2022-2023学年广西壮族自治区河池八校同盟体高一年级下册学期5月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年广西壮族自治区河池八校同盟体高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】因为集合，，根据集合交集的概念及运算，可得.故选：B．2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.因为，所以在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B．3．某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多63，则参加体检的人数是（

）A．105 B．110 C．120 D．144【答案】A【分析】根据分层抽样的性质列方程求解即可【详解】设参加体检的人数是，则，解得，所以参加体检的人数是105人．故选：A．4．设是定义域为的奇函数，且，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用奇函数的性质与题设条件推得的周期为2，从而利用的周期性即可得解.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，则，故的周期为2，所以，故选：C．5．已知，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据幂函数与对数函数的单调性可得答案.【详解】根据幂函数在上为增函数，可得，即，又，所以.故选：B6．已知一组正数，，，的方差为，则数据，，，的平均数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据方差的计算公式可得原数据的平均数，再根据平均数的计算公式得到新数据的平均数.【详解】设正数的平均数为，则方差为，所以，解得，所以数据，，，的平均数为.故选：D.7．已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的一个对称中心可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦函数的单调可得且，从而可求出，再根据正弦函数的对称性即可得解.【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以且，所以，，，又，所以，，所以，故，由，得，，不是函数的对称中心，是函数的一个对称中心．故选：C．8．用与球心距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为A． B． C． D．【答案】D【详解】截面半径，所以，所以体积，故选D．二、多选题9．苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣．《蝶恋花春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼．”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过程中，下列说法中正确的是（

）

A．秋千绳与墙面始终垂直 B．秋千绳与道路始终垂直C．秋千板与墙面始终垂直 D．秋千板与道路始终垂直【答案】CD【分析】根据图中秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面，线线垂直的判定定理、性质定理等即可判断．【详解】如下图，为墙面，为道路，为秋千绳，为秋千板，

由题意，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化，则秋千绳与道路的位置关系在发生变化，而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．故选：CD.10．已知向量和实数，下列说法正确的是（

）A．若，则或B．若且，则当时，一定有与共线C．若D．若且，则【答案】BC【分析】根据平面向量的共线定理、向量数乘和向量数量积的定义逐项分析判断.【详解】对于A选项：若，则或或，A错误；对于B选项：根据共线定理，若且，则当且仅当有唯一实数，使得时，一定有与共线，B正确；对于C选项：当与均不是零向量时，由，可得，即，故与的夹角为或，可得；当与至少有一个是零向量时，显然；综上所述：，C正确；对于D选项：∵且，则，∴，但不能确定，D错误．故选：BC．11．如图，已知在正方体中，M和N分别为和CB的中点，则（

）

A．直线AC与为异面直线B．过点，M，N的截面为平行四边形C．直线垂直平面D．平面平行于平面【答案】ABD【分析】根据正方体的结构特征，利用异面直线的判定判断A；利用平面基本事实判断B；利用线面垂直的定义判断C；利用面面平行的判定推理判断D作答.【详解】对于A，平面，平面，，平面，因此直线AC与为异面直线，A正确；

对于B，连接，显然，有平面，N为CB的中点，则平面，又平面，有平面，而M为的中点，平面，点不共线，于是点确定的平面即为平面，又，从而四边形为平行四边形，所以过点，M，N的截面为平行四边形，B正确；对于C，连接，在中，，即与不垂直，而，因此与不垂直，又面，所以直线不垂直于平面，C错误；对于D，由选项B知，，平面，平面，平面，正方体的对角面是矩形，即有，同理平面，而，平面，所以平面平行于平面，D正确．故选：ABD12．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据题意得到，，求得，得到，可判定A错误；由，分和，两种情况得到，判定B正确；利用基本不等式，可判定C错误，由，结合二次函数的性质，可判定D正确.【详解】由，可得，，由于，所以，所以，因此且，所以A错误；由，当时，，由于，当且仅当时，等号成立，所以；当时，，所以，所以B正确；由，当且仅当，即，时取等号，故，所以C错误，由，当且仅当取等号，所以D正确.故选：BD．三、填空题13．已知为虚数单位，则．【答案】【分析】根据复数的乘法和除法运算计算即可.【详解】．故答案为：．14．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，，则．【答案】【分析】先利用平方关系求出，再利用正弦定理求出，再根据三角形的内角和定理结合两角和的正弦公式即可得解.【详解】∵，则C为锐角，∴，由正弦定理，可得，又∵，则，即B为锐角，故，∴．故答案为：．15．请写出一个同时满足以下三个条件的函数：．（1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的最小值是1．【答案】（答案不唯一）【分析】根据给定函数的性质写出满足条件的函数解析式即可.【详解】由为偶函数，在上单调递增，最小值为，满足要求．故答案为：（答案不唯一）．16．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为4π，9π，该圆台的体积为38π，则该圆台的高为．【答案】6【分析】利用圆台的体积公式结合已知条件列方程直接求解即可.【详解】圆台的体积，得．所以该圆台的高为6．故答案为：6．四、解答题17．镇海中学为了学生的身心建康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数=）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中x的值和中位数（保留2位小数）；(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60，70）的学生人数；(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.【答案】(1)，中位数为81.67；(2)应选取评分在的学生人数为10人；(3)“美食”工作需要进一步整改，理由见解析.【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可求得，在频率分布直方图中频率对应的数为中位数；（2）由低于80分的学生中三组学生的人数比例进行计算；（3）由频率分布直方图求出平均值后与认可系数比较可得．【详解】（1）由图可知：，中位数：；（2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为，则应选取评分在的学生人数为：（人）（3）由图可知，认可程度平均分为：，“美食"工作需要进一步整改.18．如图所示，在多面体中，四边形，，ABCD均为边长为2的正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于点F．

(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面平行的性质定理即可证明；（2）由等体积法求解即可.【详解】（1）∵，，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴．（2）∵E为中点，∴点E到平面的距离d为点到平面距离的一半，又点到平面距离等于点A到平面的距离，∴点E到平面的距离，又，∴．19．在钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，求的周长的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及和差角正弦公式进行边角互化后变形整理即可求解；（2）理由正弦定理分别表示出，然后运用三角恒等变换公式整理化简后，利用正弦函数的图象及性质求解即可.【详解】（1）由正弦定理，得，因为，所以，所以，即，所以，因为，所以，所以，又，所以.（2）∵，∴，，∴的周长为．∵为钝角三角形，设C为钝角．则，又，∴．∴，∴．∴．∴的周长的取值范围是.20．已知函数，．(1)在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：x完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；

(2)求函数的单调递减区间；(3)求函数在区间上的最值．【答案】(1)表格见解析，图象见解析(2)，(3)最大值为，最小值为【分析】（1）根据正弦函数“五点法”作图的取点方式，分别求出对应的x和，进而填表，结合“五点法”画出图象即可；（2）根据正弦函数的单调区间计算即可；（3）根据x的范围求出的范围，即可利用正弦函数的单调性求出函数的值域.【详解】（1）0x0020－2函数图象如图所示，

（2）令，，得，，所以函数的单调递增区间为，（3）因为，所以，所以．当，即时，；当，即时，．∴的最大值为，最小值为．21．如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面ABC是以圆锥的底面圆的直径AB为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上．(1)求直线PC和平面ABC所成角的正切值大小；(2)求该几何体的表面积．【答案】(1)2(2)【分析】（1）连接CO，则可得直线PC和平面ABC所成角等于，然后在直角中求解即可；（2）由题意，所求表面积等于圆锥表面积的一半加上、和的面积，然后根据已知条件分别求出其面积即可.【详解】（1）连接CO，由题意，平面ABC，故直线PC在平面ABC上的射影为直线CO，因此直线PC和平面ABC所成角等于．因为是以AB为直径的等腰直角三角形，所以．

因此，由知．即直线PC和平面ABC所成角的正切值大小为2．（2）由题意，所求表面积等于圆锥表面积的一半加上、和的面积．因为圆锥的高，圆锥的底面半径，所以圆锥的母线长为，表面积为．在和中，，，所以，得．同理．因此．而，因此，所求表面积为．22．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.(1)证明：平面平面ACE；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）法一：由已知可推导出，，利用线面垂直的判定定理可证平面PBD，由此能证明平面平面ACE；法二：以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面ACE.（2）法一：由题意可推出CE在平面PBD内的射影为OE，是二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值；法二：求出平面PAC的一个法向量和平面ACE的一个法向量，利用向量法能求出二面角P﹣AC﹣E的余弦值.【详解】（1）解法一：证明：平面ABCD，，又底面ABCD是菱形，，而，平面，平面PBD，而平面ACE，所以平面平面ACE.解法二：证明：已知底面ABCD