第三章 静电场

第三章静电场第1页，课件共104页，创作于2023年2月第三章静电场

静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。

本章任务：阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法，或者反之。

静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。

静电场知识结构框图第2页，课件共104页，创作于2023年2月3.1.1库仑定律3.1电场强度N(牛顿)适用条件

两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;

无限大真空情况(式中可推广到无限大各向同性均匀介质中F/m)N(牛顿)结论：电场力符合矢量叠加原理图1.1.1两点电荷间的作用力库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明:真空中两个静止的点电荷与之间的相互作用力:当真空中引入第三个点电荷时，试问与相互间的作用力改变吗?为什么？第3页，课件共104页，创作于2023年2月3.1.2静电场基本物理量——电场强度定义：

V/m(N/C)

电场强度（ElectricFieldIntensity)E

表示单位正电荷在电场中所受到的力(F),它是空间坐标的矢量函数,定义式给出了E

的大小、方向与单位。a)点电荷产生的电场强度V/mV/m图3.1.2点电荷的电场第4页，课件共104页，创作于2023年2月

b)n个点电荷产生的电场强度(注意:矢量叠加)c)连续分布电荷产生的电场强度V/m体电荷分布面电荷分布线电荷分布图3.1.3体电荷的电场第5页，课件共104页，创作于2023年2月例3.1.1真空中有长为L的均匀带电直导线,电荷线密度为,试求P点的电场.解:采用直角坐标系,令y轴经过场点p,导线与x轴重合。(直角坐标)(圆柱坐标)图3.1.4带电长直导线的电场第6页，课件共104页，创作于2023年2月

无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。

电场强度的矢量积分一般先转化为标量积分,然后再合成,即

积分是对源点进行的,计算结果是场点的函数。第7页，课件共104页，创作于2023年2月点电荷矢量恒等式直接微分得故电场强度E

的旋度等于零3.2静电场环路定律和高斯定律

1.静电场旋度3.2.1

静电场环路定律第8页，课件共104页，创作于2023年2月

可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。表明静电场是一个无旋场。即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即2.静电场的环路定律

在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。

电场力作功与路径无关,静电场是保守场。无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。由斯托克斯定理，得

二者等价。第9页，课件共104页，创作于2023年2月3.电位函数在静电场中可通过求解电位函数(Potential)，再利用上式可方便地求得电场强度E。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。2)

已知电荷分布，求电位：点电荷群连续分布电荷1)电位的引出以点电荷为例推导电位：根据矢量恒等式第10页，课件共104页，创作于2023年2月3)

E与的微分关系在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：

？()

？()4)

E与的积分关系设P0为参考点根据

E与的微分关系，试问静电场中的某一点图3.2.1E与的积分关系第11页，课件共104页，创作于2023年2月5)

电位参考点的选择原则

场中任意两点的电位差与参考点无关。

同一个物理问题，只能选取一个参考点。

选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如：点电荷产生的电场：表达式无意义

电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；

电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。第12页，课件共104页，创作于2023年2月6)

电力线与等位线（面）

E线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若是电力线的长度元，E

矢量将与方向一致，故电力线微分方程在直角坐标系中：微分方程的解即为电力线E的方程。当取不同的

C值时，可得到不同的等位线（面）。

在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即等位线(面)方程:例3.2.1

画出电偶极子的等位线和电力线。第13页，课件共104页，创作于2023年2月在球坐标系中：电力线微分方程（球坐标系）：代入上式，得解得Ｅ线方程为将和代入上式，等位线方程（球坐标系）：用二项式展开，又有，得

表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。图3.2.2电偶极子r1r2第14页，课件共104页，创作于2023年2月电力线与等位线（面）的性质：

E线不能相交;

E线起始于正电荷，终止于负电荷;

E线愈密处，场强愈大;

E线与等位线（面）正交；图3.2.4点电荷与接地导体的电场图3.2.5点电荷与不接地导体的电场图3.2.3电偶极子的等位线和电力线第15页，课件共104页，创作于2023年2月图3.2.6均匀场中放进了介质球的电场图3.2.7均匀场中放进了导体球的电场图3.2.8点电荷位于一块介质上方的电场图3.2.9点电荷位于一块导平面上方的电场第16页，课件共104页，创作于2023年2月•

对上式等号两端取散度；•

利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得3.2.2真空中的高斯定律1.静电场的散度———高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式点电荷产生的电场其物理意义表示为高斯定律说明了静电场是一个有源场，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。第17页，课件共104页，创作于2023年2月2.高斯定律的积分形式式中n是闭合面包围的点电荷总数。散度定理图3.2.11闭合曲面的电通量

E的通量仅与闭合面S所包围的净电荷有关。图3.2.12闭合面外的电荷对场的影响

S面上的E是由系统中全部电荷产生的。第18页，课件共104页，创作于2023年2月电场强度垂直于导体表面；

导体是等位体，导体表面为等位面；

导体内电场强度E为零，静电平衡；

电荷分布在导体表面，且

任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。（）

一导体的电位为零，则该导体不带电。（）

接地导体都不带电。（）

1.2.3.电介质中的高斯定律1.静电场中导体的性质2.静电场中的电介质图3.2.13静电场中的导体第19页，课件共104页，创作于2023年2月

电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩；

电介质内部和表面产生极化电荷；

极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。式中为体积元内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向正极化电荷。无极性分子有极性分子图3.2.14电介质的极化用极化强度P表示电介质的极化程度，即C/m2电偶极矩体密度第20页，课件共104页，创作于2023年2月

实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中——电介质的极化率,无量纲量。均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。

各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；

线性：媒质的参数不随电场的值而变化；

一个电偶极子产生的电位：

极化强度

P是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：式中图3.2.15电偶极子产生的电位第21页，课件共104页，创作于2023年2月矢量恒等式：图3.2.16体积V内电偶极矩产生的电位散度定理令极化电荷体密度极化电荷面密度第22页，课件共104页，创作于2023年2月

在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度这就是电介质极化后，由面极化电荷和体极化电荷共同作用在真空中产生的电位。

根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和

有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为第23页，课件共104页，创作于2023年2月3.电介质中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（电介质中）定义电位移矢量（Displacement）则有电介质中高斯定律的微分形式代入,得其中——相对介电常数；——介电常数，单位（F/m）

在各向同性介质中

D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。第24页，课件共104页，创作于2023年2月图示平行板电容器中放入一块介质后，其D

线、E线和P线的分布。•

D线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；•P线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。•

E

线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了？D线E线P线图3.2.17D、E与P

三者之间的关系思考：第25页，课件共104页，创作于2023年2月()()()qq

D

的通量与介质无关，但不能认为D

的分布与介质无关。

D通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的

D

是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。B）高斯定律的积分形式散度定理图3.2.19点电荷±q分别置于金属球壳的内外图3.2.18点电荷的电场中置入任意一块介质第26页，课件共104页，创作于2023年2月例1.2.2求电荷线密度为的无限长均匀带电体的电场。解：电场分布特点：

D

线皆垂直于导线，呈辐射状态；

等

r

处D值相等；取长为L，半径为r的封闭圆柱面为高斯面。由得图3.2.20电荷线密度为的无限长均匀带电体4.高斯定律的应用计算技巧：

a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使容易积分。

高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。第27页，课件共104页，创作于2023年2月图3.2.22球壳内的电场图3.2.21球壳外的电场例3.2.3试分析图3.2.21与3.2.22的电场能否直接用高斯定律来求解场的分布？图3.2.21点电荷q置于金属球壳内任意位置的电场图3.2.22点电荷±q分别置于金属球壳内的中心处与球壳外的电场第28页，课件共104页，创作于2023年2月3.3静电场的基本方程

分界面上的衔接条件3.3.1静电场的基本方程静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,

例3.3.1已知试判断它能否表示个静电场？对应静电场的基本方程

，矢量

A可以表示一个静电场。能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?第29页，课件共104页，创作于2023年2月以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（）。2、电场强度E的衔接条件以点P作为观察点，作一小矩形回路（）。3.3.2分界面上的衔接条件1、电位移矢量D的衔接条件分界面两侧

E的切向分量连续。分界面两侧的

D的法向分量不连续。当时，D的法向分量连续。图3.3.2在电介质分界面上应用环路定律则有根据根据则有图3.3.1在电介质分界面上应用高斯定律第30页，课件共104页，创作于2023年2月表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D就等于该点的自由电荷密度。当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：图3.3.3a导体与电介质分界面在交界面上不存在时，E、D满足折射定律。折射定律图3.3.3分界面上E线的折射第31页，课件共104页，创作于2023年2月因此表明:在介质分界面上，电位是连续的。3、用电位函数表示分界面上的衔接条件设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d，,则表明:一般情况下,电位的导数是不连续的。图3.3.4电位的衔接条件对于导体与理想介质分界面，用电位表示的衔接条件应是如何呢？第32页，课件共104页，创作于2023年2月解：忽略边缘效应图（a）图（b）例3.3.2如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知和,图(a)已知极板间电压U0

,图(b)已知极板上总电荷,试分别求其中的电场强度。（a）（b）图3.3.5平行板电容器

第33页，课件共104页，创作于2023年2月3.4静电场边值问题

唯一性定理3.4.1泊松方程与拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：泊松方程

泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。例3.4.1列出求解区域的微分方程拉普拉斯方程——拉普拉斯算子1.4.2静电场的边值问题图3.4.1三个不同媒质区域的静电场第34页，课件共104页，创作于2023年2月

为什么说第二类边界条件与导体上给定电荷分布或边界是电力线的条件是等价的？已知场域边界上各点电位值图3.4.2边值问题框图自然边界条件参考点电位有限值边值问题微分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即第35页，课件共104页，创作于2023年2月边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法数学模拟法物理模拟法图1.4.3边值问题研究方法框图第36页，课件共104页，创作于2023年2月

例3.4.2

图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为，并且在两导体之间接有电源U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。解：根据场分布对称性，确定场域。（阴影区域）场的边值问题图3.4.4缆心为正方形的同轴电缆横截面第37页，课件共104页，创作于2023年2月边界条件积分之，得通解

例3.4.3设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解:采用球坐标系,分区域建立方程参考点电位图3.4.5体电荷分布的球形域电场第38页，课件共104页，创作于2023年2月解得电场强度（球坐标梯度公式）：

对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由得到电场强度E的分布。电位：第39页，课件共104页，创作于2023年2月2.唯一性定理的重要意义

可判断静电场问题的解的正确性：例1.4.1

图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？答案：（C）

唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。图3.4.7平板电容器外加电源U03.4.3唯一性定理证明：（反证法）第40页，课件共104页，创作于2023年2月3.5分离变量法

分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。3.5.1解题的一般步骤：

根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；

分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；

解常微分方程，并叠加各特解得到通解；

利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。3.5.2应用实例1.直角坐标系中的分离变量法（二维场）第41页，课件共104页，创作于2023年2月例3.5.1

图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。解：选定直角坐标系（D域内）（1）（2）（3）（4）(5）边值问题图3.5.1接地金属槽的截面第42页，课件共104页，创作于2023年2月2)分离变量代入式（1）有根据可能的取值，可有6个常微分方程：设称为分离常数,可以取值第43页，课件共104页，创作于2023年2月3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。

图3.5.2双曲函数第44页，课件共104页，创作于2023年2月d）比较系数法：当时，（D域内）当时，

满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。第45页，课件共104页，创作于2023年2月

根据经验也可定性判断通解中能否舍去或项。

若，2、圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）

利用sin

函数的正交性来确定。等式两端同乘，然后从

0到

a对

x积分图3.5.3接地金属槽内的等位线分布第46页，课件共104页，创作于2023年2月1）选定圆柱坐标,列出边值问题（1）（2）（3）（4）(5）（6）

例1.5.2在均匀电场中，放置一根半径为a，介电常数为的无限长均匀介质圆柱棒，它的轴线与垂直。柱外是自由空间。试求圆柱内外电位函数和电场强度的分布。根据场分布的对称性图3.5.4均匀电场中的介质圆柱棒第47页，课件共104页，创作于2023年2月3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。当时，当时，2）分离变量,设代入式（1）得或第48页，课件共104页，创作于2023年2月根据根据，比较系数得当时，4）利用给定边界条件确定积分常数。根据场分布对称性当时，通解中不含的奇函数项，第49页，课件共104页，创作于2023年2月解之，得比较系数法：当时，得当时，，则最终解c）由分界面的衔接条件，得第50页，课件共104页，创作于2023年2月

介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场E0平行。因，，所以。

介质柱外的电场非均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电场。

图3.5.5均匀外电场中介质圆柱内外的电场第51页，课件共104页，创作于2023年2月3.6有限差分法3.6.1二维泊松方程的差分格式

有限差分法（FiniteDifferentialMethod）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上的差分方程组的问题。

通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为h,节点0,1,2,3,4上的电位分别用和表示。（3）（1）（2）二维静电场边值问题：3.6.1有限差分的网格分割第52页，课件共104页，创作于2023年2月（8）（4）将和分别代入式(3),得同理（5）

由（4）–（5）由（4）+（5）（6）（7）（9）将式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五点差分格式当场域中，得到拉普拉斯方程的五点差分格式第53页，课件共104页，创作于2023年2月3.6.2边界条件的离散化处理3.第二类边界条件边界线与网格线相重合的差分格式：2.

对称边界条件若场域离散为矩形网格，差分格式为：1.第一类边界条件

给边界离散节点直接赋已知电位值。4.介质分界面衔接条件的差分格式合理减小计算场域，差分格式为

其中

12

图3.6.2边界条件的离散化处理第54页，课件共104页，创作于2023年2月3.6.3差分方程组的求解方法1.高斯——赛德尔迭代法式中：

迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。

迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节点电位满足为止。2、超松弛迭代法式中：——加速收敛因子图3.6.3高斯——赛德尔迭代法第55页，课件共104页，创作于2023年2月

迭代收敛的速度与有明显关系：收敛因子（）1.01.71.81.831.851.871.92.0迭代次数（N）>1000269174143122133171发散最佳收敛因子的经验公式：（正方形场域、正方形网格）（矩形场域、正方形网格）

迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关；

迭代收敛的速度与工程精度要求有。借助计算机进行计算时，其程序框图如下：第56页，课件共104页，创作于2023年2月启动赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求

所有内点相邻二次迭代值的最大误差是否小于打印停机NY图3.6.2迭代解程序框图第57页，课件共104页，创作于2023年2月上机作业要求：1.试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布。已知：给定边值：如图示；给定初值误差范围选取计算：迭代次数N=?

分布。已知：给定边值：如图示；给定初值误差范围计算：1.迭代次数N=?

分布；2.按电位差画出槽中等位线分布图。2.按对称场差分格式求解电位的分布图3.6.4接地金属槽的网格剖分图3.6.5接地金属槽内半场域的网格剖分第58页，课件共104页，创作于2023年2月三.选做题已知：无限长矩形屏蔽空腔中长直矩形导体的横截面如图示，且给定参数为

图3.6.5无限长矩形屏蔽空腔中长直矩形导体的横截面要求:1.用超松弛选代法求解无限长矩形屏蔽空腔中长直矩形导体周围的电位分布;2.画出屏蔽腔中矩形导体周围等位线分布;3.画出屏蔽腔中矩形导体周围电位分布曲面。利用有限差分法能否计算上述问题电容近似值？第59页，课件共104页，创作于2023年2月3.7镜像法与电轴法3.7.1

镜像法边值问题：（导板及无穷远处）（除

q所在点外的区域）（S为包围

q的闭合面）1.平面导体的镜像

镜像法:用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。图3.7.1平面导体的镜像上半场域边值问题：（除

q所在点外的区域）（导板及无穷远处）（S为包围q的闭合面）第60页，课件共104页，创作于2023年2月（方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为例3.7.1求空气中一个点电荷在地面引起的感应电荷分布情况。解:设点电荷离地面高度为h，则图3.7.2点电荷在地面引起的感应电荷的分布第61页，课件共104页，创作于2023年2月2.导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。1)边值问题：（除q点外的导体球外空间)图3.7.3点电荷对接地导体球面的镜像第62页，课件共104页，创作于2023年2月由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为图3.7.5点电荷位于接地导体球附近的场图

镜像电荷不能放在当前求解的场域内。镜像电荷等于负的感应电荷图3.7.4接地导体球外的电场计算第63页，课件共104页，创作于2023年2月

在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置解:边值问题：(除q

点外的导体球外空间）(S为球面面积)例3.7.2试计算不接地金属球附近放置一点电荷时的电场分布。任一点电位及电场强度为：图3.7.6点电荷对不接地金属球的镜像感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。正负镜像电荷绝对值相等。正镜像电荷只能位于球心。第64页，课件共104页，创作于2023年2月试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?补充题：图3.7.8点电荷对导体球面的镜像图3.7.7点电荷位于不接地导体球附近的场图不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷

吗?为什么？第65页，课件共104页，创作于2023年2月3.不同介质分界面的镜像边值问题：(下半空间)(除q点外的上半空间)图3.7.9点电荷对无限大介质分界面的镜像和第66页，课件共104页，创作于2023年2月

•

中的电场是由决定，其有效区在下半空间，是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。即图3.7.10点电荷位于不同介质平面上方的场图

•

中的电场是由与共同产生，其有效区在上半空间，是等效替代极化电荷的影响。图3.7.11点电荷与分别置于与区域中为求解图示与区域的电场，试确定镜像电荷的个数、大小与位置。第67页，课件共104页，创作于2023年2月3.7.2电轴法边值问题：

（导线以外的空间）根据唯一性定理，寻找等效线电荷——电轴。1.问题提出3.7.12长直平行圆柱导体传输线能否用高斯定理求解？第68页，课件共104页，创作于2023年2月2.两根细导线产生的电场以y轴为参考点,C=0,则当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。图3.7.13两根细导线的电场计算

a、h、b三者之间的关系满足等位线方程为：圆心坐标圆半径第69页，课件共104页，创作于2023年2月应该注意到,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即根据及E线的微分方程，得E线方程为

图3.7.14两细导线的场图•若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。

•若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？感应电荷是否均匀分布？第70页，课件共104页，创作于2023年2月3.电轴法例1.7.3试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。(以轴为电位为参考点)

用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法,称为电轴法。解：图3.7.15平行圆柱导体传输线电场的计算第71页，课件共104页，创作于2023年2月

例3.7.4已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d

的带电长直圆柱导体。试决定电轴位置。注意：1）参考电位的位置；2）适用区域。例1.7.5试确定图示偏心电缆的电轴位置。解：确定图3.7.16不同半径传输线的电轴位置图3.7.17偏心电缆电轴位置第72页，课件共104页，创作于2023年2月

例3.7.6已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线之间电压为，试求圆柱导体间电位的分布。解得图3.7.18电压为U0的传输线电场的计算a)确定电轴的位置第73页，课件共104页，创作于2023年2月镜像法（电轴法）小结

镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一性定理；镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷（电轴）的个数（根数），大小及位置；

应用镜像法（电轴法）解题时，注意：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。第74页，课件共104页，创作于2023年2月3.8电容及部分电容电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。电容的计算思路：

工程上的实际电容：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。3.8.1电容定义：单位：

例3.8.1试求球形电容器的电容。解：设内导体的电荷为,则同心导体间的电压球形电容器的电容当时（孤立导体球的电容）图3.8.1球形电容器第75页，课件共104页，创作于2023年2月3.8.2多导体系统、部分电容1.已知导体的电荷，求电位和电位系数中的其余带电体，与外界无任何联系，即

•

静电独立系统——D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统•

线性、多导体(三个以上导体)组成的系统；•

部分电容概念以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为图3.8.2三导体静电独立系统第76页，课件共104页，创作于2023年2月以此类推（n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程，即电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；——

自有电位系数，表明导体上电荷对导体电位的贡献；——互有电位系数，表明导体上的电荷对导体电位的贡献；——写成矩阵形式为（非独立方程）注：

的值可以通过给定各导体电荷,计算各导体的电位而得。第77页，课件共104页，创作于2023年2月2.已知带电导体的电位，求电荷和感应系数——静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；——自有感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；——互有感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献。

通常，的值可以通过给定各导体的电位，测量各导体的电荷而得。第78页，课件共104页，创作于2023年2月

3.已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容（矩阵形式）式中：C——部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；（互有部分电容）；（自有部分电容）。部分电容性质:•

所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的值有关；•互有部分电容，即为对称阵；•

(n+1)

个导体静电独立系统中，共应有个部分电容；•

部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。第79页，课件共104页，创作于2023年2月

例1.8.2试计算考虑大地影响时，二线传输线的各部分电容及二线输电线的等效电容。已知如图示：解:部分电容个数,如图(b)。由对称性得线电荷与电位的关系为图3.8.4两线输电线及其电容网络静电网络与等效电容第80页，课件共104页，创作于2023年2月

令则利用镜像法，输电线两导体的电位图3.8.5两线输电线对大地的镜像第81页，课件共104页，创作于2023年2月联立解之得二线间的等效电容：图3.8.4两线输电线及其电容网络

美国有一腿断的残废军人，用电子仪器驾驶汽车，有一次，路过高压输电线时，突然翻车了，为什么？第82页，课件共104页，创作于2023年2月

4.静电屏蔽

应用部分电容还可以说明静电屏蔽问题。令号导体接地，得这说明了只与有关，只与有关，即1号导体与2号导体之间无静电联系，达到了静电屏蔽的要求。静电屏蔽在工程上有广泛应用。图3.8.5静电屏蔽第83页，课件共104页，创作于2023年2月3.9静电能量与力1.带电体系统中的静电能量静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。1)连续分布电荷系统的静电能量假设：•电荷系统中的介质是线性的；3.9.1静电能量•电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电位的最终值为、,在充电过程中，与的增长比例为

m，。•建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。第84页，课件共104页，创作于2023年2月这个功转化为静电能量储存在电场中。体电荷系统的静电能量

t

时刻，场中P点的电位为若将电荷增量从无穷远处移至该点，外力作功t时刻电荷增量为即电位为

第85页，课件共104页，创作于2023年2月•式中是元电荷所在处的电位，积分对源进行。•点电荷的自有能为无穷大。自有能互有能自有能是将许多元电荷“压紧”构成q所需作的功。互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量。自有能与互有能的概念••是所有导体（含K号导体）表面上的电荷在K号导体产生的电位。第86页，课件共104页，创作于2023年2月2.静电能量的分布及能量密度V——扩大到无限空间，S——所有带电体表面。将式(2)代入式(1),得应用散度定理得矢量恒等式（焦耳）静电能量图3.9.1推导能量密度用图能量密度：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。结论第87页，课件共104页，创作于2023年2月例3.9.1

试求真空中体电荷密度为，半径为的介质球产生的静电能量。有限，应用高斯定理，得解法一由微分方程法得电位函数为解法二第88页，课件共104页，创作于2023年2月

例3.9.2一个原子可以看成是由带正电荷的原子核和被总电量等于且均匀分布于球形体积内的负电荷云包围，如图所示。试求原子结合能。解：表示将正负电荷从无穷远处移来置于原子中位置时外力必须做的功。图3.9.2原子结构模型：正电荷从无穷远处移至此处不需要电场力作功,故原子结合能未包括原子核正电荷本身的固有能量。注意第89页，课件共104页，创作于2023年2月3.9.2静电力2.虚位移法(VirtualDisplacementMethod)虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。

广义坐标：距离、面积、体积、角度。广义力：企图改变某一个广义坐标的力。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。二者关系：广义坐标距离面积体积角度广义力机械力表面张力压强转矩（单位）（N）（N/m）（N/m2）N•m广义力×广义坐标=功1.由电场强度E的定义求静电力，即第90页，课件共104页，创作于2023年2月常电荷系统（K打开）：

它表示取消外源后，电场力做功必须靠减