近世代数习题解答

档，欢迎下载代数习题解答1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证不是一个群,因为不适合结合律.2.举一个有两个元的群的例子.4',5'来作群的定义:4'.G至少存在一个右单位元e,能让ae=a对于G的任何元a都成立5'.对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a1,能让证(1)一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa1=e因为由4'G有元a'能使a1a'=ee(2)一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即eaa这样就得到群的第二定义.这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到4',5'是不困难的.2单位元,逆元,消去律GxeG档，欢迎下载由但由但证由条件知G中的任一元等于它的逆元,因此对a,b=G有元的个数是偶数.总起来可知阶大于2的元a与a_1双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一数3.假定G是个数一个阶是偶数的有限群,在G里阶等于2的元的个数一定是奇数.证根据上题知,有限群G里的元大于2的个数是偶数;因此阶4.一个有限群的每一个元的阶都是有限的.由于G是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:n_m是整数,因而a的阶不超过它.4群的同态假定在两个群G和G_的一个同态映射之下,a)，a和的阶是不是一定相同?证不一定相同2222换群123→24→3…2→34→5…2.假定A是所有实数作成的集合.证明.所有A的可以写成xax+b,a,b是有理数,a0形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群?(2)显然时候结合律(3)a=1b=0则e:xxb12121221TT12aT[T(a)]=TT(a)来规定一个S的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这212个乘法来说e还是S的单位元.TaT(a)122121212现在证这个乘法适合结合律:123123123123123123123再证e还是S的单位元e:aa=e(a)T证设e是是变换群G的单位元T:ba=T(b)e(a)=ae(x)=x5.证明实数域上一切有逆的nn矩阵乘法来说，作成一个群。证G={实数域上一切有逆的nn矩阵}群2312311322133212.把S的所有的元写成不相连的循环置换的乘积3解:S的所有元用不相连的循环置换写出来是:3(1),(12),(13),(23),(123),(132).3.证明:(1)两个不相连的循环置换可以交换ii…i)一1=(ii…i)证(1)(ii…i)(i…i)=(i1i2…ikik+1…imim+1…in)(i1i2…ikik+1i+2…imim+1…in)12kk+1mii…iiiiii…iii…ii…i23k+1…mm+1…n12kk+2k+3k23k+1…mm+1…n12kk+2k+3k+1m+1nk+1k+2m12kii…iii…ii…iii…ii…ii…ikkkkmn1k+1mm+1n=(i1i2…ikik+1ik+2…imikkkkmn1k+1mm+1nii…iii…ii…i12kk+1mk+1m12kk证设=(ii…i)=(i1i2…ik)12kii i2=(i1 ik)231i i2i…ii…i1i…i1n证根据2.6.定理2。S的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积n而我们又能证明(ii…i)=(ii)(ii)…(ii)12k12131k1l1l1i…iki…iamnanmanam2．假设群的元a的阶是n，证明ar的阶是n这里d=(r,n)是r和n的最大公因子d证因为(r,n)=d所以r=dr,n=dn,而(r,n)=1113.假设a生成一个阶n是的循环群G。a生成一个阶n是的循环群G，可得生成元a的阶是n，这样利用上题即得所证，kk令v：ah1)1当且只当h=nq+k,1111kah1h=nq+k0共k〈n22221212121212那么ah1ah2)a=a=a1那么ah1ah2)a=a=a12=128子群档，欢迎下载234ⅲ)包含(1)及两个3—循环置换的集合是一个子群53ⅳ)包含(1)及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因(ij)(ik)=(ijk)不属于此集合只有一个出现一定不是子群因(ijk)2=(ikj)因(ij)(ijk)=(ik)ⅶ)3—循环置换及2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群因若(ij),(ik)出现则(ij)(ijk0=(jk)32.证明；群G的两个子群的交集也是G的子群。证H,H是G的两个子群，H=HnH1221H显然非空a,bH则a,bH同时a,bH2因HH是子群，故ab1H，同时ab1H12所以ab1HnH=H123群的两个不同的子集会生成相同的子群1S224．证明，循环群的子群也是循环群。Ga是循环群，H是G的子群档，欢迎下载bammkqrrkam=akq+r=akqar因amH，akq=(ak)q所以H=(ak)是循环群.证剩余类加群是循环群故其子群是循环群.(ⅱ)H=([0])1(ⅲ)([2])=([10])即H={[0],[2],[4],[6],[8],[10]}2(ⅳ)([3])=(9[])即H={[0],[3],[6][9]}3(ⅴ)([4])=([8])即H={[0],[4],[8]}4即H={[0],[6]}56.假定H是群G的一个非空子集,并且H的每一个元的阶都有限,证明,H作成子群的充要条件:a,bH推出abH证必要性显然充分性a,bH推出abH,(*)所以只证aH推出即可.aH,a的阶有限设为m由(*)可知am1H,因而a1H9子群的陪群1.证明阶是素数的群一定是循环群p：H=(apn1)是阶为p的G的子群.3.假定a和b是一个群G的两个元,并且ab=ba,又假定a的阶是m，设(ab)r=e.4.假定~是一个群G的元间的一个等价关系,并且对于G的任意三个元a,x,x'来说,ax~ax'x~x'证明与G的单位元e等价的元所作成的集合为H再由题设得ab1~e即ab1H这就证明了H是G的一个子群.5.我们直接下右陪集Ha的定义如下:Ha刚好包含G的可以写成ha(hH)G的每一个元属于而且只属于一个右陪集.证任取aG则a=eaHa这就是说,G的每一个元的确属于一个右陪集1212211这就证明了,G的每一个元只属于一个右陪集.6.若我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是4的群,它们都是交换群.证设G是阶为4的群.那么G的元的阶只能是1,2,4.1．若G有一个元的阶为4,则G为循环群;2.若G有一个元的阶为2,则除单位元外,其他二元的阶亦均未2.就同构的观点看阶为4的群,只有两个;由下表看出这样的群的确存在.循环群012300123112302230133012ccaaecbbcbcbeaae循环群是交换群，由乘法表看出是交换群1.假定群G的不变子群N的阶是2,证明,G的中心包含N.N是不变子群,对于任意aG有an又e是中心元显然.证明,两个不变子群的交集还是不变子群令证N=NnN,则N是G的子群.12123.证明:指数是2的子群一定是不变子群.证设群H的指数是2因此不论x是否属于H均有Hx=xH4.假定H是G的子群,N是G的不变子群,证明HN是G的子群。证任取hn=HN,hn=HNhn)(hn1=h(nhn2=h(hn)n112211221233112341但N却不是G的不变子群,原因是:1有限个换位子的乘积,故C对G的乘法是闭的.cC,gC即(xC)(yC)=(yC)(xC)就有(xN)(yN)=(yN)(xN)(xy)N=(yx)Nxyyxnn