历年高中数学联赛真题分类汇编55复数

1/3备战高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题55复数第二缉1．【2016年福建预赛】已知z∈C.若关于x的方程x2−2zx+34+i=0【答案】1.【解析】设z=a+bi>i(a、b∈R)，x=x0为原方程的一个实根.则x⇒≥58+从而，|z|的最小值为1.2．【2016年安徽预赛】化简i+12016【答案】2【解析】由i+12类似地，i−12016故i+120163．【2016年全国】设复z、w满足z=3,z+wz−w【答案】65【解析】由运算性质知:7+4i=z+由z2⇒z又z=3⇒则z+2w因此，z+2wz−2w4．【2016年上海预赛】复数z满足z=1【答案】x【解析】因为z=1，所以，z设z2w=3cos消去θ，得点W所表示的曲线方程为x25．【2016年江苏预赛】已知复数z1、z2满足【答案】3520【解析】注意到，z=203=3520．①而当z1即z1=10+223因此，z16．【2016高中数学联赛（第01试）】设复数z、w满足|z|=3,(z+w)(z−w)=7+4i，其中i是虚数单位，z,w分别表示z、w【答案】65【解析】由运算性质，7+4i因为|z|2与|w|故|z|又|z|=3，所以|w|从而(z+2w因此，(z+2w)(z7．【2015年全国】已知复数数列{zn}满足z1=1，zn+1=【答案】2015+1007【解析】由已知得对一切正整数n，有zn+2=z故z2015故答案为：2015+10078．【2015年天津预赛】设复数z=cos4π7【答案】2【解析】由已知得z满足方程z7由z7−1=z−1z6z1+z=1+=1+z分子为z==1+z+=21+z+故z1+9．【2015年四川预赛】已知复数z=4+2i【答案】3【解析】z10．【2015年安徽预赛】设z=x+yi（x 、  y∈R，【答案】3【解析】注意到，Re=⇔x−故满足条件的点集为圆盘x−在实轴上方部分，计算得其面积为3π11．【2015年山东预赛】复数z满足z=5,且3+4i【答案】z=±【解析】由已知得3+4iz⇒3+4i12．【2015年辽宁预赛】已知复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点在第二象限,且z1+i>2.则实数【答案】a<−1【解析】由题意,知a<0.又z1+iz1+i⇒2a从而,a<−1.13．【2015年江苏预赛】关于x的方程x2【答案】2−【解析】由x−a2又x2因为a<0，所以，a=2−14．【2015年湖南预赛】满足使I=12【答案】3【解析】由I=1知所求n的最小值为3.15．【2015年福建预赛】在复平面内，复数z1、z2、z3【答案】1,3【解析】设z1x1z1设复数z1+z由z1+z2−又OP=2，因此，2−1≤OZ3≤2+116．【2015高中数学联赛（第01试）】已知复数数列{zn}满足z1=1,zn+1=zn+1+ni(n=1,2,⋯)，其中i为虚数单位，zn【答案】2015+1007【解析】由已知得，对一切正整数n，有zn+2于是z17．【2020年吉林预赛】设复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A、B,且|z1|=4,4zA.83 B.43 C.63 【答案】A【解析】注意到,2z1则|z2|=8,z1故S=1218．【2019年吉林预赛】若复数z满足|z|<1且z+1zA.45 B.34 C.12 【答案】C【解析】z+1z=z19．【2018年天津预赛】设复数z满足z=1，i是虚数单位，则z+1A．42 B．43 C．52【答案】D【解析】注意z+1我们有z+1+i也就是说，它表示点z到3-4i的距离的2倍.由于z在单位圆上，易知上式的取值范围是42故答案为：D20．【2017年天津预赛】设复数z满足|z−|z+1||=|z+|z−1||,则下列判断错误的是( )(A)z可能为纯虚数(B)z可能为实数(C)z的实部小于2(D)z的辐角可能为π【答案】D【解析】提示：原式两端平方,可得z−z+可整理得z+由此可见,要么z+z=0,即z为纯虚数;要么z+21．【2017年黑龙江预赛】复数z=2+i2(A)第一象限 (B)第二彖限 (C)第三象限 (D)第四象限【答案】B【解析】提示：根据复数运算法则可知,Z=−22．【2016年四川预赛】若复数z=32+A．-1B．−iC．iD．1【答案】D【解析】易得z3=i，则23．【2016年辽宁预赛】设复数z满足|z|=1.则|zA．42B．33C．2【答案】B【解析】由条件不妨设z=a+bi．于是，a2+b故|z易知，当b=12时，上式取最大值27．从而，所求的最大值为24．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】已知复数zn满足z1=32【答案】3【解析】对n∈N∗an因此an又由z1=32知,进而bn+1即bn所以当n≥2时,于是z202125．【2019年全国】称一个复数数列zn为“有趣的”，若|z1|=1，且对任意正整数n，均有4zn+12+2znzn+1【答案】3【解析】一方面，取z1=1,z则limm→∞z1另一方面，由条件可得zn+1=zn2ω±1，不失一般性，可不妨设z及z2=ω2（否则可用z设zn=ω记集合Ai并设A2=u则u1故uiz1=3≥Re=n∈=n∈≥3即Cmax26．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】称一个复数数列{zn}为“有趣的”，若|z1|=1，且对任意正整数n，均有4zn+12+2znzn+1+【答案】3【解析】考虑有趣的复数数列{zn}.归纳可知zn≠0(n∈N+).由条件得4zn+1z因此zn+1故zn=z1进而有zn+zn+1记Tm当m=2s(s∈N+)时，利用②可得Tm当m=2s+1(s∈N+)时，由①、②可知z2s+1故Tm当m=1时，T1以上表明C=3另一方面，当z1=1,z2k此时lims→∞这表明C不能大于33综上，所求的C为3327．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设复数数列{zn}满足:z1=1，且对任意正整数n，均有证明:对任意正整数m，均有z1【答案】证明见解析【解析】归纳可知zn≠0n∈解得zn+1因此zn+1zn=zn+1进而有zn+zn+1当m为偶数时，设m=2s(s∈N+).利用②可得z1当m为奇数时，设m=2s+1(s∈N).由①、②可知z2s+1故z1综上结论获证28．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设复数z1,z2满足Rez1>0,Rez(1)求Rez(2)求z1【答案】(1)2；(2)42【解析】(1)对k=1、2，设zk由条件知xk因此Re=⩾y又当z1=z这表明，Rez(2)对k=1、2，将zk对应到平面直角坐标系xOy中的点Pkxk,yk，记P2'是P设F1,F2分别是根据双曲线的定义