专题16数列求和-倒序相加-高考数学重难点专题训练

专题16数列求和—倒序相加已知函数，当、，且时，总有．求的值．设，求．2.一般地，如果函数的图象关于点对称，那么对定义域内的任意，则恒成立已知函数的定义域为，其图象关于点对称．Ⅰ求常数的值；Ⅱ解方程：；Ⅲ求证：3.已知函数在上的最大值与最小值之和为，记．求的值；求证：为定值；求的值．4.已知函数．若，求的值；求的值．5.设，是函数的图象上的任意两点．当时，求的值；设，其中，求；6.已知函数满足，．求实数和的值；若，其中，求的值．7.已知且是上的奇函数，且．求的解析式；若关于的方程在区间内只有一个解，求取值集合；设，记，是否存在正整数，使不等式对一切均成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由．8.设，且为奇函数．Ⅰ求实数的值；Ⅱ设函数，令，求；Ⅲ是否存在实数，使得不等式对任意的及任意锐角都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】解取，则，所以．因为当、，且时，总有，所以，，因为，故两式相加得：，所以．【解析】本题考查函数的求值，考查数列的求和方法：倒序相加求和，考查运算能力，属于较易题．由题意，可令，代入函数，计算即可得到；由当、，且时，总有，运用倒序相加求和方法，即可得到．2.【答案】解：函数的图象关于点对称，，；解：由知，或；证明：设可写成两式相加，由于，，所以．【解析】本题考查了函数的对称性，考查倒序相加法求和及求解对数方程，属于中档题．利用函数的图象关于点对称，可得，代入化简，可得结论；由知，，代入化简方程，可求方程的解；利用，倒序相加，可得结论．3.【答案】解：函数在上的最大值与最小值之和为，而函数在上单调递增或单调递减，，解得，或舍去，；证明：由知，，，由知，．，，，，令则得．【解析】本题考查了指数函数的单调性及其应用，利用指数运算性质化简求值，倒序相加的求和思想，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．因为函数在上单调递增或单调递减，所以最大值和最小值一定取到端点处，列方程即可解得值；利用指数运算性质，代入函数解析式即可化简证明；注意到和式中的自变量的特点，利用的结论，运用倒序相加即可得到4.【答案】解：函数，，．【解析】本题主要考查与指数函数有关的基本运算，考查了函数值的求法以及倒序相加法求和，属于中档题．由函数，将和代入，结合指数的运算性质，可得当时，，由的结论，两两结合，即可得到答案．5.【答案】解：，是函数的图象上的任意两点，，，且时，即，；由可得，，，，得，，，．【解析】本题考查函数值的求法，数列的前项和的求法，考查运算能力，解题时要注意倒序求和法的合理运用．由，推导出；由可得，利用倒序相加求和法得到，由此能求出．6.【答案】解：满足，，解得，；由可知，，，而，，，．【解析】本题考查了函数的解析式、倒序相加求和，考查了学生的观察分析能力．待定系数法联立方程组可解得，的值，由，先求出的值，由此发现规律即可求得．7.【答案】解：由奇函数的性质可得：，解方程可得：．此时，满足，即函数是奇函数．，或负值舍去，的解析式为：；函数的解析式为，结合指数函数的性质可得，是定义域内的增函数，由，即，由是定义域内的增函数，可得在区间内只有一个解．转化为在区间内只有一个解．当时，，符合题意；当时，，当时，，解得，此时对称轴为直线，满足题意；当时，若，解得且，显然满足题意；若，解得，此时对称轴为直线，可得在内有两解，，不满足题意．综上，取值集合或．函数是奇函数．关于对称，，，，得．，，即，当时，等号成立，当时，，时，，，解得且，当时，，时，，，解得且，综上，不存在满足条件的，所以不存在正整数，使不等式对一切均成立．【解析】本题考查了函数的奇偶性，单调性的应用，不等式恒成立问题，考查转化思想，属于较难题．利用奇函数得到关于实数的方程，解方程求得，再代入的值求出；结合函数的单调性和函数的奇偶性转化求解即可；由函数的对称性及图象平移规律可得，，代入，分类讨论即可求解．8.【答案】解：Ⅰ依题意，，解得，经检验符合题意；Ⅱ，又，，，；Ⅲ易知在上为增函数，则原不等式等价于，即，由于，故，两边同时除以得，，令，又令，则，，令，由于，故，而当时，单调递减，其有最小值，存在符合要求的实数，且．【解析】本题考查函数性质的综合运用，考查换元思想，