数列的特征值法与不动点法

A=11A=11，于是aB=— 、2=1+2”—1.例2.2已知数列｛a｝满足a1=1,a2=2,4a2=4a1—a(”eN*)，求数列｛a｝的通项a形如|气2=pa心+qa”型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列｛匕-an_｝的形式求解。方法为：设an+2-ka”+i=h(a”+i-ka”)，比较系数得h+k=p,_hk=q，可解得h、k，于是｛an+i—ka)是公比为h的等比数列，这样就化归为an+1=pa”+q型。设递推公式为a”+i=pa”+qa_1,其特征方程为担=px+q，即x方法二：作特征方程x2-3x+2=0,解得x=1,x2=2:.a方法二：作特征方程x2-3x+2=0,解得x=1,x2=2:.a=Axi+Bx”=A+B-2”1、 若方程有两相异实根x牛x，则a=Axn+Bxn；1 2 n1 22、 若方程有两相等实根x1=x2，则a”=(A+Bn)x”.其中A,B可由初始条件确定。—2a(neN*)，求数列｛a”｝的通项a”例2.1已知数列｛a—2a(neN*)，求数列｛a”｝的通项a”方法一：令a+Xa=p(a+Xa)；于是(* 七解得J1 ［或J2》n+2 ”+1'n+1 ”' g=_2 早=2早=1a_a =2(a_a)；Aia_a｝是以1为初项，2为公比的等比数列.TOC\o"1-5"\h\z”+2 ”+1 ”+1 ” ”+1 ”a_a=2n-1 ①a"'-2a=a_2a；A｛a_2a｝是以-1为初项，1为公比的等比数列(常数列).”+2 ”+1 ”+1 ” ”+1 ”a-2a=—1 ②①-②得a=1+2n-1”注：①式错位相消亦可解出a”.=(A+Bn)%w-i=(A+1=(A+Bn)%w-i=(A+1=A+B=|(A+2B)，解得A=—之，于是"=B=3 »3n-22口-1方法——：化简♦=a——a,令a+ka=日(。+人a),n+2 n+14n 〃+2 n+1 n+1nTOC\o"1-5"\h\z/ r1|lx—X=1X=X=—于是.1,解得方法二：作特征方程4x2-4x+1=0,解得尤=尤方法二：作特征方程4x2-4x+1=0,解得尤=尤1 2LlA= 14 =~〔122a -1" =l(ia :.[aa[是以，为初项」为公比的等比数列n+2 2〃+1 2 h+1 2nIn+2 2〃+lJ2 2a --a =— 2n+ia -2，s =3」2，s｝是以1为初项，3为公差的等差数列.n+2 2H+l2几+1 n+2 n+1 n+12s=1+3〃,*=1+3〃,.*=3〃-2〃+i w+i2〃n2〃-i分式数列a=".七*b通项公式n+—1=En="「，""Nc—1=En="「，""N分式线性递推数列a="气+?(a,b,c,deR,c丰0),其特征方程为尤=监+七n+1c-a+d cx+d即cx2+(d—a)x—b=0,1、若方程有两相异实根x黄x/则[当二|成等比数列，其公比为；1 2 [a-x2J a—cxc成等差数列，其公差为 a—cx02、若方程有两相等实根xc成等差数列，其公差为 a—cx0Vn0例.(1)设数列4｝满足a=3,a= -,求a.n1 n+1a+4n. 7x—2 解:令x= ，解得尤=1,x=2. —1=7a-2—1=6(a-1)n+1 a+4a+4nna—2=7nna—2=7a；—2—2=5(a—2)n+1 a+4两式相除得£二=6a—251是以心[a—2J a—2 =2-(9)n—1,.，.aa—2 5n n a+4a—1a—2=2为首项，5为公比的等比数列.4-6n-1—5n-12-6n-1—5n-1(2)已知数列｛%｝满足匕=2,a=2—1,neN*，求通项a..n—1解：a=2—]= ——-，令x=~-,解得尤=1naa x 0a—1= ——,取倒数得一-—=—^n——=1+—-—na a—1a—1a—1n—1即L一^^