理科数学全国通用版一轮复习课时跟踪检测第3章第1节导数的概念及运算

第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算A级·基础过关|固根基|eq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1解析：选Ceq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，故选C．2．(2019届福建福州八县联考)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lneq\f(1,x)，则f(1)＝()A．－e B．2C．－2 D．e解析：选B由已知得f′(x)＝2f′(1)－eq\f(1,x)，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.3．(2019届湖南娄底二模)已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－eq\f(x,x－2)，则函数图象在x＝－1处的切线方程是()A．2x－y＋1＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y－1＝0 D．x＋2y－2＝0解析：选A∵当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－eq\f(x,x＋2).又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x<0)，∴f′(x)＝eq\f(2,（x＋2）2)，∴f′(－1)＝2，f(－1)＝－1，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－yA.4．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A．1 B．eq\f(4,3)C．eq\r(3) D．2解析：选B由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x2＋2x＋1，,y＝1，))联立得x1＝0，x2＝2.所以S＝eq\i\in(0,2,)(－x2＋2x＋1－1)dx＝eq\i\in(0,2,)(－x2＋2x)dx＝－eq\f(x3,3)＋x2eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,0))＝－eq\f(8,3)＋4＝eq\f(4,3).故选B．5．(2019届辽宁瓦房店四校联考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，从刹车开始，其速度与时间的关系式为v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)，从开始刹车到停止，汽车行驶的路程(单位：m)是()A．1＋25ln5 B．8＋25lneq\f(11,3)C．4＋25ln5 D．4＋50ln2解析：选C由7－3t＋eq\f(25,1＋t)＝0，得t＝4或t＝－eq\f(8,3)(不符合题意，舍去)，故汽车经过4s后停止，在此期间汽车行驶的路程为s＝eq\i\in(0,4,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f(25,1＋t)))dt＝7t－eq\f(3,2)t2＋25ln(1＋t)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(4,0))＝4＋25ln5.故选C．6．(2019届山东济宁期末)函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，若g(x)＝xf(x)，则g′(1)＝()A．3 B．2C．1 D．eq\f(3,2)解析：选D由题意得，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(1)＝f(1)＋f′(1)．∵函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，∴f′(1)＝eq\f(1,2)，f(1)＝1，∴g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).故选D．7．(2019届广东珠海调研)设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为g(t)，则函数y＝g(t)的部分图象可以是()解析：选A由f(x)＝xsinx＋cosx，得f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，所以g(t)＝tcost．因为函数g(t)是奇函数，所以排除选项B、D；又当t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，g(t)>0，排除选项C．故选A.8．(2019届湖北黄冈模拟)已知直线y＝eq\f(1,m)是曲线y＝xex的一条切线，则实数m的值为()A．－eq\f(1,e) B．－eC．eq\f(1,e) D．e解析：选B设切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,m)))，对y＝xex求导，得y′＝(xex)′＝ex＋xex，若直线y＝eq\f(1,m)是曲线y＝xex的一条切线，则有y′|x＝n＝en＋nen＝0，解得n＝－1，此时有eq\f(1,m)＝nen＝－eq\f(1,e)，∴m＝－e.故选B．9．(2019届广东深圳二模)已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq\f(2,x)是奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的倾斜角为()A.eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)解析：选B由函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq\f(2,x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，可得a＝0，则f(x)＝x＋eq\f(2,x)，∴f′(x)＝1－eq\f(2,x2)，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率k＝f′(1)＝1－2＝－1，可得所求切线的倾斜角为eq\f(3π,4)，故选B．10．(2019届湖南湘潭模拟)经过(2，0)且与曲线y＝eq\f(1,x)相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为()A．2 B．eq\f(1,2)C．1 D．3解析：选A设切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(1,m)))，m≠0，∵y′＝－eq\f(1,x2)，∴切线的斜率k＝－eq\f(1,m2)，则切线方程为y－eq\f(1,m)＝－eq\f(1,m2)(x－m)，代入(2，0)，可得－eq\f(1,m)＝－eq\f(1,m2)(2－m)，解得m＝1，则切线方程为y－1＝－x＋1，即y＝－x＋2，切线与坐标轴的交点坐标为(0，2)，(2，0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为eq\f(1,2)×2×2A.11．(2020届陕西摸底)已知函数f(x)＝ex＋ax，g(x)＝exlnx.(1)若对于任意实数x≥0，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a＝－1时，是否存在实数x0∈[1，e]，使曲线C：y＝g(x)－f(x)在x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，说明理由．解：(1)对于任意实数x≥0，f(x)＝ex＋ax>0恒成立，当x＝0时，则a为任意实数，f(x)＝ex＋ax>0恒成立；当x>0时，f(x)＝ex＋ax>0恒成立，即当x>0时，a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ex,x)))eq\s\do7(max)，设H(x)＝－eq\f(ex,x)(x>0)，则H′(x)＝－eq\f(exx－ex,x2)＝eq\f(（1－x）ex,x2)，当x∈(0，1)时，H′(x)>0，则H(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，H′(x)<0，则H(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，H(x)取得最大值，H(x)max＝H(1)＝－e，则a>－e.综上，a的取值范围为(－e，＋∞)．(2)不存在实数x0∈[1，e]，使曲线C在x＝x0处的切线与y轴垂直．理由如下：若曲线C：y＝exlnx－ex＋x在x＝x0处的切线与y轴垂直，则方程M′(x0)＝0在x0∈[1，e]上有实数解，由题意，得曲线C的方程为y＝exlnx－ex＋x.令M(x)＝exlnx－ex＋x，则M′(x)＝eq\f(ex,x)＋exlnx－ex＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋lnx－1))ex＋1.设h(x)＝eq\f(1,x)＋lnx－1，则h′(x)＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x2)，当x∈[1，e]时，h′(x)≥0，故h(x)在[1，e]上单调递增，因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为h(1)，又h(1)＝eq\f(1,1)＋ln1－1＝0，所以h(x)＝eq\f(1,x)＋lnx－1≥0在[1，e]上恒成立，当x0∈[1，e]时，ex0>0，eq\f(1,x0)＋lnx0－1≥0，所以M′(x0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)＋lnx0－1))ex0＋1>0.即方程M′(x0)＝0无实数解，故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝M(x)在x＝x0处的切线与y轴垂直.B级·素养提升|练能力|f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，eq\r(3))，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))解析：选B根据题意，得f′(x)≥eq\r(3)，则曲线y＝f(x)上任一点的切线的斜率k＝tanα≥eq\r(3).结合正切函数的图象可得α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).故选B．13．(2019届山东师大附中高三模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝e，∀x∈R，2f(x)－f′(x)>0，则不等式f(x)<e2x－1的解集为()A．{x|x<1} B．{x|x>1}C．{x|x<e} D．{x|x>e}解析：选B设F(x)＝eq\f(f（x）,e2x－1)，则F′(x)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,e2x－1)))′＝eq\f(f′（x）－2f（x）,e2x－1).因为2f(x)－f′(x)>0，e2x－1>0，所以F′(x)＝eq\f(f′（x）－2f（x）,e2x－1)<0，即函数F(x)在R上单调递减．又因为f(1)＝e，所以F(1)＝eq\f(f（1）,e2－1)＝1.不等式f(x)<e2x－1，即为eq\f(f（x）,e2x－1)<1＝eq\f(f（1）,e2－1)，即F(x)<F(1)，所以f(x)<e2x－1的解集是{x|x>1}，故选B．14．设函数f(x)＝2x3＋(a＋3)xsinx＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－x B．y＝－2xC．y＝－4x D．y＝－3x解析：选D∵函数f(x)＝2x3＋(a＋3)xsinx＋ax为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即2(－x)3＋(a＋3)(－x)·sin(－x)＋a·(－x)＝－2x3－(a＋3)xsinx－ax.∴a＋3＝0，即a＝－3.∴f(x)＝2x3－3x，则f′(x)＝6x2－3.∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝－3.∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝－3x，故选D．15．(2020届陕