λ(r,α)=λ(r,α)Λ0=|B|Λ0(13)式中:Λ0=μ0g´,g´=g+hmμr。由许-克变换得到磁密B的表达式为B=μ0|dtdz|=μ0|dtdwdwdz|=μ02φ0b0|k√1-k2w2|(14)式中:k=1√1+(2g´b0)2。由此求出气隙相对磁导函数˜λ(r,α)=BΛ0,进而求出开槽后的气隙主磁通密度。本文以一台200W,6极18槽的直流无刷电动机作为计算对象,图4是单个槽时对应于标量磁位在0.1φ0和0.9φ0之间的磁密分布图。图中可见,随着磁位的升高,也就是越接近定子的表面,开槽效应越显著。图5是一对极下永磁体表面处的相对磁导波形。图6是对应处的径向气隙磁通密度波形(转子磁极几何中性线的位置与齿中心线相重合时)。图中同时画出了有限元法计算的磁密波形,两者的结果相当一致。4电机磁阻转动的见表1麦克斯韦应力张量法是由力学理论推导出的转矩计算方法。在二维电磁场中,作用于电机定子或转子上的切向电磁力密度ft=1μ0BnBt,电磁转矩由切向力产生,如果沿半径r的圆周积分,则电磁转矩的表达式为Τem=Lefμ0∮r2BrBθdθ(17)式中:r是位于气隙中的圆周半径;Br、Bθ分别为半径r处气隙磁密的径向和切向分量。Lef是电机等效径向长度。如果以一个极距的范围为求解域,则Τem=2pLefμ0θ[JX*2]2[JX-*2]∫θ1r2BrBθdθ(18)式中:p为电机极对数;θ1、θ2为求解区域的起、止角(机械弧度)。根据这一原理,针对本文从槽中心线与N极中心线重合处开始,转子旋转一对极,逐点计算出对应的磁阻转矩。结果如图7所示。5电机电磁解析计算方法由于一般永磁材料的磁导率接近气隙磁导率,所以表面磁钢永磁电机等效气隙很大,整个系统