2022-2023学年河北保定市部分学校高二年级上册学期第一次月考数学试题（附答案）

高二年级上学期第一次考试

数学

注意事项：

L答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动•用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容:人教ʌ版必修第二册占20%,选择性必修第一册第一章

至第二章第2节占80%。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

,4+2i_

•T+T=

Λ.-3—iB.—3+iC.3—iD.3+i

2.无论实数k取何值,直线kx+y+2=0都过定点,则该定点的坐标为

A.(0,-2)B.(0,2)C.(2,0)D.(-2,0)

3.若｛α,b.c｝构成空间的一个基底,则下列向量共面的是

Λ.a~b,2a-c.b—cB.b-∖~2c,a~b,a—2b-2c

C.α+2b,2α—c,2b-∖^c',D.α+2b+3c,α+b,α+c

4.如图•在正方体ABCD-ABlGDl中EF分别为AB,BC的中点,则^

口，平面

A.BB1EF,

，平面,,

B.BDB1EF∣∖T∖^~7Γ

c.AG〃平面8EF∖∖y|\

〃平面

D.AQB1EF#C

A

5.如图.在四面体QABC中,B=α,m=6比=c,且∕=4说,跻=E'B

《比.则评=

4

ʌ13,.1

A.丁。--75十-7^c

344

P1i3..1

∣

fl-3z-ατ4b-↑--4τc

fl

C.--374—4

n】fli3i.1

∏.—37'^^T4力+τ4c

【高二数学第1页(共4页)】・23-29B1.

6.甲、乙两名同学进行投篮训练,已知甲同学每次投篮命中的概率为4•,乙同学每次投篮命中的

ə

概率为g∙两名同学每次投篮是否命中相互独立.若甲、乙分别进行2次投篮,则他们命中的

次数之和不少于2的概率为

ʌ-1β∙^9C∙⅜D∙7

7.如图,在正三棱柱ABC-ABC中,AA∣=2∕∖B=4,E是BBl的中点,F是

AlG的中点,若点G在直线Cc上,且/3G〃平而八!泞,则IAel=

Λ∙2√2

B,√5

C∙2√Tδ

D.√TΓ

8.如图，已知两点A（11,0）,B（0,券），从点尸（1,0）射出的光线经支线

AB上的点M反射后再射到宜线OB上,最后经宜线OH上的点N反

射后又回到点P,则直线MN的方程为

A.4工一3_y—3=0B.4∙r+3y+4=0

C.3x—4y+3=0D.4]-3y+4=0

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知直线八：，“H+2）+1=0,/2：工+（?"+1"+1=0,则下列结论正确的是

A.若Z1//I2,则m=-2B.若∕∣〃/?,则1或m=—2

C.若，则=-⅜D.若人J√2，则m=⅜

ðO

10.已知正方体ABCD-AIBlGn的棱长为α,AcnAc=O.则

A.矶.其=/B.研.园=。2

C.AX∙B7Λ=√D.Λ4ζ∙H6≈a2

11.已知Z∖ABC的内角Λ,13,C的对边分别为a,b,c,b=l,a2+c2—=αc,sin2B=3sinASinC,则

Λ,B=-?-Bw=J

ɔO

CIABC的面积娉

□△ABC的周长为笈+1

12.很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或

两种以上的正多边形围成的多而体,半正多面体因其最早由阿基米

德研究发现,故也被称作阿基米例体.如图,这是一个棱数为24,棱长

为&的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以

看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得,则

A.该半正多面体的体积为第

O

B∙A,C,D,F四点共面

【高二数学第2页（共4页）]•23-29B1•

C.该半正多面体外接球的表面积为l2π

D.若点E为线段比上的动点,则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取饰如为以尊

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分•把答案填在答题卡的相应位置•

13,已知向址。=(2,l,6),6=(3,6,山，若。〃从则H+》=---▲一

14.某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数(AQl)，分别为65,71,

67.89,78,91,102,则这组数据的第70百分位数为一,,_、

15.若等边三角形的一条中线所在宜线的斜率为1，则该等边三角形的二边所

在直线的斜率之和为▲.

16.如图,在长方体ABCD-AIBCD中,点E,F分别在ADDI,B场上,且

EF±AlE.若AB=2,AD=1,AA=3,则BlF的上小值为▲——•2

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤∙

17.(10分)

已知坐标平面内三点A(—2,-2),3(2,-1),C(-1,D.

Q)求AABC中AB边上的高所在的直线方程；

(2)若A,B,CD可以构成平行四边形,且点D在第一象限,求点D的坐标.

18.(12分)

如图,在长方体八BCD-AIBeIDl中,E是AIDl的中点,且AB=2AD=2AA=2.

(D过点A,C,E的截面与棱Gn交于点F,求DF的长度；

(2)求点场到平面ACE的距离.

19.(12分)

为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识,使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识,

提高预防能力,做到科学防护、科学预防.某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识

问答.共有100人参加了这次问答,将他们的成绩(满分100分)分成[40,50),[50,60),[60,

70),[70,80),[80,90),[90,100]这六组,制成如图所示的频率分布直方图.

(D求图中”的值,并估计这100人问答成绩的平均数;(同一组数据用该组数据的中点值

代替)

[高二数学第3页(共4页)).23-29B1•

⑵川分U随机抽样的方法从问答成绩在［60.80)内的人中抽取一个容员为5的样本，再从

样本中任意抽取2人.求这2人的问答成绩均在［70,80)内的概率.

20.（12分）

如图,在四棱锥P-AIiCD中，PD_L底而TwCD,四边形AIiCD为正方形，PD=DC,E,F

分别是人D，PB的中点.

⑴证明：EF〃平面PCD.

(2)求直线PA与平面CEF所成角的正弦他眸

是

W

21.（12分）

已知直线lx+my-m-2≈Q与工~轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,且

iAJ

AAOB的面积为4.

⑴求τn的值；

层

⑵若P(2,D,点E,F分别在线段C)A和03上,且SPE=S△卬F，求厘•可⅛J取值范围.

靖

国

22.（12分）

在三棱柱ABC-DEF中，BC=BE=2AB≈2,NABE=NABC=90°,NEBC=60°,G是线

段EF上的动点.

(1)求三棱锥G-ABC的体积；

(2)求平面ACG与平面ABED夹角的余弦值的最大值.

【高二数学第4页(共4页)】•23-29B1•

高二年级上学期第一次考试

数学参考答案

4÷2i(4÷2i)(l-i)

1.C-=(2+i)(l-i)=3-i.

l÷i-(l÷i)(l-i)

2.A直线6∙r+jy+2=0过定点（0,-2）.

3.B因为b-r2c=（a-b）—（a-2b~2c）,所以向量b^2c>a-b∙a-2b~2c共面.

4.C以点D为原点.建立如图所示的空间直角坐标系，设八6=2,

则B1(2,2,2),E(2,l,0),F(l,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),Cι(0,2,2),D1(0,0,2).

EF=(-1,1,O),E¾=(0,1,2),BD?=(-2,-2,2),DB=(2,2,0),AC?=(-2,

2,0),前=(2,0,2).

[m・EF=-Jc-Vy=O,

设平面BlEF的一个法向量为m=(x,y,N),则＜一取加=(2,

∙EB1=y+2z=0.

2,-1).

因为说?与m不平行,所以3A与平面5EF不垂直,A错误；

因为神与切不平行,所以BD与平面bEF不垂直,B错误；

因为无方•机=0,所以AlC〃平面BEF∙C正确；

因为加・帆=2六0,所以A1D与平面BlEF不平行∙D错误.

5.D因为琼或,所以讨=济+价=透+4■或=透+4（贫一济）=巧b+4^c.又在=2萌=

44444

~∣^α,所以E&=C&-。E=—--^^b+}c.

6.B由题可知,他们命中的次数为0的概率为∙∣∙X等X∙∣xJ=4;命中的次数为1的概率为2x[x∙∣

乙乙3o«5

xJx4+2X?x["X4x£=a.故他们命中的次数之和不少于2的概率为l-4-⅛=4∙

乙乙乙乙5y«5y

7.A如图，以C为原点,CB,CC所在的直线分别为y轴,U轴建立空间直角坐标系C一

HyZ,贝IJA(√I,1,O),A∣(乃,l,4),E(0,2,2),F(g,∙∣∙,4),B(0,2,0).由题可设G(0,0,

α),则荏=(一√J,1,2)∕=(一4.一十,4),虎=(O,—2,a).设平面AEF的法向量

f—Λ∕3J∙-I-4-2^=0,

相=(1,3,2),则1而令/=χ∕5∖得〃2=(禽,~l^,∙∣^).由石ð•机=—2

[—华L}N+4N=0,55

X∙∣∙+挈=0,得α=6,则砧=（-Q,—1,2）,I再方I=ςTFTR77IFTF=2√Σ.

əɔG7

8.D易得AB所在的直线方程为1+2y-ll=0,点P关于直线AB对称的点为A,（5,8）,点P关于y轴对称

的点为4'（一1,0）.直线此\即直线44，则直线“'的方程为5>=普（丁+1）.即4工-3?+4=0.

9.AC令，”（执+1）—2=0,解得W=I或帆=-2.当根=1时d与重合；当加=一2时〃QA正确，B错

【高二数学•参考答案第1页（共5页）】∙23-29B1•

误.若lii.lt,RlJm+2(wz+l)=0,解得m=一■∣^,C正确.D错误.

10.BC：如图，因为AAl_LBC所以研•黄=0,A错误.

研•万底=丽'•(丽'+百居)=丽'2=/,B正确.

矶-Bft=Blt•(两+57?)=两2=/,(：正确.

瓦萄.初=+研.砧=~a2,D错误.

11.ABDcosB=广妄盘=^j∙,B=冬

因为sin2B=3sinASinC.fifflil62=3ac.B∣Jac=^∣^.

△ABC的面积为T^αcsinB=-^-×ɪ×5y-=y^.

因为滔+,2—护=αc,所以Z>2=l=∕+c∙2—αc=(α+c)2-3αc,解得α+c=√2■.故AABC的周长为√Σ+1.

12.ABD将该半正多面体补成正方体.因为该半正多面体的棱长为√Σ,所以

正方体的棱长为2.该半正多面体的体积V=8-8×y×^-×IXlXl=

苧,A正确.该半正多面体的外接球球心即正方体的外接球球心.设正方

体的外接球球心为M.则该半正多面体的外接球半径R=MF=堂XZ=

笈.故该半正多面体外接球的表面积为4“R：=8n,C错误.建立如图所示

的空间直角座标系,则A(2,1,O),F(2,2,1),B(1,O,2),C(O,1,2),D(1,

2,2),Λ?=(0,1.1),C5=(1,1,0),F5=(-1,0,1).设祚=HE+yF5,可解得∙r=y=l,则祚,仍,孙

共面.即Λ,C,D.F四点共面,B正确.

又反'=(-l,l,O),设虎=入左=(一九入，0),所以AC[0,1],则E(l-λ,λ,2),DE=(-λ.λ-2,0).

AF-DE______入一2_______J_/(入-2)2—=_J-X

cos<AF,DE>==

∣AF∣l≡l√2×√λ2÷(λ-2)22V(λ-2)2+2(λ-2)÷22

/]+工：_^・令，=占W[T，-十]，则。,砺=-^==.

cS(#τ7因为2产+2t+ie

Vλ-2(λ-2)z

[+」]，所以年冰,能61一乌,一4].故直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为

/0

与],D正确.

13.13因为。〃人所以(•=1•=(■,解得∙r=4,y=9,则∙r+y=13.

14.89将这组数据从小到大排序依次为65,67,71,78,89,91.102,因为7X70%=4.9,所以这组数据的第70

百分位数为89.

15.3因为一条中线所在直线的斜率为1,所以此中线所在直线的倾斜角为45°,可得该等边三角形的三边所

在直线的倾斜角分别为75°,15°,135°.即该等边三角形的三边所在直线的斜率分别为2+伍,2一伍,一1,所

以该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为3.

【高二数学•参考答案第2页(共5页)】•23-29B1•

16.2以点C1为坐标原点,Gfλ,GB,C∣C所在直线分别为了,y,u轴建立如图所示的空

间直角坐标系Cl-HyZ,则4(2,1,0).设万(2,0加)1(0,1,"),1:0,”》0,则无工=

(0,—1.zn),Ep=(—2,l,ιι—in).

因为EFJ_八上.所以元主•或'=O,即一1+帆("一”?)=0.化简得wιw=l+m2.当/M=O

时,显然不符合题意.故"=，+，"32,当且仅当w=1时，等号成立.故BlF的最小值

为2.

17.解:⑴由题易知财=十，............................................1分

则所求直线的斜率为-4,..........................................................................................................................3分

故所求直线方程为y-l=-4(∙r+D,即4z+y+3=0..........................................................................5分

(2)如图，当点D在第一象限时,以B=AT),々AC=4βD∙.....................................7分F

仁1+2———1

2+2^a÷Γ

设D(N,y),则J］+2_］解得彳=3,?=2,故点。的坐标为(3,2).............(/工

l→+2≡⅛,/0L-Λ

....................................................................................................................10分A

18.解:在长方体ABCD-AiBCR中，以点D为坐标原点，DA,DC∙

故DlF=L.................................................................................................................................................7分

(2)A^=(0,2,1),AE=(一-∣-,0,l),Λt,=(-l,2,0).........................................................................8分

f1.a

设平面ACE的法向量为m=Q∖∙v,Ni),则121令M=I,得∕n=(2,l,l),...................10分

一4+2yι=0,

则点8到平面ACE的距离”=迈需Z小嚼=g.........................................................................12分

19.解：(1)由图可知，10X(2X0.005+α+0.02+0.025+0.03)=l∙解得α=0.015..............................3分

这IOO人问答成绩的平均数约为4S×0.05+55X0.15+65×0.2+75X0.3+85X0.25+95X0.05=72.

...................................................................................................................................................6分

(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在［60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，则问答成绩在［60,

70)内的有高jX5=2人,分别记为A,B；问答成绩在［70,80)内的有瓷*5=3人,分别记为“"…

............................................................................................................................................................8分

【高二数学•参考答案第3页(共5页)】•23-29B1•

从中任意抽取2人,则实验的样本空间0={(A,B),(A,a),(A㈤，(A,c),(B,α),(B,b),(B,c),(a,6),(α,

c),(Ac”,共有10个样本点............................................................10分

设事件A为2人的问答成绩均在［70,80)内的概率,则A={(a,6),(a,c),(6,c)},..............................11分

所以这2人的问答成绩均在［70,80)内的概率P(A)=条...................................12分

20.(1)证明：如图,设M为PC的中点,连接FM,MD............................................................................1分

因为RM分别为PB,PC的中点,所以FM/∕BC,FM=BC.

在正方形ABCD中,口号78(m/?=48仁所以DE//FM,DE=FM.

所以四边形DEFM为平行四边形,DM〃EF..................................................4分

因为DMU平面PCD.ERZ平面PCD,所以EF〃平面PCD......................5分∣

(2)解：以D为原点，以DA,DC.DP所在的直线分别为工,w=轴，建立如图所示的:

空间直角坐标系.不妨设PD=DC=2,则A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,0),F(l,l,l),……6分

辞=(0,1,D.炭=(-1,2,0),霜=(-2,0,2)....................................................................................7分

设平面CEF的法向量为"=(ny,z),

［~Ef,∙∕ι=0,/y+z=0,

则_即令1=2,则〃=(2,1,—1)......................................................................9分

∖EC∙w=0,\—∙τ+2y=0,

设直线PA与平面CEF所成角为θ,

则Sinθ=∣cos<A?,w>∣=∣∣普；"jI=喙,

IAPlm2

故直线PA与平面CEF所成角的正弦值为号............................................12分

21.解式1)令工=0,得y=号允>0;令y=0,得z=nz+2>0.................................................................2分

所以A5+2,0),B(。,噌).............................................................3分

SΔΛ)B=-∣-(ZZJ+2)•“',二二4,解得m=2................................................................................................5分

(2)由(1)可得A(4,0),B(0,2),易得P为AB的中点,则IAPl=IBP∣..............................................6分

IOBI2√5∖C)A∖^

sinA=,sinB=分

∣AB∣一5IAB∣-5•...............................................................................................7

因为JE=S△*所以4IAEllAPlSinA=+IBFIlBPlSin3,则21AEl=IBFl,2∣OEl=IOF|.

............................................................................................................................................................8分

设2∣OEl=IOFl=2z"∈[0,2),则E(0,x),F(2x,0),........................................................................10分

7^=(-2,Λ~l),7^=(2.r-2,-l),7^∙7^=-2(2Λ~2)-(χ-l)=-50r+5∈(-5,51

故泽•前的取值范围为(一5,51...........................................................................................................12分

22.解：(1)因为∕ABE=NABC=90°,所以AB_LBE,AB±BC.

因为BE∩BC=B,所以八区L平面BCGE.

因为ABU平面ABC,所以平面ABci平面BCGE................................................................................2分

过点G作GMJ_RG垂足为M.因为GMU平面BcGE,所以GMJL平面ABe

【高二数学•参考答案第4页(共5页)】・23-29B1-

点