中考数学二次函数最后一道大题练习卷

1、如图1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为．（1）求抛物线的解析式；（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）连接，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．2、如图9（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）如图9（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．

3、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资成本x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资成本x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资成本的单位：万元）图①

图②（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，请求出他所获得的总利润Z与投入种植花卉的投资量x之间的函数关系式，并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？4、如图，为正方形的对称中心，，，直线交于，于，点从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿方向以个单位每秒速度运动，运动时间为．求：（1）的坐标为

；（2）当为何值时，与相似？（3）求的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值及的最大值．5、如图①，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为，顶点C,D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P,Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求正方形ABCD的边长．（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P,Q两点的运动速度．（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（3）若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）。11、如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点．（1）求直线所对应的函数关系式；（2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：①点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由．12、OM是一堵高为2.5米的围墙的截面，小鹏从围墙外的A点向围墙内抛沙包，但沙包抛出后正好打在了横靠在围墙上的竹竿CD的B点处，经过的路线是二次函数图像的一部分，如果沙包不被竹竿挡住，将通过围墙内的E点，现以O为原点，单位长度为1，建立如图所示的平面直角坐标系，E点的坐标(3，)，点B和点E关于此二次函数的对称轴对称，若tan∠OCM=1(围墙厚度忽略不计)。

(1)求CD所在直线的函数表达式；(2)求B点的坐标；(3)如果沙包抛出后不被竹竿挡住，会落在围墙内距围墙多远的地方?13、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。

（1）试用含a的代数式表示b；（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。14、如图，抛物线交轴于A．B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C．D两点.（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A．B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.15、已知四边形是矩形，，直线分别与交与两点，为对角线上一动点（不与重合）．（1）当点分别为的中点时，（如图1）问点在上运动时，点、、能否构成直角三角形？若能，共有几个，并在图1中画出所有满足条件的三角形．（2）若，，为的中点，当直线移动时，始终保持，（如图2）求的面积与的长之间的函数关系式．

答案解析1、解：（1）由题意可设抛物线的解析式为．抛物线过原点，．．抛物线的解析式为，即．（2）如图1，当四边形是平行四边形时，．由，得，，，．点的横坐标为．将代入，得，；根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时点的坐标为，当四边形是平行四边形时，点即为点，此时点的坐标为．・・・・・（3）如图2，由抛物线的对称性可知：，．若与相似，必须有．设交抛物线的对称轴于点，显然，直线的解析式为．由，得，．．过作轴，在中，，，．．．与不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．所以在该抛物线上不存在点，使得与相似．2、解：（1）∵抛物线经过A（-1，0）、B（0，3）两点，∴

解得：

抛物线的解析式为：

∵由，解得：∴

∵由∴D（1,4）

（2）∵四边形AEBF是平行四边形，∴BF=AE．设直线BD的解析式为：，则

∵B（0，3），D（1,4）∴

解得：

∴直线BD的解析式为：

当y=0时，x=-3

∴E（-3，0），∴OE=3，∵A（-1，0）∴OA=1，

∴AE=2

∴BF=2，∴F的横坐标为2，

∴y=3，

∴F（2，3）；（3）如图，设Q，作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，且P（2，3），∴AR=+1，QR=，PS=3，RS=2-a，AS=3

∴S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA==∴S△PQA=

∴当时，S△PQA的最大面积为，此时Q

3、（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），所以2=k•1，k=2，故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x，∵该抛物线的顶点是原点，∴设y2=ax2，由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），∴2=a•22，，故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y2=x2；（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8－x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=2（8－x）+x2=x2－2x+16=（x－2）2+14，当x=2时，z的最小值是14，∵0≤x≤8，∴当x=8时，z的最大值是32．4、（1）Ｃ（４，１）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

２分（３）Ｓ＝－ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ｔ２－２ｔ（ｔ＞４）（1分）当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，（1分）

Ｓ＝

（1分）当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝，

Ｓ＝

（1分）当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝，

Ｓ＝

（1分）5、解：（1）作BF⊥y轴于F。因为A（0，10），B（8，4）所以FB=8，FA=6所以（2）由图2可知，点P从点A运动到点B用了10秒。又因为AB=10，10÷10=1所以P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位。（3）方法一：作PG⊥y轴于G则PG//BF所以，即所以所以因为OQ=4+t所以即因为且当时，S有最大值。方法二：当t=5时，OG=7，OQ=9设所求函数关系式为因为抛物线过点（10，28），（5，）所以所以所以因为且当时，S有最大值。此时所以点P的坐标为（）。（4）当点P沿AB边运动时，∠OPQ由锐角→直角→钝角；当点P沿BC边运动时，∠OPQ由钝角→直角→锐角（证明略），故符合条件的点P有2个。6、解：（1）作于点，

如图所示，则四边形为矩形．又在中，由勾股定理得：（2）假设与相互平分．由则是平行四边形（此时在上）．即解得即秒时，与相互平分．（3）①当在上，即时，作于，则即=当秒时，有最大值为②当在上，即时，=易知随的增大而减小．故当秒时，有最大值为综上，当时，有最大值为7、

（1）.（2）由题意得点与点′关于轴对称，，将′的坐标代入得，（不合题意，舍去），.，点到轴的距离为3.，，直线的解析式为，它与轴的交点为点到轴的距离为..（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，得：（不舍题意，舍去），，.当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，．与关于原点对称，，将点坐标代入抛物线解析式得：，（不合题意，舍去），，．存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．8、解：(1)∵点A与点B关于直线x＝－1对称，点B的坐标是(2，0)∴点A的坐标是(－4，0)

由tan∠BAC＝2可得OC＝8∴C(0，8)

∵点A关于y轴的对称点为D∴点D的坐标是(4，0)

(2)设过三点的抛物线解析式为y＝a(x－2)(x－4)代入点C(0，8)，解得a＝1

∴抛物线的解析式是y＝x2－6x＋8

(3)∵抛物线y＝x2－6x＋8与过点(0，3)平行于x轴的直线相交于M点和N点∴M(1，3)，N(5，3)，＝4

而抛物线的顶点为(3，－1)当y＞3时S＝4(y－3)＝4y－12当－1≤y＜3时S＝4(3－y)＝－4y＋12

(4)以MN为一边，P(x，y)为顶点，且当＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大∴当x＝3，y＝－1时，h＝4S＝•h＝4×4＝16∴满足条件的平行四边形面积有最大值16

9、解：(1)所以n=5时，面积最大值是

(2)当时，有AC=CD=DB

过C分别作x轴，y轴的垂线可得c坐标为()

代入得

(3)当时，得设解析式为得，

所以对称轴

因为P(x，y)在上所以四边形PROQ的面积

10、解：（1）∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，∴A1B1=，A2B2＝，A3B3＝设直线A1A3的解析式为y＝kx＋b。∴

解得∴直线A1A2的解析式为。∴CB2＝2×2－＝∴CA2=CB2－A2B2=－2＝。

(2)设A1、A2、A3三点的横坐标依次n－1、n、n＋1。

则A1B1=，A2B2=n2－n＋1，

A3B3=(n＋1)2－（n＋1）＋1。设直线A1A3的解析式为y＝kx＋b∴解得∴直线A1A3的解析式为∴CB2＝n（n－1）－n2＋＝n2－n＋∴CA2=CB2－A2B2=n2－n＋－n2＋n－1＝。

(3)当a＞0时，CA2＝a；当a＜0时，CA2＝－a11、解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知两点的坐标分别为．设直线所对应的函数关系式为．有解得所以，直线所对应的函数关系式为．（2）①点到轴距离与线段的长总相等．因为点的坐标为，所以，直线所对应的函数关系式为．又因为点在直线上，所以可设点的坐标为．过点作轴的垂线，设垂足为点，则有．因为点在直线上，所以有．因为纸板为平行移动，故有，即．又，所以．法一：故，从而有．得，．所以．又有．所以，得，而，从而总有．法二：故，可得．故．所以．故点坐标为．设直线所对应的函数关系式为，则有解得所以，直线所对的函数关系式为．将点的坐标代入，可得．解得．而，从而总有．②由①知，点的坐标为，点的坐标为．．当时，有最大值，最大值为．取最大值时点的坐标为．12、解：(1)∵OM=2.5，tan∠OCM=1，

∴∠OCM=，OC=OM=2.5。

∴C(2.5，0)，M(0，2.5)。

设CD的解析式为y=kx+2.5(k≠o)，

2.5k+2.5=0，

k=一1。

∴y=―x+2.5。

(2)∵B、E关于对称轴对称，∴B(x，)。

又∵B在y=一x+2.5上，∴x=一l。

∴B(―1，)。

(3)抛物线y=经过B(一1，)，E(3，)，∴

∴y=，

令y=o，则=0，解得或。

所以沙包距围墙的距离为6米。13、（1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A

∴点A的坐标为（4，0）

∵抛物线经过O、A两点

解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A

∴点A的坐标为（4，0）

∵抛物线经过O、A两点

∴抛物线的对称轴为直线

（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA

∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO

又由（1）知抛物线的解析式为

∴点D的坐标为（）

①当时，

如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'

∴点D'与点D也关于x轴对称