新高考视角下的导数新授课：泰勒展开式及应用

泰勒展开式及其在命题中的应用本讲主要研究以泰勒展开式为背景的导数命题模式.泰勒展开式应该是高中导数命题中最常用的高等背景，以其为背景的一阶导数（切线）放缩，二阶放缩等活跃于高考试题和各地模考试题中.本节，我们将通过一些典型例题来展示其中的泰勒身影，探析其中常见的命题手法.一．基本命题原理泰勒展开式（泰勒级数）：多项式：公式：泰勒公式时的麦克劳林公式：几个重要的不等式由泰勒公式，我们可以得到几个重要的不等式：3.1；3.2；3.3.3.4，3.5.，二．命题手法展示1.不等式放缩与恒成立例1.（2013新课标Ⅱ）已知函数（1）设是的极值点，求,并讨论的单调性；（2）当时，证明．命题手法分析：第二问考察泰勒一阶展开式：，所以可得：，这就是第二问的命题背景.例2.（2021八省新高考适应考试）已知函数，.（1）略；（2）若，求.命题手法分析：由泰勒展开：将上述三个式子相加，甩掉二次以上的项，就可以得到不等关系：因此，此题的背景就出来了，结果就是.下面我们尝试对对数的泰勒展开式进行变形处理：将代入上式，可得：，这就是下面这道高考试题的命题背景.例3.已知函数，，当时，证明：当时，；当时，恒成立，求的取值范围．解析：（2）即,尝试泰勒展开，有,化简得,所以.例4.已知函数，其中为自然对数的底数，为正整数．若函数在处取得极值，且．（1）求的极值；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（参考数据：）解析：（2）问题转化为时,恒成立因为在处的泰勒展并式为在处的泰勒展开式为,故有,根据题意,得,故实数的范围是例5.（2015北京）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：当时，；（3）设实数使得对恒成立，求的最大值．由上述结论易得结论，此处不再赘述.2.泰勒展开处理极值问题下面我们再用泰勒公式来分析2018年全国三卷的命题背景，这道题目当年是全国卷中最难的一道导数题目，现在用泰勒公式来加以分析.例6.（2018全国卷Ⅲ）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．命题手法分析：由泰勒展开式可得[1]：①可以看到，在附近，的函数值变化主要依赖于展开式中3次项，于是可以得到近似估计：，这样的话，欲使得在处取得极大值，就必须使得，否则，由可知，不是函数的极大值点.此时，将代入①中可得：显然，是函数的极大值点，于是此题的结果就出来了.注：此做法如果清楚命题背景，那就应该明白前两次导函数在处为零，即三阶以上的导数才能求得参数.例7.已知是函数的极大值点，则的取值范围是A．B． C． D．解析：知在零处的泰勒展开为即,因为是的一个极大值点,所以二次项系数必须小于零，即,在处（带有佩亚诺余项）的泰勒展开式为,一般应用前两项即可.当时，也满足最低偶次项即系数小于零，所以故答案为故选.例8.已知函数，．（1）若，证明：当时，；（2）若是的极大值点，求正实数的取值范围．解析：(1)由题意,易证,详细证明请看切线章节,所以,故原式得证;(2)由泰勒展开式得,当时,有,故,即,故3.比较大小例9.（2022全国甲卷）已知，试比较三个数的大小.解析：根据题意，构造函数.则可以看到：，由于较小，所以对上述三个函数在处进行四阶泰勒展开：；，.显然，在时，，故.（公众号：凌点数学）习题演练练习1.（2017清华领军计划）已知函数，且，恒成立.则的取值范围为_______.解析：由于令，，故对进行二阶泰勒展开可得：故，在的右临域内，函数的性态由其一次项决定，若，那么在内，与题干矛盾，故.（公众号：凌点数学）练习2.（2021山东模拟）已知函数.（1）证明：时，；（2）设，若对任意实数，都有，求的值.解析：（2）记，注意到时，.由于恒成立，故即为函数的极小值点（最小值点）.下面我们将与进行泰勒展开：，，代入的表达式，于是可得：，故在处的泰勒展开：.可以看到，若，则存在实数使得在的邻域满足，这与为函数的极小值点（最小值点）矛盾，故得到.练习3．已