第三章线性系统的时域分析法

第三章线性系统的时域分析法第1页，课件共91页，创作于2023年2月本章重点：掌握用劳斯判据分析系统的稳定性，掌握参数变化对系统稳定性的影响；掌握一阶、二阶系统的瞬态响应指标的求取，以及对系统快速性性能改善的措施,学会用主导极点的方法分析高阶系统的快速性；掌握系统稳态误差的求取方法，以及对系统控制精度的改善措施。第2页，课件共91页，创作于2023年2月稳、准、快第3页，课件共91页，创作于2023年2月1.稳定性概念和稳定的条件稳定的概念系统工作在平衡状态，受到扰动作用偏离了平衡状态，扰动消失之后，若系统能恢复到平衡状态，称系统是稳定的；否则称系统是不稳定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。线性系统稳定的充要条件若有一系统，受到一扰动δ(t)后，会产生一个输出偏差c(t)，当t→∞时，3.1线性系统的稳定性分析第4页，课件共91页，创作于2023年2月用部分分式展开Aj将闭环极点的实部用σi表示r(t)=δ(t),则R(s)=1有第5页，课件共91页，创作于2023年2月线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的根都具有负实部。判别系统稳定性的基本方法：

(1)

劳斯判据

(2)

根轨迹法

(3)

奈奎斯特判据

(4)

李雅普诺夫第二方法

第6页，课件共91页，创作于2023年2月2.劳斯稳定判据(Routh’sstabilitycriterion)劳斯表：系统特征方程为：稳定的必要条件：若系统稳定，则特征方程的各项系数均为正值，且无零系数。劳斯判据能够判定出特征方程的根关于S平面虚轴的分布情况，进而间接的判定出系统的稳定性。第7页，课件共91页，创作于2023年2月系统特征方程为：sn

a0a2

a4a6……sn-1

a1a3a5a7

……sn-2b1b2b3b4……sn-3

c1c2c3c4……………s2

f1f2s1

g1s0

h1第8页，课件共91页，创作于2023年2月判据：稳定的充要条件：如果劳斯表中第一列所有元素的系数都为正值，则特征方程的根均在S的左半平面，对应的系统是稳定的如果劳斯表中第一列元素的系数有变化，其变化的次数等于则特征方程的根在S的右半平面的个数，相应的系统不稳定。第9页，课件共91页，创作于2023年2月3、举例例3-1

已知某控制系统的特征方程为

：试用劳斯判据判定系统的稳定性。例3-2

已知某单位负反馈系统开环传递函数，试确定使系统稳定的k的取值范围及临界放大系数kp。第10页，课件共91页，创作于2023年2月4、劳斯稳定判据的特殊情况例3-3

设系统特征方程为s4+s3+3s2+3s+2=0，试用劳斯稳定

判据判断系统的稳定性。例3-4

设系统特征方程为s5+s4+3s3+3s2+2s+2=0，试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，然后对新特征方程应用劳斯判据。对应系统有对称于原点的根（由辅助方程可求出该根），系统不稳定或临界稳定。某行的第一列项为0，而其余各项不为0或不全为0。用趋于零的正数代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。对应的系统存在位于s右半平面的根，系统不稳定。第11页，课件共91页，创作于2023年2月5、系统相对稳定性的判定

j

0s平面s1平面为给定稳定裕度以特征方程最靠近虚轴的根和虚轴的距离来表征系统的相对稳定性做法：以s=s1-带入原系统的特征方程，对s1变量应用劳斯判据。例3-5

已知某系统的开环传递函数为：试用劳斯判据分别判定使得系统稳定和具有α=1的稳定裕度的K的取值范围。第12页，课件共91页，创作于2023年2月6、对结构不稳定系统进行改进措施

仅仅通过调整参数无法稳定的系统称为结构不稳定系统。C(s)R(s)

-改变积分环节的性质

-

-引入比例微分环节C(s)R(s)

-第13页，课件共91页，创作于2023年2月3.2系统时间响应的性能指标第14页，课件共91页，创作于2023年2月1、典型测试信号（typicaltestsignals）第15页，课件共91页，创作于2023年2月第16页，课件共91页，创作于2023年2月第17页，课件共91页，创作于2023年2月第18页，课件共91页，创作于2023年2月第19页，课件共91页，创作于2023年2月系统的时间响应：由动态过程和稳态过程两部分组成。

动态过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称过渡过程、瞬态过程。由于系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现形式。

相应地，系统的性能分为动态性能和稳态性能。2、系统的响应第20页，课件共91页，创作于2023年2月3、动态性能和稳态性能（transientresponseandsteady-stateresponse）h(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%c(t)t调节时间tsc(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间ts动态性能第21页，课件共91页，创作于2023年2月上升时间td：指响应第一次达到其终值一半所需要的时间。上升时间tr：指输出响应第一次到达终值所需要的时间；峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。

调节时间ts：响应到达并保持在误差带内所需的最小时间，

通常取±0.05c(∞)[或0.02c(∞)]为误差带。

超调量

%：响应的最大偏离量c(tp)与终值c(∞)之差与终值h(∞)的百分比，即第22页，课件共91页，创作于2023年2月

c(t)0c(∞)稳态误差稳态性能稳态误差是系统控制精度或抗绕动能力的一种度量。误差信号：稳态误差：第23页，课件共91页，创作于2023年2月第24页，课件共91页，创作于2023年2月第25页，课件共91页，创作于2023年2月3.3一阶系统的时域分析下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。定义：输出的时域解：第26页，课件共91页，创作于2023年2月1、单位阶跃响应（unit-stepresponse）取拉氏反变换得：第27页，课件共91页，创作于2023年2月第28页，课件共91页，创作于2023年2月2、单位脉冲响应（unit-impulseresponse）性能指标：第29页，课件共91页，创作于2023年2月3、单位斜坡响应（unit-rampresponse）当输入信号为单位斜坡函数r(t)=t时，R(s)=1/s2，系统的输出为：取拉氏反变换得：动态分量稳态分量误差信号：第30页，课件共91页，创作于2023年2月第31页，课件共91页，创作于2023年2月4、单位加速度响应（unit-accelerationresponse）误差信号：取拉氏反变换得：第32页，课件共91页，创作于2023年2月第33页，课件共91页，创作于2023年2月3.4二阶系统的时域分析1、二阶系统的数学模型定义：二二第34页，课件共91页，创作于2023年2月第35页，课件共91页，创作于2023年2月其中为了使研究的结果具有普遍意义，将上式写成如下标准形式：记住该标准形式第36页，课件共91页，创作于2023年2月第37页，课件共91页，创作于2023年2月2、二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼()二阶系统

=cos

0-s1

ωn-σ

-s2

j

j

d

σ称为衰减系数，ωd叫做阻尼振荡频率第38页，课件共91页，创作于2023年2月c(t)对上式取拉氏反变换得：称为阻尼角第39页，课件共91页，创作于2023年2月稳态分量为1，表明上述二阶系统在单位阶跃信号作用下不存在稳态误差。瞬态分量由闭环传递函数的极点决定，衰减速度取决于衰减系数σ，振荡频率取决于第40页，课件共91页，创作于2023年2月临界阻尼()二阶系统

j

0-

nc(t)稳态分量为1，表明上述二阶系统在单位阶跃信号作用下不存在稳态误差。瞬态分量由闭环传递函数的极点决定，衰减速度取决于第41页，课件共91页，创作于2023年2月无阻尼()二阶系统

j

j

n-j

n

0阶跃响应：为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。第42页，课件共91页，创作于2023年2月过阻尼()二阶系统c第43页，课件共91页，创作于2023年2月第44页，课件共91页，创作于2023年2月3、欠阻尼二阶系统的动态过程分析第45页，课件共91页，创作于2023年2月1）延迟时间td

单位阶跃响应c第46页，课件共91页，创作于2023年2月2）上升时间tr

单位阶跃响应c第47页，课件共91页，创作于2023年2月

单位阶跃响应3）峰值时间tp第48页，课件共91页，创作于2023年2月

单位阶跃响应4）超调量σ%c第49页，课件共91页，创作于2023年2月第50页，课件共91页，创作于2023年2月5）调节时间ts

单位阶跃响应第51页，课件共91页，创作于2023年2月6）稳态误差第52页，课件共91页，创作于2023年2月二阶系统在斜坡信号作用下的稳态误差第53页，课件共91页，创作于2023年2月4、过阻尼二阶系统的动态过程分析c1）延迟时间td同欠阻尼情况相似（近似情况仍然成立）2）上升时间tr3）调节时间ts图3-17图3-16第54页，课件共91页，创作于2023年2月例3-6试讨论下图所示系统的动态性能指标同结构参数的关系。例3-7对于上图所示系统，若已知.试求

（1）系统的动态性能指标.

（2）若欲使，但保持不变时，K0应取何值？R(s)C(s)(-)第55页，课件共91页，创作于2023年2月5、二阶系统在斜坡信号作用下的响应（自己看）cc第56页，课件共91页，创作于2023年2月6、二阶系统的性能改善1）比例-微分(PD)控制第57页，课件共91页，创作于2023年2月令得到结论：第58页，课件共91页，创作于2023年2月系统的阶跃响应：c第59页，课件共91页，创作于2023年2月峰值时间、上升时间、延迟时间均提前，超调增大、振荡加剧、调节时间拉长。第60页，课件共91页，创作于2023年2月2）测速反馈控制第61页，课件共91页，创作于2023年2月第62页，课件共91页，创作于2023年2月例3-8

如图示某单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线，

试确定其开环传递函数。第63页，课件共91页，创作于2023年2月3.5高阶系统的时域分析1、高阶系统的单位阶跃响应用部分分式展开有：对上式进行拉氏反变换有：第64页，课件共91页，创作于2023年2月高阶系统性能分析：3）极点的性质决定瞬态分量的类型：实数极点非周期瞬态分量；共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。2）如果所有闭环极点都在s平面的左半平面，则随着时间t→∞，c(∞)=A0，系统是稳定的。极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；4）衰减系数pj、

k

k第65页，课件共91页，创作于2023年2月2、系统零点分布对时域响应的影响2）通常如果闭环零点和极点的距离比其模值小一个数量级，则该极点和零点构成一对偶极子，可以对消。1）系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。第66页，课件共91页，创作于2023年2月主导极点：距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点，对高阶系统的瞬态响应起主导作用。高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。3、闭环主导极点第67页，课件共91页，创作于2023年2月三阶系统二阶系统第68页，课件共91页，创作于2023年2月3.6线性系统的稳态误差计算稳定是系统工作的前提第69页，课件共91页，创作于2023年2月1、稳态误差的定义1）输入端定义：在实际系统中是可以测量的2）输出端定义：输出的期望值和实际值之差3）两种定义之间的关系第70页，课件共91页，创作于2023年2月根据终值定理，求稳态误差误差传递函数第71页，课件共91页，创作于2023年2月2、系统类型注意系统型别和阶次的区别将系统的开环传递函数写成时间常数形式：第72页，课件共91页，创作于2023年2月3、阶跃信号作用下的稳态误差输入信号：令称为静态位置误差系数第73页，课件共91页，创作于2023年2月4、斜坡信号作用下的稳态误差输入信号：令称为静态速度误差系数第74页，课件共91页，创作于2023年2月第75页，课件共91页，创作于2023年2月5、抛物线信号作用下的稳态误差输入信号：令称为静态加速度误差系数第76页，课件共91页，创作于2023年2月第77页，课件共91页，创作于2023年2月

减小或消除误差的措施：提高系统的型别

、增加开环增益

K。但会使系统的稳定性下降，振荡加剧，动态性能变差。第78页，课件共91页，创作于2023年2月例3-9设单位负反馈系统的开环传递函数为

试求系统的。例3-10引入比例加微分控制的系统结构图如图，若已知输

入信号为，试确定系统的稳态误差。C(s)R(s)

-第79页，课件共91页，创作于2023年2月C(s)R(s)

-系统的稳定性、准确性和快速性之间的矛盾关系！第80页，课件共91页，创作于2023年2月6、扰动信号作用下的稳态误差扰动造成的误差为：第81页，课件共91页，创作于2023年2月对扰动作用来讲，减小或消除误差的措施：增大扰动作用点之前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数。具有相同开环传递函数，但扰动作用点不同的两系统：C(s)

N(s)(-)E(s)R(s)

N(s)(-)E(s)C(s)R(s)第82页，课件共91页，创作于2023年2月

N(s)C(s)

R(s)(-)例3-11某单位负反馈控制系统结构图如图所示。试求系

统在给定输入信号和单位阶跃扰动输入信号

共同作用下系统输出量稳态误差。第83页，课件共91页，创作于2023年2月为了减小或消除给定稳态误差，必须增大系统的开环放大系数或增加前向通道传递函数中的零值极点个数；为了减小或消除扰动稳态误差，则必须增大E(s)到扰动作用点间传递系数的零值极点或增大放大系数。但稳定性变差。7、提高系统稳态精度的措施若输入信号和扰动信号可以检测时，可引进与给定作用有关或与扰动作用有关的附加控制构成复合控制的方法，减小稳态误差。还可以采用串级控制抑制内回路的扰动。第84页，课件共91页，创作于2023年2月1）按给定输入补偿的复合控制C(s)R(s)

-Gc(s)

G2(s)E(s)

G1(s)对给定作用实现完全不变性的条件第85页，课件共91页，创作于2023年2月2）按扰动输入补偿的复合控制C(s)R(s)

(-)Gc(s)G1(s)

G2(s)N(s)E(s)

(-)对扰动作用实现完全不变性的条件第86页，课件共91页，创作于2023年2月3）采用串级控制采用双闭环控制的转速控制系统，转速环为外环，电流环为内环。外环用来消除外部扰动（一次绕动），内环用来消除内部扰动（二次扰动）。详见P119（可结合P67作业2-16），自己看！第87页，课件共91页，创作于2023年2月1．系统的传递函数完全决定于系统的().A．输入信号B.输出信号C.结构和参数D.扰动信号2．线性定常控制系统的单位阶跃响应的类型完全决定于系统的()。

A．开环增益B.开环极点在S平面上的位置

C．型别D.闭环极点在S平面上的位置3