概率的定义与性质《概率论与数理统计》课件

§1.2概率定义及概率的性质§1.2概率定义及概率的性质1一、概率的描述性定义定义1.2.1随机事件A发生的可能性大小的度量（数值），称为发生的概率，记为二、概率的统计定义1.频率的概念对于一个随机试验来说，它发生可能性大小的度量是自身决定的，并且是客观存在的。概率是随机事件发生可能性大小的度量是自身的属性。一个根本问题是，对于一个给定的随机事件发生可能性大小的度量——概率，究竟有多大呢？一、概率的描述性定义定义1.2.1随机事件A发2例、历史上有人做过掷硬币的试验实验者蒲丰404020480.5070K．皮尔逊1200060190.5016K．皮尔逊24000120120.5005例、历史上有人做过掷硬币的试验实验者蒲丰404020480.3

从上表可以看，不管什么人去抛，当试验次数逐渐增多时，)总是在0.5附近摆动而逐渐稳定于0.5。从这个例子可以看出，一个随机试验的随机事件，在次试验中出现的频率，当试验的次数逐渐增多时，它在一个常数附近摆动，而逐渐稳定于这个常数。这个常数是客观存在的，“频率稳定性”的性质，不断地为人类的实践活动所证实，它揭示了隐藏在随机现象中的规律性。从上表可以看，不管什么人去抛，当试验42．概率的统计定义

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由于频率反映了事件发生的频繁程度，其大小也能用来度量一个事件发生的可能性的大小。基于频率的稳定性质，历史上曾在试验的基础上给出了概率的统计的定义。

定义1.2.2

若当重复试验次数足够大时，事件的频率在某一常数附近摆动，且随着试验次数的增大，摆动的幅度越来越小，则称常数为事件的概率。2．概率的统计定义返回由于频率5注意频率的稳定性揭示了随机现象中隐藏的性，用频率的稳定值来度量事件发生的可能性大小是合的。“频率的极限就是概率”这句话是不正确，即极限不正确。事实上，若成立，由则定义，而频率具有随机性，，并不能保证恒成立。例如，当时，取上述不等式就不成立。因此，在概率论与数理统计中不能沿用数学分析中的一般极限定义了。注意频率的稳定性揭示了随机现象中隐藏的性，用频率的6在实际使用中，由于频率的稳定性，当试验次数足够大时，人们往往用频率值作概率的近似值。3．频率的性质由频率的定义=，很快可以得到频率的性质:1．非负性：2．规范性：若为必然事件，则=13．有限可加性：若A,B互不相容即,则=+。在实际使用中，由于频率的稳定性，当试验次数37由这三条基本性质，还可以推出频率的其它性质：4．不可能事件的频率为0，=05．若，则由此还可以得16．对有限个两两互不相容的事件的频率具有可加性，即若（，），=则由这三条基本性质，还可以推出频率的其它性质：4．不可能事件的8三、概率的性质1.非负性：F，2.规范性：3.可列可加性：若F，且两两互不相容。有=三、概率的性质1.非负性：F，2.规范性：3.可列可加性：若9由概率的非负性、规范性和可列可加性，可以得出概率的其他一些性质：4)不可能事件的概率为0，即证明由于可列个不可能事件的和事件仍为不可能事件,所以因为不可能事件与任何事件是互不相容的，故由可列可加性得到从而由,得到，再由非负性，有结论得证。注意概率的规范性及性质1）反过来不一定成立。反例在后面给出。由概率的非负性、规范性和可列可加性，可以得出概率的其他一些性105)概率具有有限可加性：即若()则==结论得证6)对任一随机事件，有=1-特别地，，有+=

1证明对应用可列可加性，得到5)概率具有有限可加性：即若()则==结论得证6)对117）若，则证:因为,则,又所以.即推论1若，则；；推论2对任一事件,推论3对任意两个事件，,则8）对任意两个事件，有证明因为，而与互不相容，由有限可加性及性质4）得推论1对任意两个事件,有7）若，则证:因为,则,又所以.即推论1若，则；12

例1.2.1设互不相容，且试求解：由概率性质知例1.2.1设互不相容，且试求解：由概率性质知13例1.2.2设求解：由概率性质知

例1.2.2设求解：由概率性质知14例1.2.3设为三个事件，且证明:证：由于，所以又故即例1.2