2022-2023学年原创全国名校高中数学真题模拟训练-概率与统计

2022-2023学年届全国名校高三数学模拟试题分类汇编

(±)

11概率与统计

三、解答题

1、(四川省成都市2022-2023学年届高三入学摸底测试)已知甲、乙

1

两名射击运动员各自独立地射击1次，命中10环的概率分别为5、

1

x(x>-)；且运动员乙在两次独立射击中恰有1次命中10环的概率为

4

9.

(I)求》的值；

(n)若甲、乙两名运动员各自独立地射击1次，设两人命中

io环的次数之和为随机变量4,求g的分布列及数学期望.

解：(I)由C；x(l-x)=[,又x>g,解得，丫='|；

(n)

012

2

p

623

2.(河南省实验中学2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第

二次月考)一个不透明的口袋内装有材质、重量、大小相同的7个小

球，且每个小球的球面上要么只写有数字"08”,要么只写有文字

"奥运"假定每个小球每一次被取出的机会都相同，又知从中摸出2

个球都写着"奥运"的概率是:。现甲、乙两个小朋友做游戏，方法

是：不放回从口袋中轮流摸取一个球，甲先取、乙后取，然后甲再取,

直到两个小朋友中有1人取得写着文字"奥运”的球时游戏终止，每

个球在每一次被取出的机会均相同.

(1)求该口袋内装有写着数字"08"的球的个数；

(2)求当游戏终止时总球次数不多于3的概率.

解(1)设该口袋内装有写着"08”的球的个数为n个。

依题意得鼻，解之得n=4

C；7

所以该口袋内装有写着"08"的球的个数为4

个。..............6分

(2)当游戏终止时，总取球次数是1的概率等于5，

当游戏终止时，总取球次数是2的概率等于，＞4=葭，

767

当游戏终止时总取球次数是3的概率等于=A,

76535

所以，当游戏终止时，总取球次数不多于3的概率为

3、(湖北省武汉市教科院2022-2023学年届高三第一次调考)有A、

B、C、D、E共5个口袋，每个口袋装有大小和质量均相同的4个红

球和2个黑球，现每次从其中一个口袋中摸出3个球，规定：若摸

出的3个球恰为2个红球和1个黑球，则称为最佳摸球组合。

（1）求从口袋A中摸出的3个球为最佳摸球组合的概率；

（2）现从每个口袋中摸出3个球，求恰有3个口袋中摸出的球

是最佳摸球组合的概率。

解：（1）从口袋A中摸出的3个球为最佳摸球组合即为从口袋A中

摸出2个红球和1个黑球，其概率为

P，J3

晨*..............（6分）

（2）由题意知：每个口袋中摸球为最佳组合的概率相同，从5

个口袋中摸球可以看成5次独立重复试难，古攵所求概率为

一商......................（12分）

4、（湖北省武汉市教科院2022-2023学年届高三第一次调考）在某校

运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）

共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局。在每一

]_J_£

场比赛中，甲胜乙的概率为§，甲胜丙的概率为I，乙胜丙的概率为§;

（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；

（2）设在该次比赛中,甲队得分为虞求4的分布列和数学期望。

解：（1）设用队获第一且丙队获第二为事件A,则

P(A)=-x-x

34（6分）

（2）4可能的取值为0,3,6;则

^=0)=(l-l)x(l-i)=l,

甲两场皆输:

5、(黑龙江哈尔滨三中2022-2023学年年12月高三月考)袋中

有3个白球，2个红球和若干个黑球(球的大小均相同)，从中任取

2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得

一个红球得2分，已知得0分的概率为1.

6

(1)求袋中黑球的个数及得2分的概率；

(2)设所得分数为。求将.

解：(1)设黑球x个厕舁4，解得x=4...................

C5+X6

4分

%=2)=秒.......................................6

分

(2)阿取0,123,4

00)="(“1)=N(“2)=三

03Jo

1114rr八

P(J=3)=dPC=4)=WEJ=T...........12分

6、(湖北黄陂一中2022-2023学年届高三数学综合检测试题)

甲，乙两人进行乒兵球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为P

Q)如果甲，乙两人共比赛4局，甲恰好负2局的概率不大于其恰好胜3

局的概率，试求P的取值范围；

(2)若P=[,当采用3局2胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率；

(3)如果甲，乙两人比赛6局，那么甲恰好胜3局的概率可能是;吗？

解：设每一局比赛甲获胜的概率为事件A,则()4尸⑷41

Q)由题意知C：p2(l一尸)24C；p3(i-p).........................2分

即6产(l-P)2M4P3(1—P)解彳导P=0P<1....................

4分

(2)甲获胜，则有比赛2局，甲全胜，或比赛3局，前2局甲胜1局，

第3局甲胜，故

尸=。拈)2+吗(1-：)：=，...............................8分

J，JJ//

⑶设"比赛6局，甲恰好胜3局”为事件C则P(C)=(7；尸3(1-尸)3...

9分

当P=0或P=1时，显然有

P(C)<g..............................10分

又当0<P<1时，P(C)=-^―P3(1-P)3=20P3(1-P)3

3,2*1

=20[P(l-P)f420((................11分

故甲恰好胜3局的概率不可能是

1.................................12分

7、(甘肃省兰州一中2022-2023学年一2022-2023学年高三上学期

第三次月考)一袋中装有6张同样的卡片，上面分别标出1,2,

3,4,5,6,现从中随机取出3张卡片，以W表示取出的卡片中

的最大标号。

(I)求W的分布列；

(n)求EG

解：(I)W的可能取值为3,4,5,6,.....1分

%=3)=*=0.05;%=4)爷=4=0.15;

尸©=5)=4=0.3；P©=6)=4=W=O.5......9分

所以W的分布列为

3456

P0.050.150.30.5

.....10分

(II)E^=0.05x3+0.15x4+03x5+0.5x6=5.25.....12分

8、(广东省广州市2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第

一学期中段学业质量监测)某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根

据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品

中，选出3种商品进行促销活动.

(I)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；

(口)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现

价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次

抽奖的机会,若中奖，则每次中奖都获得数额为加的奖金.假设顾客每次

抽奖时获奖与否的概率都是；，请问:商场应将每次中奖奖金数额m最

高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？

解：(I)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中，选出3种商品

一共有c；种选法，.选出的3种商品中没有日用商品的选法有c：种，所

以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为p=1-=fl.……

4分

（n）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量，设为x,其所

有可能值为0,m,2m,3m...6分

x=o时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以

P（X=O）=咱°出＜…7分

同理可得P（X=m）=cj*（；］=1,……8分

P（X=2,"）=唱:以/….9分

33加）=嗨）'偿彳.…1。分

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是

EX=0x—+mx—+2mx—+3mx—=1.5m....…12分

8888

要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商

场的提价数额，因此应有1.5加4150,所以W100,..13分

故商场应将中奖奖金数额最高定为100元，才能使促销方案对商场有

利…•…14分

9、（四川省成都市高2022-2023学年届高中毕业班第一次诊断

性检测）某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城

市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由果园承担.

如果果园恰能在约定日期（x月x日）将水果送到，则销售商一次性

支付给果园20万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多

支付给果园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少

支付给果园1万元.

为保证水果新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能

选择其中一条公路运送水果，已知下表内的信息

不堵车的情况堵车的情况下

堵车

下到达到达运费

的_

城市乙所需时城市乙所需时（万元）

概率

间（天）间（天）

1

路

公I

X3

TO

X

1

路

公2148

2-

（1）记汽车走公路1是果园获得的毛利润为々万元），求品勺分布列和数

学期望

（2）假设你是果园的决策者，你选择哪条公路运送水果有可能让果园

获得的毛利润更多？（注：毛利润=销售商支付给果园的费用-

运费）.解：Q）汽车走公路1时，不堵车时果园获得的毛利润

20-1.6=18.4万元堵车时果园获彳导的毛利润=20-1.6-1=

17.4万兀

汽车走公路1是果园获得的毛利润用勺分布列为

18.417.4

91

P

1010

3'

91

；氏:18.4x—+17.4x—=18.3万元……5,(2)

设汽车走公路2时果园获得的毛利润为〃不堵车时果园获得的毛

利润20-0.8+1=20.2万元堵车时果园获得的毛利润20

-0.8-2=17.2万兀

二汽车走公路1时果园获得的毛利润用勺分布列为

n20.217.2

11

p

22

……8'

1

1-

.,.£77=20.2x-+218.7万兀……10,

:E^<En

，应选择公路2运送水果有可能使得果园获得的毛利润更多.......

12,

10、(湖南省衡阳市八中2022-2023学年届高三第三次月考试

题)2022-2023学年年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃"

组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有8个相同的

盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

福娃名

日日

贝贝日日日日欢欢迎迎妮妮

称

数量12311

从中随机地选取5只。

(1)求选取的5只恰好组成完整"奥运吉祥物”的概率；

(2)若完整地选取奥运会吉祥物记100分;若选出的5只中仅

差一种记80分;差两种记60分；以此类推。设W表示所得

的分数，求W的分布列和期望值。

解：(1)选取的5只恰好组成完整"奥运吉祥物”的概率

p=c^_±_±

CO：5628,

(2)我取值为100,80,60,40.

pe=ioo)=^_^=a；

以28

P(g=8°)=破=后

g6o)，CC+c；C)+c)C1=2；

Co5628

PC=40)=上4勺分布列为：

C856

100806040

33191

P

28562856

11、(辽宁省大连市第二十四中学2022-2023学年届高三高考模拟)

有一种舞台灯，外形是正六棱柱ABCDEJAiBCDiEiR,在

其每一个侧面上(不在棱上)安装5只颜色各异的彩灯，假若每

只灯正常发光的概率是0.5,若一个面上至少有3只灯发光，则

不需要维修，否则需要更换这个面.假定更换一个面需100元，

用w表示维修一次的费用.

(1)求面Z8814需要维修的概率；

(2)写出£的分布列，并求W的数学期望.

解:(1)4=c；g)5+c；g)5+c：g)5=g...........6分

(2)因为“8(6,；)

13155153

打兄⑴=记兄⑵=打耳(3)=而A(4)=@A(5)=记,

"⑹='

a0100200300400500600

131551521

p64326416643264

……10分

£^=100x6x1=300(元).............................12分

12、(天津市汉沽一中2022-2023学年〜2022-2023学年学年度高

三第四次月考试题)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上

方的入口处，小球将自由下落.小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍

物，最后落入A袋或8袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右

1

两边下落的概率都是］

(I)求小球落入A袋中的概率P(A)；

(n)在容器入口处依次放入4个小球，记4为落入A

袋中小球的个数，试求J=3的概率和4的数学期望窈.

B

解：(I廨法一:记小球落入B袋中的概率P(8),则P(A)+P(B)=1,

由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将

落入3袋，所以R的=(景+夕=]

'.................................2分

5分

解法二：由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向

右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A袋.

.•.P(A)=C；g)3+c；g)3=:，........................

5分

(口)由题意，J〜5(4,泰,所以

有.............................7分

PG=3)=c：(；)3(：y=三,.....................

4464

……10分

3

•二E&=4x—=3,.....................................

....12分

13、(重庆市大足中学2022-2023学年年高考数学模拟试题)甲、乙

两个箱子中装有大小相同的小球，甲箱中有2个红球和2个黑球，

乙箱中装有2个黑球和3个红球，现从甲箱和乙箱中各取一个小球

并且交换。

(1)求交换后甲箱中刚好有两个黑球的概率。(6分)

(2)设交换后甲箱中黑球的个数为J,

求4的分布列和数学期望。（6分）

解：⑴第一类：记”取出的两个球都是黑球”为事件4

c'c11

P(A)='^=-2分

C；C；5

第二类：记“取出的两个球都是红球”为事件&.

_3

P(4)4分

C：C；10

131

/.po=—I-----6分

5102

(2)(可能取1,2,3,7分

3||

且「（。=1）=而,pq=2）=5，pe=3）=m

.•.J的分布列为J123

。A-10分

：.E^=—12分

10

14.（2022-2023学年届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合

卷一）下表为某班英语及数学成绩的分布.学生共有50人，成绩分

1~5五个档次.例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的

学生为5人.将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一枚，该卡片同

学的英语成绩为x,数学成绩为设%），为随机变量（注：没有相同

姓名的学生）

c,、、,2,、〜c、，53510a+b+1

P(X=2)=1-P(X=1)-P(X23)=1-------=—=-------

50505050

=>4Z+Z?=39分

8+a_133

5x——+4x

50

=。+4)=9②；

结合①②可得a=l,h=2.

15、(四川省成都市高中数学2022-2023学年级九校联考)某单位组

织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在峨眉山、泰山、华山3

个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.

(I)求3个景区都有部门选择的概率；

(n)求恰有2个景区有部门选择的概率.

解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是

任意选择，这些结果出现的可能性都相等.

(1)3个景区都有部门选择可能出现的结果数为仁・3!(从4个部门

中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共

有=6种分法，每组选择不同的景区，共有3!种选法)，记

"3个景区都有部门选择"为事件Ai,那么事件Ai的概率为

P(Ai)=

(II)解法一：分别记"恰有2个景区有部门选择"和"4个部门者B

选择同一个景区"为事件A2和A3,则事件A3的概率为P(A3)

=*=(，事件A2的概率为

HA?)-1-P(A1)-P(A3)-1--7^7=OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

92727

6分

16、（四川省成都市高中数学2022-2023学年级九校联考）在一次篮

球练习课中，规定每人投篮5次，若投中2次就称为"通过"若投

2

中3次就称为"优秀"并停止投篮。已知甲每次投篮投中概率是,

Q）求甲恰好投篮3次就"通过”的概率；

（2）设甲投中篮的次数为g,求随机变量J的分布列及期望第。

解◎前2次中恰有一次投中且第3次也投中/=生⑴・|=，......

5分

40123

11040

24324324364

P8?

............................5分

2分

17、（江苏省常州市2022-2023学年-2022-2023学年高三第

学期期中统一测试数学试题）某校从参加高一年

级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩

（是不小于40不大于100的整数）分成六段

[40,50）,[50,60）...[90,100]后画出如下部分

（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分

布直方图.

(2)观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率(60

分及以上为及格)和平均分.

解：(1)因为各组的频率和等于L故第四组的频率：

/,=1-(0.025+0.015x2+0.01+0.005)x10=0.33'

直方图如右所示6,

(2)依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,

用率和为(0。15+°.03+0.025+0.005)x10

少、、=0.75

所以，抽样学生成绩的合格率是75%..9'

利用组中值估算抽样学生的平均分

45•工+55/+65•力+75•力+85・%+95/

=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05

=71

估计这次考试的平均分是71分

12,

18、(江苏省常州市2022-2023学年-2022-2023学年高三第一

学期期中统一测试数学试题)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着

如下六个定义域为R的函数：W(M=x%⑶二解力(M=/，加M=sinx,

知M=cosx,/6(A)=2.

(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函

数，求所得函数是奇函数的概率；

(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若

取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数

4的分布列和数学期望.

解：（1）记事件A为"任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的

函数是奇函数.’由题意知。⑷系】

4'

(2)河取1,2,3,4.

pe=i)=C」P(A=2)J=—•—=—

'C：2'《C'6C'510，

8'

故W的分布列为

a1234

331

p

2io2020

13317

E4=lx—+2x—+3x—+4x——=—

21020204

答工的数学期望为］10,

4

19、（广东省北江中学2022-2023学年届高三上学期12月月考）旅游

公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.

（I）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；

（n）求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.

解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：Pi=4=l……4

48

分

（2）设选择甲线路旅游团数为乙则占0,1,2,3......................5

分

P（占0）二案夕（占1）=H

4-64464

P（42）==（占3）二写」..........9分

43644364

「•和分布列为：

0123

272791

64646464

P

「•期望华Ox红+1X2+2X2+3X_L=3....................12分

'646464644

20、（广东省佛山市三水中学2022-2023学年届高三上学期期中考试）

某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师

参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示

版本人教A版人教B版苏教版北师大版

人数2015510

（1）从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材

的概率是多少？

（2）若随机选出的2名教师都使用人教版教材，现设使用人教A版

教材的教师人数为4,求随机变量4的分布列和数学期望

解：（1）50名教师中随机选出2名的方法数为或=1225,

选出的2人所使用版本相同的方法数为

c；0+c；+c；+G%=190+105+10+45=350,

2人所使用版本相同的概率为

3502

6分

12257

G；_3

(2)VPC=0)=德=行

。20.015_6°

P("l)=

或H9

「("2)=冬=网

9分

比119

随机变量4的分布列是

012

36038

p

17H9H9

3388

60X2分

一

一---

119H712

1719

21、(广东省局明一中2022-2023学年届局三上学期第四次月考)

盒中有6只灯泡，其中2只次品,4只正品，有放回地从中任取两次,

每次取一只，试求下列事件的概率：

(1)取到的2只都是次品；

(2)取到的2只中正品、次品各一只；

(3)取到的2只中至少有一只正品。

解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62=36种不同取

法.......2分

(1)取到的2只都是次品情况为22=4种，因而所求概率为

(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取

到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。

因而所求概率为p=爱+娑J.....8分

36369

(3)由于"取到的两只中至少有一只正品"是事件"取到的两只

都是次品"的对立事件，因而所求概率为P=W......12

分

22、(2022-2023学年年广东省广州市高三年级调研测试)一厂家

向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进

行抽检以决定是否接收.

抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱

子)，若前三次没有抽查到次品，

则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检,

并且用户拒绝接收这箱产品.

(1)求这箱产品被用户接收的概率；

(2)记抽检的产品件数为J,求4的分布列和数学期望.

解：(1)设"这箱产品被用户接收"为事件A,

P(A)=----------……3分

10x9x815

即这箱