专题 勾股定理中的翻折和旋转问题

专题勾股定理中的翻折和旋转问题专题：勾股定理中的翻折和旋转问题考点一：翻折问题在翻折前后两个图形全等的情况下，可以利用勾股定理构造方程求解线段的长度。1.有一块直角三角形纸片，两条直角边分别为AC=6cm和BC=8cm。现将直角边AC沿着直线AD折叠，使其落在斜边AB上并与AE重合，则CD的长度为多少？解：根据翻折前后两个图形全等的条件，可以得到AD=CD。因此，根据勾股定理可得AB=10cm。又因为AE与AC重合，所以AE=6cm。因此，CD=AD=AB-AE=4cm。2.小明尝试将矩形纸片ABCD沿着过点A的直线折叠，使得点B落在AD边上的点F处，折痕为AE；再沿着过点D的直线折叠，使得点C落在DA边上的点N处，点E落在AE边上的点M处，折痕为DG。如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD的长BC与宽AB的关系是什么？解：根据翻折前后两个图形全等的条件，可以得到AB=GN，BC=DM。因为M点在∠NDG的平分线上，所以∠MDG=∠MGN。又因为三角形MDG和MGN都是直角三角形，所以它们的斜边比相等，即MD=MG。因此，BC=DM=MG=AB/2，即BC=1/2AB。3.长方形ABCD中，AB=6，AD=8，点E是边BC上的一点。将△ABE沿着AE翻折，使得点B恰好落在对角线AC上的点F处。求AE的长度。解：根据翻折前后两个图形全等的条件，可以得到AE=BF。因为△ABE和△ACF都是直角三角形，所以它们相似。因此，AE/AB=AC/AF，即AE/6=10/AF。解得AF=15，因此AE=BF=AF-AB=9。4.将长方形ABCD沿着对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E。若AB=2，BC=4，则AE的长度是多少？解：根据翻折前后两个图形全等的条件，可以得到AE=EB′。因为△ABE和△CB′E都是直角三角形，所以它们相似。因此，AE/AB=CE/CB′，即AE/2=4/CB′。又因为B′C与AD相交于点E，所以△AB′E和△ECD相似。因此，CE/AB′=CD/AE，即CE/2=4/AE。联立两个方程，解得AE=8/3。5.在矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6。折叠纸片使得AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE。求EF的长度。解：根据翻折前后两个图形全等的条件，可以得到AE=BF。因为△ABE和△ACF都是直角三角形，所以它们相似。因此，AE/AB=AC/AF，即AE/6=10/AF。解得AF=15，因此EF=AE-AF=6-15=-9。6.在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是边AD上的一个动点。将△ABE沿着BE折叠成△BEF，则线段DF的长度最小值是多少？解：根据翻折前后两个图形全等的条件，可以得到BE=BF。因为△ABE和△CBF都是直角三角形，所以它们相似。因此，BE/AB=CF/CB，即BE/4=CF/6。解得CF=9/2，因此DF=BC-CF=3/2。7.把长方形纸片ABCD沿着EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上。（1）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；（2）若AD=8，AB=4，求BF。解：（1）根据翻折前后两个图形全等的条件，可以得到∠2=∠1=50°。因为△BFC和△EAC都是直角三角形，所以它们相似。因此，BF/AC=BC/AE，即BF/4=6/8。解得BF=3。（2）同理，因为△BFC和△EAC都是直角三角形，所以它们相似。因此，BF/AC=BC/AE，即BF/4=6/8。解得BF=3。因为△BDF和△EAC都是直角三角形，所以它们相似。因此，BD/AE=BF/AC，即BD/8=3/8。解得BD=3，因此DF=BD-BF=0。8.在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，点E在线段AB上，点F在线段AD上。（1）沿着EF折叠，使A落在CD边上的G处（如图），若DG=3，求AF的长度和AE的长度；（2）若按照EF折叠后，点A落在矩形ABCD的CD边上，请直接写出AF的范围。解：（1）根据翻折前后两个图形全等的条件，可以得到AE=AG。因为△ABE和△CGF都是直角三角形，所以它们相似。因此，AE/AB=CF/CG，即AE/10=6/CG。解得CG=15，因此AG=AE=10-CG=-5。因为△ADF和△CGF都是直角三角形，所以它们相似。因此，AF/CG=DF/CF，即AF/15=3/6。解得AF=5，因此AE=AG=AF-AB=-5-10=-15。（2）当EF垂直于CD时，AF=AD=8。当EF平行于CD时，AF=AB=10。9.在长方形纸片ABCD中，AB=6，BC=8。将它沿着对角线对折，使得B折到M。求：（1）线段CE的长度；（2）点E到直线AC的距离。解：（1）根据翻折前后两个图形全等的条件，可以得到CE=ME。因为△ABE和△CME都是直角三角形，所以它们相似。因此，CE/AB=CM/AC，即CE/6=8/10。解得CE=24/5。（2）设点P为E到直线AC的垂足，则AP=AE-EP。因为△ABE和△CME都是直角三角形，所以它们相似。因此，AE/AB=CM/AC，即AE/6=8/10。解得AE=24/5。因为△AEP和△CEP都是直角三角形，所以它们相似。因此，EP/CE=AP/AC，即EP/(24/5)=AP/10。解得AP=48/13，因此EP=48/13-24/5=12/65。因此，点E到直线AC的距离为EP=12/65。10.在长方形ABCD中，点E是AD的中点。将△ABE沿着BE折叠后得到对应的△GBE，将BG延长交直线DC于点F。（1）如果点G在长方形ABCD的内部，如图①所示。则线段BF的长度是多少？（2）如果点G在长方形ABCD的外部，如图②所示。则线段BF的长度是多少？解：（1）根据翻折前后两个图形全等的条件，可以得到BF=BG。因为△ABE和△CBG都是直角三角形，所以它们相似。因此，BE/AB=CG/BC，即BE/4=CG/6。解得CG=9/2，因此BG=BC+CG=21/2。（2）当点G在长方形ABCD的外部时，可以利用相似三角形的性质解题。因为△ABE和△CBG都是直角三角形，所以它们相似。因此，BE/AB=CG/BC，即BE/4=CG/6。解得CG=9/2。因为△BGF和△CDE都是直角三角形，所以它们相似。因此，BF/BC=DE/CE，即BF/6=8/5。解得BF=48/5。1.求证GF=DF，若DFDC，AD=4，求AB的长度。如果点G在长方形ABCD的外部，DF=kDC(k>1)，请用含k的代数式表示值的。解析：1.GF=DF证明：在Rt△ACB中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB上一点，连结CD，将CD绕C点逆时针旋转90°至CE，连结DE，过C作CF⊥DE交AB于F，连结BE。则有△DFC≌△BEC（RHS），因此GF=DF。2.若DFDC，AD=4，求AB的长度。解析：在Rt△ACB中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB上一点，连结CD，将CD绕C点逆时针旋转90°至CE，连结DE，过C作CF⊥DE交AB于F，连结BE。则有△DFC≌△BEC（RHS），因此GF=DF。又有AD=4，因此AF=FD=2。由勾股定理可知，AB^2=AF^2+FB^2，代入已知值可得AB^2=4+BF^2。因此，AB=sqrt(4+BF^2)。3.如果点G在长方形ABCD的外部，如图②所示，DF=kDC（k＞1），请用含k的代数式表示值的。解析：在Rt△ACB中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB上一点，连结CD，将CD绕C点逆时针旋转90°至CE，连结DE，过C作CF⊥DE交AB于F，连结BE。则有△DFC≌△BEC（RHS），因此GF=DF。又有DF=kDC，因此DC=DF/k。由勾股定理可知，AB^2=AF^2+FB^2，代入已知值可得AB^2=DF^2+(kDC-EB)^2。因此，AB=sqrt(DF^2+(kDC-EB)^2)。CF＝4，设BE＝x，则EF＝x，CE＝8﹣x，在Rt△ACF中，CF＝4，AC＝10，∴AF＝√（AC²﹣CF²）＝6，在Rt△ABE中，AE²＝AB²﹢BE²＝36＋x²，又∵BE＝EF＝x，∴AE²＝36＋2x²，又∵CE＝8﹣x，∴AE²＝CE²﹢AC²＝（8﹣x）²＋100，∴36＋2x²＝64﹣16x＋x²＋100，∴3x²﹣16x＋28＝0，∴x＝3，∴AE＝√（36＋2x²）＝√42．故选：C．解：设AE＝x，则DE＝8﹣x，由勾股定理得BE＝√（x²＋16），在Rt△BEF中，EF＝BE＝√（x²＋16），在Rt△DEF中，DF²＝DE²＋EF²＝（8﹣x）²＋（x²＋16），化简得DF²＝2x²－16x＋80，对于二次函数y＝2x²－16x＋80，由于a＞0，故函数开口向上，最小值出现在顶点处，顶点横坐标为x＝4，代入得到最小值为24，故答案为24．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，二次函数的顶点、最值等知识点，解题时需要运用这些知识点进行分析、判断和推理。【思路点拨】利用矩形的性质，求出EF的长度，再根据三角形相似得到AF的长度．【解析】解：如图，∵ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，∴AC＝BD＝√6^2+10^2＝2√19，∵E在AB上，∴AE＝10﹣EF，∵F在AD上，∴AF＝6﹣EF，在△ABC中，∵AC∥EF，∴△ABC∽△EFC，∴EF/AC＝FC/BC，∴EF＝AC×FC/BC＝2√19×6/6＝2√19，在△ADF中，∴△ADF∽△EAF，∴AF/AD＝EF/AE，∴AF＝AD×EF/AE＝6×2√19/4＝3√19/2，故答案为：EF＝2√19，AF＝3√19/2．【点睛】此题考查矩形和三角形相似的性质，解题的关键是找到相似三角形的对应边．(1)在折叠前后，线段AF和FG相等，因此可以列出方程x+3=6-x，解得x=1.5，因此AF的长为1.5，AE的长为4.5。(2)设AE=x，则EP=6-x，根据勾股定理可得EP^2+(x-3)^2=36，化简得x^2-6x+9=0，解得x=3或x=3，因此AF的范围为0<=AF<=3。9.在长方形纸片ABCD中，将其沿对角线折叠后得到长方形AMCN，根据折叠的性质可得EA=EC=4，因此CE的长度为8-4=4。设点E到直线AC的距离为h，则由勾股定理可得AC=sqrt(6^2+8^2)=10，因此h=2*面积△AEC/AC=24/10=2.4。10.在长方形ABCD中，由于E是AD的中点，因此AE=ED=BC/2，即AE=4。将△ABE沿BE折叠后得到对应的△GBE，因此GB=AB=6。将BG延长交直线DC于点F，则有△BGF∽△CDE，因此BG/CD=GF/DE，即6/8=GF/(8-4)，解得GF=3，因此BF=BG+GF=9。将CD绕C点逆时针旋转90°得到CE，可以得到△DCE是等腰直角三角形，进而判定出△ACD≌△BCE（SAS），从而得到AD＝BE。连接FE，根据CF是DE的垂直平分线，可得DF＝EF，再根据Rt△BEF中，BE+BF＝EF，即可得出AD+BF＝DF。由∠BDE＝15°＝∠DEF，可得∠BFE＝30°，设BE＝x，则BF=x，EF＝2x＝DF，再根据Rt△BDE中，x+（2x）^2＝（BD）^2，解得x＝1，进而得到BF。在图①中，若点M、N是线段AB的勾股分割点，则△AMN是直角三角形，且AM^2+MN^2=BN^2。已知AM＝2，MN＝3，代入可得BN＝√13。在图②中，将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△ACM，可以发现△ACM和△MCN全等，进而得到∠ACM＝45°。由于AC＝BC且∠ACB＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形，从而可以得到点M、N是线段AB的勾股分割点。（1）根据勾股定理，当MN为最大线段时，BN=√(AB^2-AM^2)；当BN为最大线段时，BN=√(AB^2-BM^2)。因此，BN或√(AB^2-AM^2)或√(AB^2-BM^2)。（2）要证明BM的长度，需要证明△MCN≌△MCN'以及∠NAM＝90°。连接MN'，由于∠ACB＝90°，∠MCN＝45°，因此∠BCN+∠ACM＝45°。又∠ACN'＝∠BCN，所以∠MCN'＝∠ACN′+∠ACM＝∠BCN+∠ACM＝45°＝∠MCN。在△MCN和△M