隐函数的求导公式课件

7.5隐函数的求导公式7.5.1一个方程的情形7.5.2方程组的情形7.5隐函数的求导公式7.5.1一个方程的情形7.1隐函数的求导公式7.5.1一个方程的情形

(隐函数存在定理1)

设函数在点

的某一邻域内具有连续的偏导数，且

则方程

在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数它满

足条件并有

定理7.6隐函数的求导公式7.5.1一个方程的情形(隐函数存在2这个定理我们不证，仅对求导公式作推导.等式两边对求导，即得由于连续，且所以存在的一个邻域，在这个邻域内于是得这个定理我们不证，仅对求导公式作推导.等式两边对求导，即得3的二阶偏导数也都连续，可得二阶导数.的二阶偏4例1验证方程F(x，y)=xy

ex+ey=0在点P0(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐函数y=y(x)，并求其函数解则依定理知,

方程xy

ex+ey=0在点P0(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐函数y=y(x)，其导数为例1验证方程F(x，y)=xye5(隐函数存在定理2)设函数

在点

的某一邻域内有连续的偏导数，

且

则方程

在点

的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函

数

它满足条件

并有

定理7.6(隐函数存在定理2)设函数在点的某一邻域内有连续的偏导6这个定理我们也不证，仅对求导公式作推导.等式两边对求导，即得由于由于连续，且所以存在的一个邻域，在这个邻域内于是得这个定理我们也不证，仅对求导公式作推导.等式两边对求导，即得7设x2+2y2+3z2+xy-z=0,求

例2解法一设F(x,y,z)=x2+2y2+3z2+xy-z，则得法二求隐函数的一阶偏导数,可直接对方程两端求导.

方程两端对x求偏导数,得

设x2+2y2+3z2+xy-z=0,求例2解法一设8可利用全微分的形式不变性求偏导数.法三类似可得方程两端求全微分,可利用全微分的形式不变性求偏导数.法三类似可得方程两端求全9例3

设具有连续偏导数，证明由方程证解出类似地，有例3设具有连续偏导数，证明由方程证解出类似地，10设函数z=(x,y)由方程ez–xyz=0所确定,求

例4所给的方程两端对y求偏导数,得

解即对y再求一次偏导数,有

将设函数z=(x,y)由方程ez–xyz=0所确定,求例4117.5.2方程组的情形(隐函数存在定理3)

设

在点的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且

且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可定理7.8比式)7.5.2方程组的情形(隐函数存在定理3)设在点的12在点

不等于零，则方程组在点的某一邻域内恒能唯

一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数

它们满足条件

并有

在点不等于零，则方程组在点的某一邻域内恒能唯一确定一13隐函数的求导公式课件14这个定理我们也不证，仅对求导公式作推导.等式两边对求导，即得由于这个定理我们也不证，仅对求导公式作推导.等式两边对求导，即得15系数行列式从而得同理可得系数行列式从而得同理可得16例5解将所给方程的两边对求导并移项例5解将所给方程的两边对求导并移项17将所给方程的两边对求导，用同样方法得将所给方程的两边对求导，用同样方法得18的某一邻域内唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数例6一邻域内连续且有连续偏导数，又(1)证明方程组(2)的某一邻域内唯一确19例6解(1)将方程组改写成下面的形式则按假设由隐函数存在定理3，即得所要证的结论.(2)将方程组所确定的反函数例6解(1)将方程组改写成下面的形式则按假设由隐函20同理同理21例7设解前两个方程两边对x求导，得解得同理得例7设解前两个方程两边对x求导，得解得同理得22练习1练习3练习2练习4练习5练习1练习3练习2练习4练习523练习1解令则练习1解令