第三章半导体中载流子的统计分布

第三章半导体中载流子的统计分布第1页，课件共85页，创作于2023年2月

在一定温度下，若无其它外界作用，半导体中的导电电子和空穴是依靠电子的热激发作用而产生的，电子从热振动的晶格中获得能量，可从低能量的量子态跃迁到高能量的量子态.如本征激发，形成导带电子和价带空穴第2页，课件共85页，创作于2023年2月

电子和空穴也可以通过杂质电离方式产生，当电子从施主能级跃迁到导带时产生导带电子；当电子从价带激发到受主能级时产生价带空穴等。第3页，课件共85页，创作于2023年2月

相反的过程----即电子也可以从高能量的量子态跃迁到低能量的量子态，并向晶格放出一定能量(声子)，从而使导带中的电子和价带中的空穴不断减少，这一过程称为载流子的复合。

第4页，课件共85页，创作于2023年2月T定，两个相反的过程之间将建立起动态平衡---热平衡状态。热平衡状态下,半导体中的导电电子浓度和空穴浓度保持一个稳定的数值.称为热平衡载流子若温度改变，情况如何？第5页，课件共85页，创作于2023年2月

半导体的导电性强烈地随温度而变化。原因就在于半导体中载流子浓度随温度而变化。要深入了解半导体的导电性及其他许多性质，必须探求半导体中载流子浓度随温度变化的规律，解决如何计算一定温度下半导体中热平衡载流子浓度的问题。

但重点涉及平衡态,不讨论非平衡态.第6页，课件共85页，创作于2023年2月要得到:1.热平衡载流子浓度;2.热平衡载流子浓度随温度的变化;需要知道：1.允许的量子态(允态)按能量如何分布；2.电子在允许的量子态中如何分布。第7页，课件共85页，创作于2023年2月3.1状态密度解决第一个问题:1.允许的量子态(允态)按能量如何分布?

半导体的导带和价带中，有很多能级存在。但相邻能级间隔很小，约为10-22eV数量级，能级可看成连续。可将能带分为能量很小的间隔来处理。第8页，课件共85页，创作于2023年2月假定在能带中能量E～（E+dE）之间无限小的能量间隔dE内有dZ个量子态，则状态密度g（E）为:

（3-1）g（E）：能量E附近每单位能量间隔内量子态数第一个问题:允许的量子态(允态)按能量如何分布?第9页，课件共85页，创作于2023年2月

1.算出单位k空间中量子态数（k空间的状态密度）。2.算出k空间中与能量dE

即E～(E+dE）间对应的k空间体积，用k空间体积和k空间中的状态密度相乘（dZ）。

根据可求的状态密度g(E)怎样得到g（E）?通过k(k空间)计算k空间的状态密度第10页，课件共85页，创作于2023年2月

半导体中电子的允态（即能级）用波矢k标志，但是电子波矢k不能取任意的数值，而是受到一定条件的限制。3.1.1k空间中量子态的分布第11页，课件共85页，创作于2023年2月

用kxkykz坐标轴的直角坐标系描写k空间。显然，在k空间中，由一组整数（nxnynz）给出k空间一点且对应一定的波矢k。第12页，课件共85页，创作于2023年2月该点是电子的一个允态的代表点。由于nxnynz只能取整数，不同的整数（nxnynz

）决定了不同的点，对应着不同的波矢k，代表了电子不同允态，因此，电子有多少个允态，在k空间中就有多少个代表点（如图）。第13页，课件共85页，创作于2023年2月任一代表点的坐标，沿三个坐标轴kxkykz方向均为1/L的整数倍，所以代表点在k空间中是均匀分布的。第14页，课件共85页，创作于2023年2月k空间中，电子的允许能量状态密度是V。考虑电子的自旋，k空间中每一个代表点代表自旋方向相反的两个量子态∴

k空间中，电子的允许量子态密度是2V第15页，课件共85页，创作于2023年2月3.1.2状态密度

允许的量子态(允态)按能量如何分布?

计算半导体导带底附近的状态密度

第16页，课件共85页，创作于2023年2月导带底附近E(k)与k的关系：

一、考虑能带极值在k=0，等能面为球面（抛物线假设）的情况。第17页，课件共85页，创作于2023年2月两个球壳之间体积是4лk2dk，k空间中量子态密度是2V，所以，在能量E～(E+dE)之间的量子态数为dZ=2V×4лk2dkkk+dk第18页，课件共85页，创作于2023年2月由式（3-2）求得k与E的关系第19页，课件共85页，创作于2023年2月第20页，课件共85页，创作于2023年2月说明：导带底附近单位能量间隔内的量子态数目，随着电子的能量增加按指数关系增大。即电子能量越高，状态密度越大。允许的量子态(允态)按能量如何分布?第21页，课件共85页，创作于2023年2月同理可算得价带顶附近状态密度gv（E）为:在图3-2的曲线表示了gv（E）与E的关系曲线。第22页，课件共85页，创作于2023年2月二实际半导体硅、锗，导带底附近，等能面为

旋转椭球面

EC：极值能量可计算得mdn:导带底电子状态密度有效质量S：对称状态数第23页，课件共85页，创作于2023年2月

硅、锗中，价带中起作用的能带是极值相重合的两个能带，这两个能带相对应有轻空穴有效质量（mp）1和重空穴有效质量（mp）h。

硅：导带底共有六个对称状态s=6，将m1，mt的值代入式，计算得mdn=1.08m0。对锗,s=4，可以计算得mdn=0.56m0第24页，课件共85页，创作于2023年2月价带顶附近状态密度应为这两个能带的状态密度之和。相加之后，价带顶附近gv（E）仍可下式表示，不过其中的有效质量mp为mdp.mdp称为价带顶空穴的状态密度有效质量硅，mdp=0.5m0；锗，mdp=0.37m0。10学时第25页，课件共85页，创作于2023年2月硅晶体中约有

5×1022/cm3个硅原子，价电子数约有4×5×1022/cm3个。3.2费米能级EF和载流子的统计分布3.2.1费米分布函数和费米能级第26页，课件共85页，创作于2023年2月

电子能量变化无常，看似无规。在热平衡状态下，电子按能量大小具有一定的统计分布规律性，电子在不同能量的量子态上统计分布概率是一定的。根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计律。第27页，课件共85页，创作于2023年2月能量为E的一量子态被一个电子占据概率为f（E）.f(E)称为电子的费米分布函数。f(E)描写热平衡状态下，电子在允态上如何分布的一个统计分布函数。

k0是破耳兹曼常数，T是热力学温度。第28页，课件共85页，创作于2023年2月EF非常重要的一个量~费米能或费米能量，它和温度T、半导体材料的导电类型n、p，杂质的含量以及能量零点选取有关。EF是一个很重要的物理参数，只要知道EF数值，在定T下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定。第29页，课件共85页，创作于2023年2月如何定出：由半导体中能带内所有量子态中被电子占据的量子态数应等于电子总数N这一条件来决定，即第30页，课件共85页，创作于2023年2月将半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，统计理论表明，费米能级EF是系统的化学势，即

μ----系统化学势，F是系统的自由能。

第31页，课件共85页，创作于2023年2月意义：系统处于热平衡状态，不对外界做功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级处于热平衡状态的系统有统一的化学势！处于热平衡状态的电子系统有统一费米能级！第32页，课件共85页，创作于2023年2月费米分布函数f（E）特性分析：当T=0K时：若E<EF，则f(E)=1，若E>EF，则f(E)=0。第33页，课件共85页，创作于2023年2月热力学温度零度时，能量比EF小的量子态被电子占据的概率是100%，因而这些量子态上都是有电子的；能量比EF大量子态上都没有电子，是空的。∴在热力学温度零度时，费米能级EF可看成量子态是否被电子占据的一个界限。第34页，课件共85页，创作于2023年2月当T>0K时：若E<EF，则f(E)>1/2若E=EF，则f(E)=1/2

若E>EF，则f(E)<1/2。第35页，课件共85页，创作于2023年2月系统热力学温度>

0时，如量子态的能量比费米能级低，则该量子态被电子占据的概率>50%；

量子态的能量比费米能级高，则该量子态被电子占据的概率<50%。

量子态的能量等于费米能级时，则该量子态被电子占据的概率是50%。标志----费米能级是量子态基本上被电子占据或基本上是空的第36页，课件共85页，创作于2023年2月费米能级位置直观地标志了电子占据量子态情况.

费米能级标志了电子填充能级的水平

对一系统而言,EF位置较高，有较多的能量较高的量子态上有电子。EF的意义：第37页，课件共85页，创作于2023年2月图给出的300K、1000K，1500K时f(E)与E的曲线，从图中看出，随着温度的升高，电子占据能量小于费米能级的量子态的概率下降，而占据能量大于费米能级的量子的概率增大。第38页，课件共85页，创作于2023年2月费米能级EF强p型弱p型弱n型强n型本征型ECEVEI第39页，课件共85页，创作于2023年2月电子的费米分布函数

E-EF》k0T时3.2.2玻尔兹曼分布函数第40页，课件共85页，创作于2023年2月第41页，课件共85页，创作于2023年2月显然,在一定温度T，电子占据E的的概率由e-E/k0T定-----玻耳兹曼统计分布函数fB(E)称为电子的玻耳兹曼分布函数第42页，课件共85页，创作于2023年2月我们讨论f（E）：f（E）表能量为E的量子态被电子占据的概率

1-f（E）必然表示能量为E的量子态不被电子占据的概率，表量子态空（被空穴占据）的概率。第43页，课件共85页，创作于2023年2月当（EF-E）》k0T时，空穴的费米分布函数空穴的玻尔兹曼分布函数表明当E远低于EF时，空穴占据能量为E的量子态的概率很小，即这些量子态几乎都被子电子所占据了。第44页，课件共85页，创作于2023年2月半导体材料中，EF位于禁带内，一般

Ec

–EF

》k0T

EF–Ev对导带中的所有量子态，E–Ec>0,被电子占据的概率，一般都满足f(E)《1，半导体导带中的电子分布可以用电子的玻耳兹分布函数描写。价带道理相同EFEcEv第45页，课件共85页，创作于2023年2月E增大，f(E)减小，导带中绝大多数电子分布在导带底附近EcEv第46页，课件共85页，创作于2023年2月价带中的量子态，被空穴占据的概率，一般满足1-f(E)《1。价带中的空穴分布服从空穴的玻耳兹曼他分布函数。E增大，1-f（E）增大，价带中绝大多数空穴集中分布在价带顶附近。ECEVEF第47页，课件共85页，创作于2023年2月（3-13）、（3-14）两个基本公式。服从玻耳兹曼统计律的电子系统-----非简并性系统服从费米统计律的电子系统-----------简并性系统第48页，课件共85页，创作于2023年2月3.2.3导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度解决问题2：计算半导体中的载流子浓度。

第49页，课件共85页，创作于2023年2月

状态密度为gc(E)，E处参量E～(E+dE）之间有dZ=gc(E)dE个量子态，而电子占据能量为E的量子态的概率是f（E），则在E～（E+dE）间有

f(E)gc(E)dE个电子。第50页，课件共85页，创作于2023年2月从导带底到导带顶对f(E)gc(E)dE进行积分，就得到了能带中的电子总数，再除以半导体体积V，就得到了导带中的电子浓度。第51页，课件共85页，创作于2023年2月图为能带、函数f(E)、1-f(E)、gc(E)、gv(E)

等曲线第52页，课件共85页，创作于2023年2月图（e）中可看出，导带中电子的大多数是在导带底附近，而价带中大多数空穴则在价带顶附近。图为f(E)gc(E)和[1-f(E)]gv(E)等曲线。第53页，课件共85页，创作于2023年2月

在非简并情况下，导带中电子浓度可计算如下。在能量E～（E+dE）间的电子数dN为第54页，课件共85页，创作于2023年2月得能量E～（E+dE）之间单位体积中的电子数为第55页，课件共85页，创作于2023年2月对上式各分，得热平衡状态下非简并半导体的导带电子浓度n0为第56页，课件共85页，创作于2023年2月积分上限Ec是导带顶能量。作一变换：x=(E-Ec)/(k0T)，（3-15）变为导带宽第57页，课件共85页，创作于2023年2月积分上限改为无穷不影响结果。导带中的电子绝大多数在导带底部附近。第58页，课件共85页，创作于2023年2月数学处理上带来了很大的方便，（3-16）可改写：第59页，课件共85页，创作于2023年2月Nc

T3/2是一很重要的量，称为导带的有效状态密度，是温度的函数。第60页，课件共85页，创作于2023年2月是电子占据能量为Ec的量子态的概率，（3-19）可理解为把导带中所有量子态都集中在导带底Ec，Ec处的状态密度为Nc。导带中的电子浓度是Nc中有电子占据的量子态数第61页，课件共85页，创作于2023年2月同理，热平衡状态下，非简并半导体的价带中空穴浓度p0为第62页，课件共85页，创作于2023年2月第63页，课件共85页，创作于2023年2月

Nv

T3/2是一很重要的量，称为价带的有效状态密度，是温度的函数。第64页，课件共85页，创作于2023年2月可理解为把价带中所有量子态都集中在导带底Ev，Ev处的状态密度为Nv，则价带中的空穴浓度是Nv中有空穴占据的量子态数。空穴占据能量为Ev的量子态的概率第65页，课件共85页，创作于2023年2月n0、p0与温度T有关，与EF有关。

T的影响来自两方面：

Nc、Nv正比于T3/2

指数部分随温度迅速变化。EF,T确定，就可以计算导带电子浓度和价带空穴浓度第66页，课件共85页，创作于2023年2月

n0、p0与温度T有关，与EF有关。可由n0p0得到很有意思的结果。第67页，课件共85页，创作于2023年2月所以重要结论：电子和空穴的浓度乘积和费米能级无关。

半导体材料定，乘积n0p0只决定于温度T，与所含杂质无关。第68页，课件共85页，创作于2023年2月

给定温度T，半导体材料不同，禁带宽度Eg不同，乘积n0p0也将不同。

普遍适用本征半导体和杂质半导体（热平衡状态、非简并）。第69页，课件共85页，创作于2023年2月上式可看出，半导体材料定，则Eg一定。温度定，乘积n0p0定。半导体处于热平衡状态时，载流子浓度的乘积保持恒定，如果电子浓度增大，空穴浓度就要减小；反之亦然。第70页，课件共85页，创作于2023年2月

3.3本征半导体的载流子浓度

－热激发所产生的载流子－没有杂质和缺陷的半导体T=0K，价带全满，导带全空T≠0K，热激发，电子从价带激发到导带（本征激发）ECEVEg第71页，课件共85页，创作于2023年2月本征激发，电子和空穴成对产生，n0=p0

本征激发下的电中性条件由上式可求得本征半导体的费米能级EF

（本征用符号Ei表示）。第72页，课件共85页，创作于2023年2月第73页，课件共85页，创作于2023年2月上述三种半导体材料的1n（mp*/mn*）在2以下。

EF约在禁带中线附近1.5k0T范围内。在室温（300K）下，k0T≈0.026eV，而硅、锗、砷化镓的禁带宽度约为1eV左右，因上式（3-30）中第二项小得多，所以本征半导体的费米能级Ei基本上在禁带中线处。

锑化铟室温时禁带宽度Eg≈0.17eV，而mp*/mn*之值约为32左右，于是它的费米能级Ei已经远在禁带之上。第74页，课件共85页，创作于2023年2月本征载流子浓度ni为式中Eg=Ec-Ev为禁带宽度。讨论：一定的半导体材料，本征载流子浓度ni随温度的升高而迅速增加（指数增长）；不同的半导体材料，在同一温度T时，禁带宽度Eg越大，本征载流子浓度ni就越小。第75页，课件共85页，创作于2023年2月说明:在一定温度下，任何非简并半导体的热平衡载流子浓度的乘积n0p0等于该温度时的本征载流子浓度ni的平方，与所含杂质无关。注意：不仅适用于本征半导体材料，而且也适用于非简并的杂质半导体材料。12学时n0p0=ni2（质量作用定律）第76页，课件共85页，创作于2023年2月常见半导体在室温下的本征载流子浓度：Si:

ni=1.5×1010cm-3Ge:

ni=2.4×1013cm-3GaAs:ni=1.1×107cm-3第77页，课件共85页，创作于2023年2月常见半导体本征载流子浓度和温度关系Lnni-1/T直线关系第78页，课件共85页，创作于2023年2月

半导体中总是含有一定量的杂质和缺