初三数学圆及旋转题库 圆的基本概念及垂径定理

初三数学圆及旋转题库圆的基本概念及垂径定理一、基础知识填空2．连接_________的_________叫做弦．经过_________的_________叫做直径．并且直径是同一圆中_________的弦．5．如图，（1）若点O为⊙O的圆心，则线段_________是圆O的半径；线段_________是圆O的弦，其中最长的弦是_________；_________是劣弧；_________是半圆．（2）若∠A=40°，则∠ABO=_________，∠C=_________，∠ABC=_________．6．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=_________cm．7．如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=_________cm．8．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=_________cm，∠AOB=_________．9．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=_________，O点到AB的距离=_________．10．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是_________．11．如图，P是⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=_________．12．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于_________cm．二、解答题13．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．（1）求证：∠AOC=∠BOD；（2）试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．14．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数．15．已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的⊙O．16．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．17．已知：如图，试用尺规将它四等分．19．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．（选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸）．20．已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．21．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．22．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；（2）若CD=4cm，求AP+PB的最小值．23．有一座圆弧形的拱桥，桥下水平宽度7.2m，拱顶高出水平面2.4m．现有一货船，送一货箱欲从桥下经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m（货箱底与水平面持平）．问该货船能否顺利通过该桥？

初三数学圆及旋转题库第3讲：圆的基本概念及垂径定理参考答案与试题解析一、基础知识填空2．连接任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．并且直径是同一圆中最长的弦．考点：圆的认识．分析：根据：连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦，从而可填空．解答：解：连接任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．并且直径是同一圆中最长的弦．故答案为：任意两点、线段；圆心、弦；最长．点评：此题考查了圆的认识，属于基础概念的考查，解答本题的关键是熟练一些基本定义．5．如图，（1）若点O为⊙O的圆心，则线段OA或OB或OC是圆O的半径；线段AB或BC或AC是圆O的弦，其中最长的弦是直径AC；或是劣弧；是半圆．（2）若∠A=40°，则∠ABO=40°，∠C=50°，∠ABC=90°．考点：圆的认识．3766610分析：（1）根据半径、弦、直径及劣弧、半圆的定义作答；（2）根据等边对等角可知∠ABO=∠A；先根据三角形内角和定理求出∠AOB，再由圆周角定理得出∠C=∠AOB；根据直径所对的圆周角是直角可求出∠ABC的度数．解答：解：（1）若点O为⊙O的圆心，则线段OA或OB或OC是圆O的半径；线段AB或BC或AC是圆O的弦，其中最长的弦是直径AC；或是劣弧；是半圆．（2）∵OA=OB，∠A=40°，∴∠ABO=∠A=40°，∵∠AOB+∠ABO+∠A=180°，∴∠AOB=100°，∠C═∠AOB=50°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°．故答案为：OA或OB或OC；AB或BC或AC，直径AC；或；；40°，50°，90°．点评：本题主要考查了圆的有关定义，三角形内角和定理，圆周角定理等知识．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．6．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=6cm．考点：垂径定理；勾股定理．3766610分析：在△OBD中，利用勾股定理即可求得BD的长，然后根据垂径定理可得：AB=2BD，即可求解．解答：解：连接OB．∵在Rt△ODB中，OD=4cm，OB=5cm．由勾股定理得BD2=OB2﹣OD2=52﹣42=9．∴BD=3∴AB=2BD=2×3=6cm．故答案是6．点评：本题主要考查垂径定理，圆中有关半径、弦长以及弦心距的计算一般是利用垂径定理转化成解直角三角形．7．如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=8cm．考点：垂径定理；相交弦定理．3766610专题：计算题．分析：由AB⊥CD得，AE=BE，再根据相交弦定理，求得AB的长即可．解答：解：∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，∴AE2=CE•DE，∵DE=8cm，CE=2cm，∴AE=4cm，∴由垂径定理得，AB=2AE=2×4=8cm，故答案为8．点评：本题考查了垂径定理和相交弦定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．8．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=6cm，∠AOB=120°．考点：垂径定理；勾股定理．3766610专题：计算题．分析：由AB垂直于OC，根据垂径定理得到D为AB的中点，可得AB=2AD=2BD，再由AB平分OC，可得OD=CD，由半径OC的长求出POD的长，在直角三角形AOD中，由半径OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，可得出AB的长；由OA=OB，OD垂直于AB，根据三线合一得到OD为角平分线，可得出∠AOB=2∠AOD，而在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出sin∠AOD的值，利用特殊角的三角函数值求出∠AOD的度数，可得出∠AOB的度数．解答：解：设OC与AB的交点为D，如图所示：∵半径OC⊥AB，∴点D为弦AB的中点，即AD=BD=AB，又∵弦AB垂直平分OC，且OC=6cm，∴OD=CD=OC=3cm，在Rt△AOD中，OA=OC=6cm，OD=3cm，根据勾股定理得：AD==3cm，则AB=2AD=6cm，∵OA=OB，OD⊥AB，∴OC为∠AOB的平分线，即∠AOC=∠BOC=∠AOB，在Rt△AOD中，sin∠AOC===，∴∠AOC=60°，则∠AOB=2∠AOC=120°．故答案为：6；120°点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，垂径定理的内容为：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．9．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=a，O点到AB的距离=a．考点：垂径定理；勾股定理．3766610专题：计算题．分析：过O作OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，然后由OA=OB，且∠AOB为直角，得到三角形OAB为等腰直角三角形，由斜边AB的长，利用勾股定理求出直角边OA的长即可；再由C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角形OAC中，由OA及AC的长，利用勾股定理即可求出OC的长，即为O点到AB的距离．解答：解：过O作OC⊥AB，则有C为AB的中点，∵OA=OB，∠AOB=90°，AB=a，∴根据勾股定理得：OA2+OB2=AB2，∴OA=a，在Rt△AOC中，OA=a，AC=AB=a，根据勾股定理得：OC==a．故答案为：a；a点评：此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，在圆中遇到弦，常常过圆心作弦的垂线，根据近垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．10．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是2．考点：垂径定理．分析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．则四边形OMEN是矩形，则O到CD的距离ON=EM，根据垂径定理求得EM的长即可．解答：解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．则四边形OMEN是矩形．∵OM⊥AB于M，∴AM=MB=AB=（AE+BE）=（3+7）=5．∴EM=AM﹣AE=5﹣3=2．∴ON=EM=2．故答案是：2．点评：本题考查了垂径定理的应用，正确作出辅助线，构造矩形OMNEN是关键．11．如图，P是⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=．（三）探究性阅读阶段（安排2周左右）首先连接BC，由⊙O的弦AB（四）总结阶段（安排1周左右）：本阶段准备开展《西游记》影视欣赏、读书笔记展评、读书经验交流会等活动，一方面继续调动学生课外阅读的积极性，另一方面帮助教师检测学生的阅读成果。四、活动评价：每学年进行一次活动评价，包含参照学生读书笔记等材料进行的过程性评价，和通过设计名著阅读试卷对学生进行的总结性评价。解答：2、了解小说的思想内容和艺术特色（安排2课时）由教师开设一次“名著欣赏专题讲座”，帮助学生更好地了解名著的思想内容和艺术特色；然后，组织学生根据讲座指导，查找资料，完成一篇读书笔记，尝试分析小说的思想内容、艺术特色。考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为C，由垂径定理求得AC，再由勾股定理求得OC，再在直角三角形OPC中，利用勾股定理求得PO即可．解答：解：如图，连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为C，∵PA=6，PB=2，初中语文研究性学习方案——名著阅读梁家墩中心学校王红英为了提高学生阅读名著的兴趣，让他们初步掌握文学名著鉴赏技巧，扩大阅读范围，我制定了“初中语文名著阅读研究性学习方案”：一、活动目的：1、以人类的先进文化影响学生，引导学生发展个性，健全人格。∴OP===．二、阅读任务：根据《课程标准》的要求和学生实际，参照语文版教材中“名著引读”评介的书目，遵循经典、循序渐进和课内外结合的原则，选定课外名著必读书目如下：阅读书目：《西游记》、《童年》、《水浒传》、《鲁滨逊漂流记》、《家》、《钢铁是怎样炼成的》（上述书目要求全体学生按时按量共同阅读，教师进行统一的指导和评价。另外，推荐《三国演义》、《汤姆?索亚历险记》等数十部中外名著作为选读书目，鼓励那些学有余力的学生按照自己的兴趣选择阅读。）12．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O周左右）本阶段要求学生以泛读为主，每周阅读十回左右的内容。每周设计作业如下：1、摘抄语段：摘抄本周阅读到的精彩语段，并做简单点评；2、内容概括：概括本周阅读的内容，不少于500字；3、写读后感：每篇围绕一个中心来写，力求有自己的见解，不少于500字。（考虑到学生差异，不同程度的学生可以从以上作业中任选其二来完成。）本阶段，教师以培养学生阅读兴趣，形成良好阅读习惯为中心目标，每周抽查学生作业并做有针对性的指导。在逐回阅读完全书后，安排1圆周角定理；勾股定理．解：连接BC，∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∴BC是⊙O的直径，∵AB=6cm，AC=4cm，∴BC==2（cm），∴⊙O的半径为：cm．故答案为：．点评：此题考查了圆周角定理与勾股定理．此题难度不大，解题的关键是掌握90°的圆周角所对的弦是直径定理的应用．二、解答题13．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．（1）求证：∠AOC=∠BOD；（2）试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．考点：垂径定理；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由于OA=OB，OC=OD，利用等边对等角易得∠A=∠B，∠OCD=∠ODC，而利用三角形外角性质可得∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠BOD+∠B，从而可得∠A+∠AOC=∠BOD+∠B，再利用等量相减，差相等可得∠AOC=∠DOB；（2）过O作OE⊥AB于E，利用垂径定理有AE=EB，CE=ED，于是AE﹣CE=BE﹣DE，即AC=BD．解答：证明：（1）∵OA=OB，OC=OD，∴∠A=∠B，∠OCD=∠ODC，∵∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠BOD+∠B，∴∠A+∠AOC=∠BOD+∠B，∴∠AOC=∠DOB；（2）过O作OE⊥AB于E，∴AE=EB，CE=ED，∴AE﹣CE=BE﹣DE，即AC=BD．点评：本题考查了垂径定理、三角形外角性质、等边对等角，解题的关键是作辅助线OE．14．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数．考点：等腰三角形的性质；圆的认识．分析：求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题．解答：解：连接OD，∵AB=2DE=2OD，∴OD=DE，又∠E=18°，∴∠DOE=∠E=18°，∴∠ODC=36°，同理∠C=∠ODC=36°∴∠AOC=∠E+∠OCE=54°．点评：本题主要考查了三角形的外角和定理，外角等于不相邻的两个内角的和．15．已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的⊙O．考点：作图—复杂作图．专题：作图题．分析：分别作BC、AC的垂直平分线，相交于点O，然后以点O为圆心，以OB长为半径画圆，即可得解．解答：解：如图所示，⊙O即为所求作的圆．点评：本题考查了三角形外接圆的作法，作三角形任意两边的垂直平分线，找出三角形的外心是解题的关键．16．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．3766610专题：探究型．分析：作OM⊥CD于点M，连接OC，在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM的长，然后在直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得CD的长．解答：解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM=CD，∵BE=1，AE=5，∴OC=AB===3，∴OE=OB﹣BE=3﹣1=2，∵Rt△OME中，∠AEC=30°，∴OM=OE=×2=1，在Rt△OCM中，∵OC2=OM2+MC2，即32=12+CM2，解得CM=2，∴CD=2CM=2×2=4．答：CD的长为4．点评：本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，解答此类题目时要先作出辅助线，再利用勾股定理求解．17．已知：如图，试用尺规将它四等分．考点：作图—复杂作图．3766610专题：作图题．分析：连接AB，作AB的垂直平分线交与点C，连接AC、BC，并分别作AC、BC的垂直平分线，与相交于点E、F，则点C、E、F即为的四等分点．解答：解：如图所示，点C、E、F把四等分．点评：本题考查了作弧的等分点，熟练掌握垂径定理以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．19．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．（选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸）．考点：垂径定理的应用．3766610分析：先根据垂径定理求出AD的长，然后在Rt△AOD中，运用勾股定理将圆的半径求出，进而可求出直径CE的长．解答：解：本题用现在的数学语言表述是：“如图所示，CE为⊙O的直径，CE⊥AB，垂足为D，CD=1寸，AB=1尺，求直径CE长是多少寸？”设直径CE的长为2x寸，则半径OC=x寸．∵CE为⊙O的直径，弦AB⊥CE于D，AB=10寸，∴AD=BD=AB=5寸，连接OA，则OA=x寸，根据勾股定理得x2=52+（x﹣1）2，解得x=13，CE=2x=2×13=26（寸）．故所求直径为26寸．点评：此题是一道古代问题，考查了垂径定理和勾股定理的应用．通过此题，可知我国古代的数学已发展到很高的水平．20．已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．考点：垂径定理；解直角三角形．专题：分类讨论．分析：根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．解答：解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，∴∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．∴∠BAC=15°或75°．点评：本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．21．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．考点：垂径定理；勾股定理．专题：分类讨论．分析：分情况进行讨论，（1）如图，AB和CD再圆心的同侧，连接OB，OD，作OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出ON⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM﹣ON，通过计算即可求出MN的长度，（2）AB和CD在圆心两侧，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出MN⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM+ON，通过计算即可求出MN的长度．解答：解：（1）如图1，连接OB，OD，做OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM﹣ON，∴MN=8cm，（2）如图2，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM+ON，∴MN=22cm．∴平行弦AB，CD之间的距离为8cm或22cm．点评：本题主要考查垂径定理和勾股定理的运用，平行线间的距离的定义，平行线的性质等知识点，关键在于根据题意分情况进行讨论，正确的做出图形，认真的做出辅助线构建直角三角形，熟练运用垂径定理和勾股定理推出OM和ON的长度，利用数形结合的思想即可求出结果．22．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；（2）若CD=4cm，求AP+PB的最小值．考点：垂