空间点直线平面

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系时间：45分钟分值：75分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．1．（2013・安徽卷）在下列命题中，不是公理的是（A・平行于同一个平面的两个平面相互平行过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C・如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析B是公理2,C是公理1,D是公理3,只有A不是公理.答案A2•已知平面外一点P和平面内不共线三点A,B,C,A,B1,C分别在PA,PB,PC上，若延长A'B1,B^C,AC与平面分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点（）A・成钝角三角形 B・成锐角三角形C・成直角三角形 D・在一条直线上解析D,E,F为已知平面与平面A'B'C'的公共点，D,E,F共线.答案D3•已知空间中有不共线的三条线段AB、BC和CD,且ZABC=ZBCD，那么直线AB与CD的位置关系是（）A・AB〃CD B・AB与CD异面C・AB与CD相交 D・以上情况均有可能解析若三条线段共面,则直线AB与CD相交或平行；若不共面,则直线AB与CD是异面直线,故选D.答案D若直线l不平行于平面弘且1?弘贝胚）A.a内的所有直线与l异面B・a内不存在与l平行的直线a内存在唯一的直线与l平行a内的直线与l都相交解析依题意，直线lAa=A（如图）.a内的直线若经过点A,则与直线l相交;若不经过点A,则与直线l是异面直线，故选B・答案B（2014•桂林中学上学期期中）下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为（）A.1 B・2C・3 D・4解析只有第四个图中的四点不共面.答案A（2013・江西卷）如下图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且A〃〃仞，正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,"，那么m+n=（）A・8 B.9C・10 D.11解析如下图,・・・CE?平面ABPQ,CE〃平面A1B1P1Q1，ACE与正方体的其余四个面所在平面均相交，m=4;TEF〃平面BPP1B1,且EF〃平面AQQ1A1,AEF与正方体的其余四个面所在平面均相交，n=4,故m+n=8,选A.答案A二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）7•设P表示一个点，a,b表示两条直线，a,p表示两个平面，给出下列四个命题,其中正确命题的序号是 .P^a,P^a?a?aa°b=P,b?fi?a?pa//b,a?a,PWb,P^a?b?a®aQfi=b,P^a,PWfilPWb解析当an«=P时，P^a,P^a,但a?a,・••①错；aO0=P时，②错；如图，•：a〃b,PEb,：・P?a,：・由直线a与点P确定唯一平面a,又a〃b,由a与b确定唯一平面7,但y经过直线a与点P,^Y与a重合，：.bEa,故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确.答案③④8•在空间中，若四点不共面，贝y这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.以上两个命题中，逆命题为真命题的是 （把符合要求的命题序号都填上）.解析对于①可举反例，如AB〃CD,A,B,C,D没有三点共线，但A,B,C,D共面•对于②由异面直线定义知正确，故填②.答案②9・（2013・安徽卷）如图，正方体^CD—ABC1D1的棱长为1，P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S・则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.①当0vCQv时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形当00=时，S与C1D1的交点R满足C1R=当VCQV1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为解析对于①②，如图1,因为正方体ABCD—ABCD的棱长为1,当CQ=时,1111PQ=，这时截面S交棱DD1于DVAP=D1Q=，且PQ^AD^截面S为等腰梯形，当CQv时，截面S与棱DD1相交，截面S为四边形，故①②正确；对于③④⑤，如图2,延长QR交DD1的延长线于N点，连接AN交A1D1于M,取AD中点G,作GH〃PQ交DD1于H点，可得GH//AN且GH=AN,设CQ=f(0WfW1)，则DN=2t,ND=2t—1,==，当£=时，=，可得CR=，故③正确，当<<1时，S为五边形，故④错误，当t=1时，M为A1D1的中点，S为菱形PCMA，AC=,MP=,S的面积为・AC]・MP=，故⑤正确.答案①②③⑤三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10.已知正方体ABCD—ABCD中，E,F分别为D£,C"的中点,ACQBD=P,A1C1QEF=Q.求证：D,B,F,E四点共面；⑵若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.证明(1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF/BD・在正方体AC1中，BD/BD，所以EF/BD.所以EF,BD确定一个平面，即D,B,F,E四点共面.在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为a,又设平面BDEF为几因为QWAC]，所以QWa・又QEEF，所以QE0・则Q是a与卩的公共点，同理，P点也是a与p的公共点•所以aC0=PQ・又A1Cnp=R，所以R^AC,RGa且RWp・则RGPQ,故P,Q,R三点共线.已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3,E,F分别是BC,AD上的点，并且BEEC=AFFD= ,EF=，求AB和CD所成角的余弦值.TOC\o"1-5"\h\z人 匚 12 —解如图所示，在BD上取点G,使BGGD= ，连接EG,FG.亠，12在ABCD中，•・•==,:・EG〃CD，且GECD= ,1 3同理FG〃AB,且FGAB= ,2 3:.EG与FG所成的角即为AB与CD所成的角.在ABCD中，・・・EG〃CD,CD=3,且EGCD= ,・・・EG=1・八 亠1 3在AABD中，・FG〃AB,AB=3,FGAB= ,・・・FG=2・在AFFG中，EG=1,FG=2,EF=,由余弦定理得cosNEGF==—，••异面直线所成角0的范围是0°v0W90°,・・・cos〃M0・.AB与CD所成角的余弦值为.(2013・湖南卷)如图，在直棱柱ABC-ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=,AA]=3,D是BC的中点，点E在棱BB1上运动.证明：AD丄C1E；当异面直线AC,C1E所成的角为60。时，求三棱锥C—ABE的体积.解(I)证明：因为AB=AC,D是BC的中点，所以AD丄BC•①又在直三棱柱ABC—ABC^中，BB]丄平面ABC,而AD?平面ABC,所以AD丄BB]•②由①，②得AD丄平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得CE?平面BBCF，所以AD丄CE・(II)因为AC〃AC]，