2021版理科数学全国通用版备战一轮复习第2节

第二章函数的概念及基本初等函数(I)第二节函数的单调性与最值［课时A级基础过关固根基|1•下列函数中，在区间(0，+^)上为增函数的是( )A.y=In(x+2)B.y=—px+11xC.y=2,1D.y=x+-解析：选A函数y=In(x+2)的增区间为(-2,+^)，所以在(0,+)上是增函数.2.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(一巴4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()1A.-4，+x1B. -4，+xC. -4,01D. -40解析：选D当a=0时，f(x)=2x-3在定义域R上单调递增，故在(-^,4)上单调递增；1当a^0时，二次函数f(x)的对称轴为x=—-，a因为f(x)在(一X，4)上单调递增，11所以a<0，且一匚》4，解得一4Wa<0.，a 41综上，实数a的取值范围是一40.3.已知函数f(x)是定义在区间［0，+^)上的函数，且在该区间上单调递增，1则满足f(2x-1)<f3的x的取值范围是( )12A 一一A. 3312B.3,3

1212c.2,3D 一 一D. 2，3解析：选D因为函数f(x)是定义在区间[0,+^)上的增函数，满足f(2x—11)<f1，112所以OW2x—1<3，解得2^x<3.4•设偶函数f(x)的定义域为R，当x€[0,+x)时，f(x)是增函数，贝Uf(—2),f(n,f(—3)的大小关系是( )f(nf—3)>f(—2)f(n)>—2)>f(—3)f(n)<—3)<f(—2)f(nf—2)<f(—3)解析：选A因为f(x)是偶函数，所以f(—3)=f(3)，f(—2)=f(2).又因为函数f(x)在[0，+ )上是增函数,所以f(n)>3)>f(2)，即f(n>f(—3)>f(—2).函数y=f(x)(x€R)的图象如图所示，则函数g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调D.[.aD.[.a， ,a+1]10,21c.(—X，0)u2，+^11解析：选B由图象，知f(x)在(一*,0)和2，+x上单调递减，而在0,?上单调递增.又因为当0<a<1时，y=logax为(0,+ )上的减函数，所以要使g(x)=f(logax)11单调递减，则需logax€0,2，即0WlogaxW2解得x€[a,1].定义新运算①：当a>b时，a®b=a；当a<b时，a®b=b2,则函数f(x)答案:1答案:12，+x16 D.12解析：选C由已知得，当一2<x<1时，f(x)=x—2;当1<x<2时，f(x)=x3—2.因为f(x)=x3—2,f(x)=x—2在定义域内都为增函数，且f(1)<f(2),所以f(x)的最大值为f(2)=23—2=6.log"，x>1，函数f(x)= •函数f(x)的值域为•函数f(x)的值域为2，+X.2已知f(x)= 已知f(x)= (xma).x—a若a=—2,证明:f(xx)在(—x，—2)内单调递增;若a>0且f(x)在(1,+x)上单调递减，求a的取值范围.解：(1)证明：任取X1<x2V—2,当a=—2时，f(X1)—f(xz)=解析：当x>1时，log^xw0;当x<1时，0<2x<2，故f(x)的值域为(0，2)U(—2X，0]=(—X，2).答案：(—X，2)8.函数f(x)=x+72x—1的值域为 .1解析：由2x—1>0，得x>^，1•••函数的定义域为2，+X. 1又函数f(x)=x+2x—1在2，+X上单调递增，111•••当x=2时，函数取最小值f2=2X1 X2 2(X1—X2)xi+2x2+2—(xi+2)(x2+2)(xi+2)(x2+2)>0,xi—X2<0,•••f(xi)—f(x2)<0,即卩f(Xi)Vf(X2),•••f(x)在(—g,—2)上单调递增.a(X2a(X2—xi)X2(2)任取i<xi<x2,则f(xi)—f(x2)=x^aX2—a (xi—a)(x2—a)Ta>0,X2—xi>0,.°.要使f(xi)—f(x2)>0，只需(xi—a)(x2—a)>0在(i,+^)上恒成立，•a<i.综上所述知a的取值范围是(0,i].i0. (20i9届福建师大附中模拟)定义在(0，+^)上的函数f(x)满足下面三个条件：对任意正数a,b,都有f(a)+f(b)=f(ab);当x>i时，f(x)<0；f(2)=—i.求f(i)的值；用单调性的定义证明：函数f(x)在(0,+^)上是减函数；求满足f(3x—i)>2的x的取值集合.解：⑴由f(a)+f(b)=f(ab)，得f(i)+f(i)=f(i)，则f(i)=0.(2)证明：任取Xi,X2€(0,+g)且Xi<X2,则f(Xi)+fX=f(X2),所以f(X2)—f(xi)=fXi.由X2>i,得fX2<0,即f(X2)<f(Xi),•f(x)在(0,+g)上是减函数.(3)tf(2)=—i,•f(4)二f(2)+f(2)=—2,i i又f(4)+f4二f(i)=0,.・.f4二2.又f(x)的定义域为(0,+g)，且在其上是减函数,3x—3x—iv；,3x—i>0,i5解得3<x<；2B级素养提升|练能力|11设a>0且a^1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2—a)x3在R上是增函数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选A若函数f(x)二ax在R上为减函数，则有0<a<1;若函数g(x)二(2—a)x3在R上为增函数，则有2—a>0,即a<2，所以“函数f(x)二ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2—a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件，故选A.已知在函数f(x)=lg(ax—bx)+x中，常数a，b满足a>1>b>0，且a=b+1,那么f(x)>1的解集为( )A.(0，1) B.(1,+x)C.(1，10) D.(10,+x)ax解析：选B由ax—bx>0,a>1>b>0,得b>1,解得x>0,所以函数f(x)的定义域为(0,+x).因为a>1>b>0,所以y=ax单调递增，y=—bx单调递增，所以t=ax—bx单调递增.又y=lgt单调递增，所以f(x)=lg(ax—bx)+x为(0,+x)上的增函数.而f(1)=lg(a—b)+1=lg1+1=1,所以当x>1时，f(x)>1,故f(x)>1的解集为(1,+x).故选B.f(x)如果函数y=f(x)在区间I上是增函数，且函数y= 广在区间I上是入减函数，那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区TOC\o"1-5"\h\z1 3间”.若函数f(x)=?x2—x+2是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间” I为()A.[1,+x) B.[0,.3]C.[0,1] D.[1,.3]1 3解析：选D因为函数f(x)=2x2—x+2的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)f(x) 1 3 1 3在区间[1,+x)上是增函数.又当x>1时，x=?x+2x—1,令g(x)="x+2^

—1(x>1),则g'x)=2-2X2= 由g'x(w0，得1Wx<3即函数f(X=2xT+2X在区间［1，•③上单调递减，故“缓增区间”I为［1,「3•故选D.x,xy>0，定义运算：x