第三章数学运算

第三章数学运算第1页，课件共25页，创作于2023年2月矩阵运算矩阵的翻转和旋转：fliplr、flipud、rot90查看矩阵的大小：size(A)、size(A,1)、size(A,2)

数组运算（点运算）：.*，./，.\，.^

矩阵算术：

+，-，*，/，\，^参与“+,-,.*,./,.\”运算的对象必须具有相同的形状第2页，课件共25页，创作于2023年2月矩阵的逆对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得：

A·B=B·A=I(I为单位矩阵)

则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。

求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。

例用求逆矩阵的方法解线性方程组。

Ax=b

其解为：

x=A-1b第3页，课件共25页，创作于2023年2月矩阵的伪逆如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A‘同型的矩阵B，使得：

A·B·A=A

B·A·B=B

此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。第4页，课件共25页，创作于2023年2月方阵的行列式把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。第5页，课件共25页，创作于2023年2月矩阵的函数以及其它操作变换inv——矩阵求逆det——行列式的值eig——矩阵的特征值diag——对角矩阵’——矩阵转置第6页，课件共25页，创作于2023年2月矩阵的函数以及其它操作变换norm——矩阵求范数normest——矩阵求二阶范数rank——求矩阵的秩null——0空间subspace——求两矩阵空间的角度第7页，课件共25页，创作于2023年2月矩阵的一些特殊操作矩阵的变维a=[1:12];b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩阵的变向

rot90:旋转;fliplr:上翻;flipud:下翻矩阵的抽取

diag:抽取主对角线;tril:抽取主下三角;

triu:抽取主上三角第8页，课件共25页，创作于2023年2月线性代数方程组的矩阵表示Ax=b第9页，课件共25页，创作于2023年2月解的判别及其结构Ax=0：有非零解——系数矩阵的秩R(A)<n。若R(A)=n，则方程组只有零解。Ax=b：分三种类型： 1、当R(A)=R(B)=n时，称方程组为恰定方程组，这时它有唯一解向量； 2、当R(A)=R(B)<n时，称方程组为欠定方程组，这时它有无穷多解向量； 3、当R(A)<R(B)时，称方程组为超定方程组或矛盾方程组，即保留方程个数大于未知量个数，一般意义下无解，但可求出其最小二乘解。第10页，课件共25页，创作于2023年2月非奇异矩阵n阶方阵A是非奇异方阵的充要条件是A为可逆矩阵也即行列式A的值不为零。对一个n行n列的非零矩阵A，如果存在一个矩阵B使AB=BA=E（E是单位矩阵），则称A是可逆的，也称A为非奇异矩阵。第11页，课件共25页，创作于2023年2月矩阵函数的应用设矩阵解：A=[3-40;-152;41-6]det(A)%求矩阵的行列式的值rank(A)%求矩阵的秩inv(A)%求逆矩阵求A的行列式、秩和逆矩阵。第12页，课件共25页，创作于2023年2月求线性方程组的唯一解求线性方程组Ax=B的解，其中：解法1利用矩阵除法：X=A\B解法2利用求逆矩阵函数inv：X1=inv(A)*B比较：解法1比解法2更简便，解法1的算法优于解法2，解法1可用于一般矩阵，而解法2只能用于非奇异的方阵因此，只需运用解法1.第13页，课件共25页，创作于2023年2月恰定方程组条件：rank(A)=rank(B)=r=n，指令：1）逆矩阵：x=inv(A)*b；2）左除法：x=A\b；3）符号矩阵：x=sym(A)\sym(b)。第14页，课件共25页，创作于2023年2月恰定线性代数方程组求解解：（1）A=[21-51;1-30-6;02-12;14-76];b=[89-50]';2）键入xx=A\bxx=3.0000-4.0000-1.00001.0000

第15页，课件共25页，创作于2023年2月欠定方程组（不定方程组）条件：R(A)=R(B)=r<n时指令： 1、它的通解由与其对应的齐次方程Ax=0的通解和Ax=b的一个特解构成。 2、求Ax=0的通解用null指令， 3、求Ax=b的一个特解用矩阵除法。第16页，课件共25页，创作于2023年2月171)解的判断键入A=[11-3-1;3-1-34;15-9-8];b=[140]';Ar=rank(A),br=rank([Ab])Ar=2br=2第17页，课件共25页，创作于2023年2月182）求出与Ax=b对应的齐次方程Ax=0通解由于n-r=2，对应的齐次方程组含有两个基向量。在指令窗中键入null(sym(A))%Z=null(A)

由奇异值分解得到的矩阵A的零空间标准正交基。

ans=[3/2,-3/4][3/2,7/4][1,0][0,1]第18页，课件共25页，创作于2023年2月193）求Ax=b的一个特解在指令窗中键入A\b（须改变格式）Warning:Rankdeficient,rank=2tol=8.8373e-015.ans=00-0.53330.6000若键入sym(A)\sym(b)Warning:Systemisrankdeficient.Solutionisnotunique.ans=5/4-1/400第19页，课件共25页，创作于2023年2月204）方程组Ax=b的通解方程组Ax=b的通解是由它的一个特解和方程组Ax=0的通解组成，这些前面已经分别求出，将它们组合在一起就是非齐次线性方程组的通解：k1、k2为任意常数。第20页，课件共25页，创作于2023年2月超定方程组条件：R(A)<R(B)=R([Ab])指令：左除A\b方法求出它的最小二乘解由于超定方程组没有精确解，所以不能用符号矩阵除法来求解超定方程组第21页，课件共25页，创作于2023年2月221)判定方程组解的结构键入a=[1-23-1;3-15-3;212-2];b=[123]';ra=rank(a)，rb=rank([ab])ra=2rb=3第22页，课件共25页，创作于2023年2月232）求方程组的最小二乘解键入a\bWarning:Rankdeficient,rank=2tol=5.4751e-015.ans=00.90480.71430第23页，课件共25页，创作于2023年2月矩阵分解的相关知识设M是n阶实系