立体几何专题：外接球问题

外接球的有关问题解决问题的方法先看是否能够还原成长方体或正方体，长方体或正方体的体对角线的中点为球心，是否还原三棱柱，三棱柱上卞面三角形外接圆的圆心连线中点为球心；否则利用球的截面性质解决。寻找两个有公共斜边的直角三角形，若这两个直角三角形不在同一个平面，则斜边一定就是直径；寻找该几何体的高时不要忘了，球心和截面圆的圆心连线一定和截面圆垂直。可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.结论1:正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点.结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到.结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.题型一球的截面性质应用截面的性质：①球心和截面圆的圆心连线和截面圆垂直；②球心到截面圆的距离为d,截面圆的半径为广，球的半径为则d2+r=R\③球心一定在过截面圆的圆心的垂线上，具体位置可通过计算找到。例1.在半径为10的球面上有A,B,C三点，如果=8^3,ZACB=60°,则球O到平面ABC的距离为（ ）2 B・4C.6 D.8【答案】C针对性练习球o的截面把垂直于截面的直径分为i：3两部分，若截面圆半径为JT,则球o的体积为“ 16 32 人kA.16-r B.—7t C.——D.4>/3龙3 3【答案】c[2012高考真题新课标文8】平面6Z截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面a的距离为血,则此球的体积为A.应兀 B.4羽兀 C.4嬌兀 D.6羽7V【答案】B【2011高考真题新课标文，16】已知两个圆锥有公共的底面，且两圆锥的顶点和底面的圆都在同一个球面上，若圆锥底面面枳是这个球的面积的2,则这两个圆锥中，体积较小16者的高与体积较大者的高的比值为 。【答案】1:3【2011高考真题新课标理，15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，

且AB=6, = .则棱锥O—A3CD的体枳为 【答案】：8^3提示：利用球的截面性质题型二构造正方体或长方体确定球心结论：长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处，即体对角线是其外接球的直径，以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法.途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥（或者说同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体）、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.途径2：相对的棱相等的三棱锥，可构造长方体（构造方法：面对角线为三棱锥的棱）.途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.例1.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为A.25兀 B.50”C.125兀D.都不对【答案】点评：长方体或正方体的外接球的直径是体对角线长。例2.己知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2.SB=SC=4.则该三棱锥的外接球的半径为（）A.3 ・B・6C・36D・9【答案】A构造长方体例3.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面枳为（）A.12龙D.12A.12龙【答案】C提示：构造正方体针对性练习（2010新课标高考真题文，7】设长方体的长、宽、高分别为2。卫卫，其顶点都在一个球面上，则该球的表面枳为（ ）A.3兀（F B.67ra2 C・12龙a' D・24加'

【答案】B—个四面体的所有棱长都为四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A. B. C.3羽冗 D.6tt【答案】A【2014陕西高考真题理，5］已知底面边长为1,侧棱长为J亍则正四棱柱的各顶点均在TOC\o"1-5"\h\z同一个球面上，则该球的体枳为 （）.32兀 c. 小c 小4龙A. B.4tt CX D.——3 3【答案】D若一个正四棱柱的主视图是边长分别为1和2的矩形，则其外接球的表面积等于（ ）A.6tt B.9/rC.6tt或9龙 D.24;r或36兀【答案】C正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为©，点S、4、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 .【答案】—36•如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6肿、4肿和3肺，那么它的外接球的体积是 .■—■29履兀［答案］———6在三棱锥A-BCD中，43丄平面BCD.CD丄BC,AB=3,BC=4,CD=5,则三棱锥A-BCD外接球的表面积 .【答案】50兀在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2、AD=BC=3,AC=BD=4,则三棱锥A-BCD外接球的体积 .【答案】10.若正方体外接球的体枳是空10.若正方体外接球的体枳是空,则正方体的棱长等于 【答案】题型三：三棱柱或能构造三棱柱的外接球问题（模型二）该三棱柱只能是直三棱柱，上卞面三角形的外心的连线的中点为球心，三棱柱实质为长方体的一部分，所以构造三棱柱的途径和构造长方体的相同。以下是常见的、基本的几何体补成三棱柱的途径与方法.途径1：若已知三棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成三棱柱.途径2：若四个面都是直角三角形的三棱锥，则可将棱锥补成三棱柱.例1.直三棱柱ABC-A^C,的各个顶点都在同一球面上，若AB=AC=AAl=2,Z^AC=120°,则此球的表面积为 。【答案】20龙

点评：球心一定在直三棱柱的中截面上。例2.【2010辽宁高考真题文】已知是球O表面上的点，必丄平面ABC,43丄BC,SA=AB=l,BC=忑,则球O的表面枳等于A.47T B・3龙 C.27T D・兀【答案】A【解析】选A.法1：构造三棱柱；法2：由已知，球O的直径为2R=SC=2,表面枳为4兀R’=4兀针对性练习【2010新课标高考真题理，10］设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为d,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）7 .-7rcr37 .-7rcr311.—7tcr3【答案】BTOC\o"1-5"\h\z已知三棱柱ABC_AQG的底面是边长为A的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12龙，则该三棱柱的体积为 （ ）A.2羽B.3羽 C.4* D.5若【答案】B三棱锥S-ABC中，SA丄面A^C,SA=2.AABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为 ・■16龙【答案】——4•若三棱锥P-ABC的最长的棱PA二2,且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 ・4龙【答案】——3若三棱锥S-BCD的所有顶点都在球O的球面上，S4丄平面ABC.SA=2^3.AB=1,AC=2,ZBAC=609则球O的表面积为 【答案】16兀题型四寻找球心的其它方法：由性质确定球心利用球心o与截面圆圆心q的连线垂直于截面圆及球心o与弦中点的连线垂直于弦

的性质，确定球心.法1:球心到球面上各点的距离都相等，所以可以寻找一下是否有公共斜边的直角三角形法2：球心一定在过外接圆的圆心和外接圆所在的平面垂直的直线上例1.三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，棱长PA=PB=PC=2*,AB=AC=BC=3,则球的半径为 。【答案】2点评：利用球的截面性质例2.点A,B,C,D在同一个球的球面上，AB二BC二2,AC二2丁1,若四面体ABCD体积的最犬值4为一，则该球的表面积为3【答案】9兀例3・如图，三棱锥P—ABC内接于球O,PA丄平面ABC,AABC的外接圆为球0的小圆OiQWAC・ZBAC=号，AB二1,PA=2•则外接球的表面枳为 【答案】8兀法1：寻找球心方法1因为PA丄平面ABC,球心0—定在过0】垂直平面ABC的垂线上，球心为PC的中点法2：寻找球心方法2寻找有公共斜边且不在同一平面的直角三角形,则斜边为球的直径.法3：构造三棱柱或长方体点评：不能够确定球心时可以寻找有公共边的直角三角形，且这两个直角三角形不在同一平面上，则斜边的中点就是球心。针对性练习A.—B.16兀C.9兀4【答案】A.—B.16兀C.9兀4【答案】A3.【2011高考真题辽宁文,>/3A.—3B.一托C.3兀 D.12兀22【答案】C2.［2014安徽高考真题,8］正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边SA=AB=BC=l,则球0的表面积为长为2,则该球的表面枳为（ ）D.匹10］己知球的直径SC二4,A,B是该球球面上的两点,AB=2,ZASC=乙BSC=45°