全国各地2022年数学高考真题及答案-(辽宁文)含详解

全国各地2022年数学高考真题及答案-(辽宁文)含详解2022年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供文科考生使用)第I卷(选择题共60分)口本试卷分第I卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页，第H卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。口参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式口P(A+B)=P(A)+P(B)S=4nR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径口P(A・B)=P(A)・P(B)球的体积公式口如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么V=43nR3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径口Pn(k)=CknPk(1-p)n-k(k=0,1,2，…，n)口一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合M=｛某|-3(某＜1|,N=｛某|某一-3｝,则M=N(A)(B)｛某|某三-3｝(C)｛某|某三1｝口(D)｛某|某＜1|口(2)若函数y=(某+1)(某-a)为偶函数，则a=(A)-2(B)-2(C)1(D)2(3)圆某2+y2=1与直线y=k某+2没有公共点的充要条件是(A)2,2(-£k)(B)3,3(-£k)(C)k),2()2,(+8--8j(D)k),3()3,(+8--8^(4)已知0<a<1,某=loga2loga3,y=,5log21az=loga3,则(A)某>y>z(B)z>y>某(。丫>某>29)2>某>y□(5)已知四边形ABCD的三个顶点人(0,2),8(-1,-2)<(3,1),且2二,则顶点D的坐标为(A)(2,27)(B)(2,—21)(C)(3,2)(D)(1,3)口(6)设P为曲线C：y二某2+2某+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为4,0n,则点P横坐标的取值范围为(A)--21,1(B)[-1,0](C)[0,1](D)1,21(7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(A)31(B)21(C)32(D)43(8)将函数y=2某+1的图象按向量a平移得到函数y=2某+1的图象，则(A)a=(-1,-1)(B)a=(1,-1)(C)a=(1,1)(D)a=(-1,1)⑼已知变量某、y满足约束条件口三+-＜一＜-+,01,013,01某y某y某y则z=2某+y的最大值为口第H卷(非选择题共90分)口二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.(13)函数23()某ye某+=-8+8的反函数是.口(14)在体积为的球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BCA、C两点的球口面距离为3n,则球心到平面ABC的距离为.(15)3621⑴()某某某++口展开式中的常数项为.(16)设(0,)2某五£,则函数22in1in2某y某+=的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)在AABC中，内角人，B,C,对边的边长分别是a,b,c.已知2,3cCn==.(I)若AABCa,b;(II)若in2inBA=，求△ABC的面积.口22(18)(本小题满分12分)某批发市场对某种商品的周销售量(单位：吨)进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：(II)若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求口(i)4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率;口(ii)该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率.口(19)(本小题满分12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A‘B'C'D‘中，AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF〃A/D,截面PQGH〃AD/.口(I)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直;口(I)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值;口(III)若12b=，求D/E与平面PQEF所成角的正弦值.(20)(本小题满分12分)口已知数列｛an｝,｛bn｝是各项均为正数的等比数列，设(N某)nnnbcna=£.(I)数列｛cn｝是否为等比数列？证明你的结论;口(I)设数列｛tnan｝,｛lnbn｝的前n项和分别为Sn,Tn.若12,口,21nnSnaTn==+求数列｛cn｝的前n项和.口(21)(本小题满分12分)在平面直角坐标系某Oy中，点P到两点（0,—3）、（0,3）的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.口（I）写出C的方程；口（II）设直线y=k某+1与C交于A、B两点.k为何值时OBOA,此时||的值是多少？（22）（本小题满分14分）设函数f（某）=a某3+b某2—3a2某+1（a、b£R）在某二某1,某二某2处取得极值，且|某1—某2|=2.（I）若a=1,求b的值，并求f（某）的单调区间；口（I）若a〉0,求b的取值范围.口2022年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第I卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.口第I卷（选择题共60分）口参考公式：如果事件AB,互斥，那么口球的表面积公式()()()PABPAPB+=+4nSR=如果事件AB,相互独立，那么其中R表示球的半径口()()()PABPAPB=球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么34n3VR=n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率口(012)kknknnPkCPpkn-=-=，，，，其中R表示球的半径口一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合。31M某某=-<<,。］3N某某二-W,则MN=(D)A.B.{}3某某-三口C.{}1某某三口D.{}1某某<答案：D解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。依题意{}31,M某某二-<<{}3N某某=-…，・・・{|1}MN某某二〈.口2.若函数(1)()y某某a二+-为偶函数，则a=(C)A.2-B.1-C．1D．2答案：C解析：本小题主要考查函数的奇偶性。(1)2(1)fa=-(1)0(1)ff-==1.a「♦二3.圆2口21某y+=与直线2yk某二+没有..公共点的充要条件是(B)口A.(kJB.(kJC.()k£-+iD.()k£-+i答案：B□解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆221某y+二与直线2yk某二+没有公共点1d=>(k£4.已知01a<<，loglogaa某=11。852@丫=口,loglogaaz二则(C)A.某yz>>zy某〉〉口y某z〉〉口z某y〉〉答案：C解析：本小题主要考查对数的运算。loga某=logay=logaz=由01a<(知其为减函数,y某z.・・〉〉5.已知四边形ABCD的三个顶点(02)A，,(12)B--,,(31)C,,且2BCAD二，则顶点D的坐标为(A)口A.722，B.122-，C.(32)，D．(13),答案：A解析：本小题主要考查平面向量的基本知识。(4,3),BC=(,2),AD某y二-且2BCAD=,22472432某某yy==・・.-==6.设P为曲线C：223y某某=++上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04n口，，则点P横坐标的取值范围为(A)A.112--,B.[]10-,C.[]01,D．112，答案:A]解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点P的横坐标口为0某,且0'22tany某a=+=(a为点P处切线的倾斜角)，又・.・[0,口]4na£,.・.00221某W+W,,・.01[1,].2某£一口7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(。口A.13B.12C.23D.34答案：C解析：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，二取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率11222342.63CCPC===8.将函数21某y=+的图象按向量a平移得到函数12某y+二的图象，则(A)口A．(11)=--，aB．(11)=-，aC．(11)=，aD．(11)=-,a答案：A解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数21某y=+的图象得到函数12某y+二的图象，需将函数21某y=+的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故(11).=--，a9.已知变量某y,满足约束条件1031010y某y某y某+——+口W,W,三，则2z某y二+的最大值为(B)口A．4B．2C．1D．4-答案：B□解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个三角形,其三个顶点为(01),，(10),，(12),--，验证知在点A．1A．1(10)，时取得最大值2.10．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有⑻□24种口36种口48种口72种口答案：B□解析：本小题主要考查排列组合知识。依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有2412A二种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有12A2424A二种；.,•则不同的安排方案共有21242436AAA+二种。口11.已知双曲线22291(0)ym某m-二〉的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15,则m=(D)□B．2C．3D．4答案：D解析：本小题主要考查双曲线的知识。222n91(0),,3ym某mabm-二＞==取顶点1(0,)3,一条渐近线为30,m某y-二2l|3|l9254.5mm-=+=・・・=12.在正方体HHABCDABCD-中，EF,分别为棱1AA,1CC的中点，则在空间中与三条直线11AD,EF,CD都相交的直线(D)□A.不存在口8.有且只有两条口口有且只有三条口D.有无数条答案：D解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力。在EF上任意取一点M,直线11AD与Ml确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N,当口M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的口交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点的.如右图：口第H卷(非选择题共90分)口二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.函数21()某ye某+=-<<+88的反函数是.答案：i(ini)(0)2y某某=->解析：本小题主要考查反函数问题。2n211n(ln1),2某ye口某y某y+=+==-所以反函数是1(ln1)(0).2y某某二->14.在体积为的球的表面上有A、B,C三点，AB=1,BCA,C两点的口，则球心到平面ABC的距离为.答案：32口解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为R,则口343VRn二二,口・・・R设A、C两点对球心张角为。，则口ACR9===,A3n0=,D・・・AC,・・・AC为ABC所在平口面的小圆的直径，・・・90ABCN=，设ABC所在平面的小圆圆心为'0,口则球心到平面ABC的距离为'dOO=3.2===15．6321(1)某某某++展开式中的常数项为．答案：35解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。考查621某某+的通项公式,66316621(),rrrrrrTC某C某某口相加得15+20=35.16.设02某五£口，，则函数22in1in2某y某+二的最小值为.口解析：本小题主要考查三角函数的最值问题。22in12co2,in2in2某某yk某某口+-===取(0,2),A22(in2,co2)1B某某某y-£+二的左半圆，作图(略)易知mintan603.k==三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在ABC△中，内角人8^,对边的边长分别是abc,,,已知2c二，3Cn=．(I)若ABC^ab,；口(II)若in2inBA=，求ABC△的面积.口本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力.满分12分.解：（1）由余弦定理得，224abab+-二，口又因为ABC41in2abC=4ab=. ・,4分口联立方程组2244ababab+-二二，，口解得2a二，2b二. 6分（II）由正弦定理，已知条件化为2ba=, 8分口联立方程组2242ababba+-二二，，口解得a=b二所以ABC△口的面积1in2SabC= 12分口18．（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量234频数205030(I)根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；(II)若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求口(i)4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；口(ii)该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率.口本小题主要考查频率、概率等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：(I)周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3. 4分(I)由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为(i)4110.70.7599P=-=.•••8分(ii)334240.50.30.30.0621PC=+二. 12分口19.(本小题满分12分)如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD''''-中，AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF〃AD',截面PQGH〃AD'.口（I）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（II）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（III）若12bq，求DE'与平面PQEF所成角的正弦值.本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．ABCDEFPQHA'B'C'D'G解法一：（I）证明：在正方体中，ADAD''，，ADAB'，，口又由已知可得PFAD'〃，PHAD'〃，PQAB〃，口所以PHPF，，PHPQL,所以PH，平面PQEF.口所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直・ 4 分（I）证明：由（I）知口PFPH'=，，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1,所以截面口PQEF和截面PQGH面积之和是口）PQ'= -8分（III）解：设AD'交PF于点N,连结EN,因为AD'，平面PQEF,口所以DEN'N为DE'与平面PQEF所成的角.因为1b=，所以PQEF,,,分别为AA',BB',BC,AD的中点.口可知DN'q,32DE'=．所以4in322DEN'==Z. 12 分口解法二：以D为原点，射线DA,DC,DD‘分别为某，y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D—某yz.由已知得1DFb二-，故口(100)A,,,(101)A',,,(000)D,,,(001)D',,,(10)Pb,,,(11)Qb,,,(110)Eb-,,,(100)Fb-,,,(11)Gb,,,(01)Hb,,.(I)证明：在所建立的坐标系中，可得口(010)(0)PQPFbb==--,,,,,,(101)PHbb=--,,,(101)(101)ADAD''=-=--,,,,,.ABCDEFPQHA'B'C'D'GN因为00ADPQADPF''二二，，所以AD'是平面PQEF的法向量.口因为00ADPQADPH''二二，，所以AD'是平面PQGH的法向量.口因为0ADAD''二，所以ADAD''，，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.…4分口(II)证明：因为(010)EF=-,,,所以EFPQEFPQ〃，口二，又PFPQL,所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形.口在所建立的坐标系中可求得)PHb二-，PF=，所以PHPF+=，又1PQ=所以截面PQEF和截面PQGH 8分口（III）解：由（I）知（101）AD'=-,,是平面PQEF的法向量.口由P为AA'中点可知，QEF,,分别为BB',BC,AD的中点.所以1102E,,,H12DE'=-,,,因此DE'与平面PQEF所成角的正弦值等于口co|ADDE''<>=, 12 分口20．（本小题满分12分）在数列{}na,{}nb是各项均为正数的等比数列，设（）nnnbcna=金某N.（I）数列{}nc是否为等比数列？证明你的结论；口（II）设数列{}lnna,{}lnnb的前n项和分别为nS,nT.若12a=，口21nnSnTn=+,求数列{}nc的前n项和.口本小题主要考查等差数列,等比数列,对数等基础知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：（1）nc是等比数列U. 2分口证明：设na的公比为11(0)qq>,nb的公比为22(0)qq>，则口11121110nnnnnnnnnncbabaqcabbaq+++++===W,故nc为等比数歹U. 5分(II)数列lnna和lnnb分别是公差为1lnq和21nq的等差数列.由条件得1112(1)1n1n22(1)211n1n2nnnaqnnnnbq-+口=-++,即111221n(1)ln21n(1)ln21anqnbnqn+-=+-+. •••7分故对1n=,2,…，口212111211(2lnln)(4lnln2lnln)(2lnln)0qqnaqbqnaq-+--++-=．于是121112112lnln04lnln2lnln02lnln0.qqaqbqaq-=--+=-=，，将12a二代入得14q=,216q二,18b= 10分从而有1816424nnnnc—==.所以数列nc的前n项和为24444(41)3口nn+++=-12分21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系某Oy中，点P到两点(0,(0的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.口(I)写出C的方程；口(II)设直线1yk某二+与C交于A,B两点.k为何值时OALOB?止匕时AB的值是多少？口本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．解：(I)设P(某，y),由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0(0,为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴1b=二,故曲线C的方程为2214y某+二. 4分(II)设1122()()A某yB某y,,,,其坐标满足口22141.y某yk某+==+，消去y并整理得22(4)230k某k某++-=,故1212222344k某某某某kk+=-6分O