一种多双字典稀疏复原方法

一种多双字典稀疏复原方法

1运动模糊和噪声图像的原位优化相机运动是相机和场景之间相对运动的结果。移动模糊严重影响了图像的质量。减小运动模糊的方法有很多种,大体可以分为两类:硬件补偿和图像复原。T.Hamamoto和K.Aizawa在文献中设计了一种特殊的CMOS传感器,它们能在检测到运动的区域选择性地停止电荷积分。Ben-Ezra等人组建了一个混合系统获取相机运动轨迹用来精确估计模糊核。Raskar等人用一个预先指定的二进制序列快速开关快门来减小去模糊问题的病态性,他们的方法减小了高频信息的丢失。由于产生运动模糊的因素非常多,有的通过硬件补偿就可以完全消除模糊,但有的并不能消除或者只能部分消除模糊。因此软件恢复的方法是非常必要的,并成为当今的研究热点。在点扩散函数(PointSpreadFunction,PSF)已知的情况下,用于运动模糊复原的算法有很多种,比如经典的维纳滤波算法,TV全变分方法等。维纳滤波算法简单且有效,其缺点主要是算法为了抑制噪声而得到的估计值过于平滑而丢失很多细节。全变分复原的理论基于连续模型,处理图像时采用什么样的离散方式能更好逼近全变分模型是一个难点,经典的全变分复原方法在噪声较大的情况下模型的稳态解中有明显的阶梯效应。Calvetti等人提出假定图像的PSF已知,模糊噪声图像的复原问题可以通过解一个线性系统来解决(广义极小剩余迭代算法,GMRES)。Ribaric等人假定圆周中心和运动角速度已知,提出了圆周运动产生模糊图像的复原方法。在PSF未知的情况下,可以用盲卷积方法来复原图像。Li等人提出一种迭代算法不断修正模糊核使最后图像恢复的结果在视觉效果上达到最好。LuYuan,JianSun等人利用相机长时间曝光晃动时产生的模糊图像和短曝光时间产生的暗噪声图像,分别提取信息得到最终清晰的图像。近年来,稀疏表示模型被广泛的应用于信号和图像处理等领域。稀疏表示是Olshausen和Field等人在研究人类视觉皮层神经元响应的稀疏性时提出的对自然图像更有效的表示方法。根据稀疏理论,该模型可以通过一组过完备基或冗余字典中很少量元素的线性组合来描述信号。最近也有稀疏表示在图像去模糊中的应用。Ma设计了一种MPST(Multi-PixelSingle-Time)相机,利用泊松奇异积分和Curvelet迭代阈值算法对模糊图像进行复原。Elad等人在文献中详细阐述了稀疏表示理论在图像处理,如去噪、去模糊、去水印等方面的应用。本文提出一种双字典稀疏复原算法对同时存在运动模糊和噪声的严重退化图像进行复原的方法,得到很好的效果。通过构建Haar冗余字典,求解Haar稀疏最优化问题抑制运动模糊;由于噪声并没有完全收敛和消除,甚至在Haar稀疏的过程中不断加权生成噪声斑(称之为模糊噪斑),故引入第二个冗余字典通过对图像滑动分块进行局部的稀疏最优化来消除模糊噪斑,最后对各分块进行加权得到复原图像。2图像退化模型和模型的稀疏表示2.1稀疏表示及正则化图像去模糊是一个病态的反问题,可以看成是低通滤波器、向前向后扩散或者热力学函数的反问题,所以在图像复原过程中,一些小的噪声或者扰动就会导致很多错误。对于运动模糊图像,退化因子包括两个:模糊算子H和噪声算子N。对于清晰图像x,如果噪声模型用白噪声来描述,其图像退化模型可以表示为:y=NHx=Hx+n.(1)1993年Mallat和Zhang首先提出了信号在过完备库(overcompletedictionary)上分解的思想。图像的稀疏表示就是图像在这个过完备库(支撑集)上线性展开,这个支撑集要满足大部分基函数的系数为零。稀疏表示理论中称这个支撑集为字典,支撑集中的每个基函数为原子。若图像x∈Rn是可稀疏的,即存在变换基D,用一个稀疏信号α就可以表示原图像xx=Dα,(2)其中D∈Rn×m,α∈Rm。D是一个过完备字典,字典中的每一列称为原子。因此退化模型可以表示为y=HDα+n.(3)为了得到原图像的估计值ˆx,只需找到能表示图像x最稀疏的向量α,求解该问题可以用最优l0范数来解决,即ˆα=argmin∥α∥0s.t.y=ΗDα+n,(4)其中‖α‖0表示稀疏向量α的l0范数,定义为α非零元素的个数。求解最基本的方法有匹配追踪算法(MP)、正交匹配追踪(OMP)算法等,文献认为最优l0范数的求解是一个NP难问题,并证明了可以用l1范数代替l0范数求解:ˆα=argmin∥α∥1s.t.y=ΗDα+n.(5)正则化方法常常用来解决在某种约束条件下,图像处理中的病态问题,则带有稀疏约束条件的正则化形式可表示如下minα∥y-ΗDα∥22+λ∥α∥0,(6)式中第一项是惩罚项以表征恢复图像和原始图像的逼近程度,第二项是稀疏先验信息的正则约束项。如果用l1范数代替l0范数,则minα∥y-ΗDα∥22+λ∥α∥1,(7)求解的方法有基追踪(BP)算法和迭代阈值算法(IST)等,本文使用了迭代阈值算法中的PCD(ParallelCoordinateDescent)算法来收敛模糊图像。2.2基于局部特性的汉字dnoisa冗余字典D的设计是稀疏表示理论中最关键的问题,字典的选取影响到稀疏向量的迭代结果和算法的收敛性。在引言中提到的本文算法包括两个过程,分别是模糊的抑制和消除及模糊噪斑的去除。和噪声相比,图像模糊更多的是像素之间的统计特性和彼此约束,因此在去除模糊时可选用包含全局特性的小波冗余字典Dblur,在去除模糊噪斑的时候选用基于patch训练的含局部特性的字典描述Dnoise。Haar小波是具有紧支撑和对称性的正交小波,并且具有最优的时(空)域分辨率。本文选用Haar小波作为构造字典Dblur时的基本小波,将其进行两层分解:首先使用滤波器组[0.50.5]和[0.5-0.5]分别在图像的水平和垂直方向上进行滤波得到四幅图像(LL,LH,HL,HH),其次在LL上应用同样的滤波操作,最后得到七幅图像,可看出分解后小波系数矩阵的冗余度达到7∶1。小波分解过程表示如图1所示。采用离线训练的方法计算Dnoise的构造。对给定一个标准的图像集合U,需要找到一个合适的过完备基D,即Dnoise,使之满足下面优化函数,minD,UΜ∑i=1[ui∥αi∥0+∥Dαi-ui∥22],即对U中的每一幅图像ui都能找到最优的稀疏表示。通过训练图像数据库得到的字典Dnoise可以作为一部通用字典重复使用。本文从USI-SIPI数据库中选取了100幅标准图像采样2×105个patch训练得到的字典如图3所示。3优化函数的求解迭代收缩(Iterative-Shrinkage/Threshold,IST)算法是信号去噪中经典的Donoho-Johnston收缩算法的扩展。IST算法的核心就是利用前一次的估计值和变换域的阈值处理算子来获得新的估计值。基于IST的算法例如统计估计理论中的EM(Expectation-Maximization)算法,最近邻点和代理函数,CD(Coordinate-Descent)算法等等。本文应用了PCD迭代收缩算法,其收敛速度比较快并且可以应用于高维数据。假设当前稀疏解为α0,要更新其第i条值,g(z)=12∥y-ΗDα0-di(z-α0[i])∥22+λ∥z∥1,(8)其中di是字典D的第i列,若˜y=y-ΗDα0+α0[i]di,则优化函数变为g(z)=12∥˜y-diz∥22+λ∥z∥1=12∥˜y∥22-˜yΤdiz+12∥di∥22⋅z2+λ∥z∥1=∥di∥22(12(z-dΤi˜y∥di∥22)2+λ∥z∥1∥di∥22)+C,(9)那么优化后的z值可通过式(10)求解zopt=Sλ/∥di∥22(dΤi˜y∥di∥22)=Sλ/∥di∥22(1∥di∥22dΤi(y-ΗDα0)+αi[i]).(10)当优化一个函数时,会有几个不同的收敛方向,他们的组合也必定是收敛的。因此把m次式所述的优化组合起来,可得到v=m∑i=1ei⋅Sλ/∥di∥22(1∥di∥22dΤi(y-ΗDα0)+α0[i])=[Sλ/∥d1∥22(1∥d1∥22dΤ1(y-ΗDα0)+α0)⋮Sλ/∥di∥22(1∥di∥22dΤi(y-ΗDα0)+α0[i])⋮Sλ/∥dm∥22(1∥dm∥22dΤm(y-ΗDα0)+α0[m])]=SW(W-1(y-ΗDα0)+α0),(11)其中W=diag((HD)THD)-1包含了HD中所有列向量的范数,用于计算反投影误差(HD)T(b-HDα0)和收敛算子。关于W的计算,在文献中,作者提出用一组随机向量和(HD)T相乘计算得到的范数,根据此算法W的收敛情况如图4所示。4次稀疏变换及分块经过PCD迭代算法进行复原后得到的图像模糊已经减弱,但是噪声在去模糊过程中不断得到加权而放大,如图5所示。为了消除噪斑,对复原的图像进行了第二次稀疏变换,引入第二个字典D2即用D2将复原得到的图像进行线性表示。如2.2节中所述,字典D2是通过一组图像进行训练得到的。对于3节所述算法去模糊后的图像f通过分块矩阵P进行分块。设块的大小为n,则需解决如下优化问题,minD,U{∑ijμij∥αij∥0+∑ij∥Dαij-Ρijf∥22+λ∥y-f∥},(12)(1)首先，固定y.f，只更新minD,U{∑ijμij∥αij∥0+∑ij∥Dαij-Ρijf∥22}.(2)噪声方差去模糊minαij∥αij∥0s.t.∥Ρijf-Dαij∥22≤Cσ2,式中σ为去模糊后噪声方差,噪声方差去模糊前和去模糊后存在一定的关系,在此假定C=σ/σ0,本文取C值为0.8。(3)jdij-ijf32+y-fminD,U{∑ijμij∥αij∥0+∑ij∥Dαij-Ρijf∥22+λ∥y-f∥}解析解为:f^=(λΙ+∑ijΡijΤΡij)-1(λy+∑ijΡijΤDα^ij).(13)5运动模糊退化半径在实验中,选取图像的分辨率为256×256,分别用平移运动模糊算子对图像进行退化处理,并引入高斯白噪声得到严重降质的图像,如图6所示。两组实验中,PCD迭代收敛30次,噪声分块收敛3次。实验分别与经典的维纳滤波复原算法和经典全变分复原方法进行了比较。图7组实验为标准的Cameraman图片,运动模糊退化半径为20pixel,角度为45°,噪声方差为40,图8组实验为飞机停留在跑道上的图像,运动模糊退化半径为15pixel,角度为45°,噪声方差为40。分别用维纳复原算法和全变分方法对降质图像进行了复原,并和本文的实验结果进行了对比。可以清楚地看到,当图像经过迭代阈值收缩后,模糊和噪声已经得到有效抑制,图像质量明显改善。从仿真结果可以看出,维纳滤波复原算法对噪声比较敏感,噪声方差的选取误差会严重影响复原的质量,这对于参数估计的复原是致命缺陷;经典全变分复原由于算法在对模糊去除的时候,噪声点作为局部特征参与了梯度运算,因此造成了复原图像和原图像的明亮度差异明显,并且复原效果的阶梯效应严重。从以上两组实验可以看出,用本文提出的算法对图像复原后,复原图