球的体积和表面积(附答案)

..球的体积和外表积[学习目标]1.记准球的外表积和体积公式，会计算球的外表积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.知识点一球的体积公式与外表积公式1.球的体积公式V＝eq\f(4,3)πR3(其中R为球的半径).2.球的外表积公式S＝4πR2.思考球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？答球没有底面，球的外表不能展开成平面.知识点二球体的截面的特点1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.题型一球的外表积和体积例1(1)球的外表积为64π，求它的体积；(2)球的体积为eq\f(500,3)π，求它的外表积.解(1)设球的半径为R，那么4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·43＝eq\f(256,3)π.(2)设球的半径为R，那么eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π，解得R＝5，所以球的外表积S＝4πR2＝4π×52＝100π.跟踪训练1一个球的外表积是16π，那么它的体积是()A.64πB.eq\f(64π,3)C.32πD.eq\f(32π,3)答案D解析设球的半径为R，那么由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.题型二球的截面问题例2平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为eq\r(2)，那么此球的体积为()A.eq\r(6)πB.4eq\r(3)πC.4eq\r(6)πD.6eq\r(3)π答案B解析如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，那么OO′＝eq\r(2)，O′M＝1.∴OM＝eq\r((\r(2))2＋1)＝eq\r(3).即球的半径为eq\r(3).∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.跟踪训练2长方体共顶点的三个侧面面积分别为eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(15)，那么它的外接球外表积为________.答案9π解析如图，是过长方体的一条体对角线AB的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，那么由，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝\r(3)，,yz＝\r(5)，,zx＝\r(15)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1，,z＝\r(5).))所以球的半径R＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(3,2)，所以S球＝4πR2＝9π.题型三球的组合体与三视图例3某个几何体的三视图如下图，求该几何体的外表积和体积.解由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的外表积为S＝eq\f(1,2)×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.该几何体的体积为V＝23＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝8＋eq\f(2π,3).跟踪训练3有三个球，第一个球切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的外表积之比.解设正方体的棱长为a.①正方体的切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)所示，那么有2r1＝a，即r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.②球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)所示，那么2r2＝eq\r(2)a，即r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示，那么有2r3＝eq\r(3)a，即r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.轴截面的应用例4有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.分析分别表示出取出铁球前后水的体积→由水的体积不变建立等式→求出所求量.解如图，⊙O是球的最大截面，它切于△ABC，球的半径为r.设将球取出后，水平面在MN处，MN与CD交于点E.那么DO＝r，AD＝eq\r(3)r，AB＝AC＝BC＝2eq\r(3)r，∴CD＝3r.由图形知V圆锥CE∶V圆锥CD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)π·ME2·CE))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)π·AD2·CD))＝CE3∶CD3.又∵V圆锥CD＝eq\f(π,3)(eq\r(3)r)2·3r＝3πr3，V圆锥CE＝V圆锥CD－V球O＝3πr3－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3，∴eq\f(5πr3,3)∶3πr3＝CE3∶(3r)3，∴CE＝eq\r(3,15)r.∴球沉着器中取出后，水的深度为eq\r(3,15)r.1.直径为6的球的外表积和体积分别是()A.36π，144π B.36π，36πC.144π，36π D.144π，144π2.假设球的体积与其外表积数值相等，那么球的半径等于()A.eq\f(1,2)B.1C.2D.33.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.4.假设球的半径由R增加为2R，那么这个球的体积变为原来的________倍，外表积变为原来的________倍.5.某几何体的三视图如下图，那么其外表积为________.一、选择题1.设正方体的外表积为24，那么其外接球的体积是()A.eq\f(4,3)πB.eq\f(8π,3)C.4eq\r(3)πD.32eq\r(3)π2.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，那么正方体的外表积为()A.8B.8eq\r(2)C.8eq\r(3)D.4eq\r(2)3.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的外表积之比为()A.1∶9B.1∶27C.1∶3D.1∶14.设正方体的外表积为24cm2，一个球切于该正方体，那么这个球的体积是()A.eq\r(6)πcm3B.eq\f(32,3)πcm3C.eq\f(8,3)πcm3D.eq\f(4,3)πcm35.假设与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，那么球的外表积为()A.4π(r＋R)2 B.4πr2R2C.4πRr D.π(R＋r)26.底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，那么该球的体积为()A.eq\f(32π,3)B.4πC.2πD.eq\f(4,3)π7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，那么球的体积为()A.eq\f(500π,3)cm3 B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3 D.eq\f(2048π,3)cm3二、填空题8.一个几何体的三视图(单位：m)如下图，那么该几何体的体积为________m3.9.一个正方体的所有顶点在一个球面上.假设球的体积为eq\f(9π,2)，那么正方体的棱长为_____.10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，假设该棱锥的高为4，底面边长为2，那么该球的外表积是________.11.圆柱形容器盛有高度为8cm的水，假设放入三个一样的球(球的半径与圆柱的底面半径一样)后，水恰好淹没最上面的球(如下图)，那么球的半径是______cm.三、解答题12.如下图，半径为R的半圆的阴影局部以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的外表积.(其中∠BAC＝30°)13.一个高为16的圆锥接于一个体积为972π的球，在圆锥又有一个切球，求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的切球的体积.当堂检测答案1.答案B解析球的半径为3，外表积S＝4π·32＝36π，体积V＝eq\f(4,3)π·33＝36π.2.答案D解析设球的半径为R，那么4πR2＝eq\f(4,3)πR3，所以R＝3.3.答案eq\r(3,2)解析设大球的半径为R，那么有eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，R3＝2，∴R＝eq\r(3,2).4.答案84解析球的半径为R时，球的体积为V1＝eq\f(4,3)πR3，外表积为S1＝4πR2，半径增加为2R后，球的体积为V2＝eq\f(4,3)π(2R)3＝eq\f(32,3)πR3，外表积为S2＝4π(2R)2＝16πR2.所以eq\f(V2,V1)＝eq\f(\f(32,3)πR3,\f(4,3)πR3)＝8，eq\f(S2,S1)＝eq\f(16πR2,4πR2)＝4，即体积变为原来的8倍，外表积变为原来的4倍.5.答案3π解析由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其外表积为半个球面面积与截面面积的和，即eq\f(1,2)×4π＋π＝3π.课时精练一、选择题1.答案C解析由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.设正方体外接球的半径为R，那么eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.2.答案A解析∵球的半径为1，且正方体接于球，∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，那么有3a2＝4，即a2＝eq\f(4,3).∴正方体的外表积为6a2＝6×eq\f(4,3)＝8.3.答案A解析由外表积公式知，两球的外表积之比为Req\o\al(2,1)∶Req\o\al(2,2)＝1∶9.4.答案D解析由正方体的外表积为24cm2，得正方体的棱长为2cm，故这个球的直径为2cm，故这个球的体积为eq\f(4,3)πcm3.5.答案C解析方法一如图，设球的半径为r1，那么在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr).故球的外表积为S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.方法二如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，那么在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高.由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即req\o\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq\r(Rr)，故球的外表积为S球＝4πRr.6.答案D解析∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)，∴正四棱柱的体对角线的长为eq\r(1＋1＋(\r(2))2)＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，∴球的半径R＝1.故球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π.7.答案A解析利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，那么MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm).设球的半径为Rcm，那么R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)(cm3).二、填空题8.答案9π＋18解析将三视图复原为实物图后求解.由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为eq\f(3,2)；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V＝eq\f(4,3)π×eq\f(27,8)×2＋1×3×6＝9π＋18.9.答案eq\r(3)解析先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为a，球半径为R，那么eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π，∴R＝eq\f(3,2)，∴eq\r(3)a＝3，∴a＝eq\r(3).10.答案eq\f(81,4)π解析由条件可知，球心在正四棱锥的高所在的直线上.设球的半径为R，球心为O，正四棱锥底面中心为E，那么OE＝|4－R|，所以(4－R)2＋(eq\r(2))2＝R2，解得R＝eq\f(9,4).所以球的外表积S＝4πR2＝eq\f(81π,4).11.答案4解析设球的半径为r，那么圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×eq\f(4,3)πr3＝4πr3，由题意得6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4(cm).三、解答题12.解如下图，过C作CO1⊥AB于O1.在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq