五年级奥数专题二十：多边形的面积

五年级奥数专题二十：多边形的面积在前面的课程中，我们已经学习了如何计算三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆和扇形等基本图形的面积。这些图形的面积计算公式如下：正方形面积=边长×边长=a²，长方形面积=长×宽=ab，平行四边形面积=底×高=ah，圆面积=半径×半径×π=πr²，扇形面积=半径×半径×π×圆心角的度数÷360°。然而，在实际问题中，我们通常会遇到由基本图形组合、拼凑成的组合图形，这些组合图形的面积不能直接用公式计算。在本课程和后面的两个课程中，我们将学习如何计算这些组合图形的面积。例1在下图中，小正方形DG的边长为4厘米，组合图形的周长为52厘米。我们需要计算阴影部分的面积。首先，我们需要计算出两个正方形的边长之和。由于组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了，所以我们需要用组合图形的周长减去DG，得到大、小正方形边长之和的三倍，即（52-4）÷3=16（厘米）。由于两个正方形的边长之差为4厘米，我们可以计算出大正方形的边长为（16+4）÷2=10（厘米），小正方形的边长为（16-4）÷2=6（厘米）。最后，我们可以计算出阴影部分的面积。两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，即：10²+6²-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米²）。例2在下图中，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形。我们需要证明它们的面积相等。为了证明这个结论，我们添加一条辅助线CE（见右上图），将两个平行四边形联系在一起。通过三角形DCE，我们可以得出平行四边形ABCD和DEFG的面积都是三角形DCE的两倍。因此，它们的面积相等。例3在下图中，一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140厘米²。底边上任意取一点P，连接PA和PB，并且垂直于底边。设AP的长度为a厘米，BP的长度为b厘米。我们需要计算a+b的长度。根据等腰三角形的性质，我们可以得出底边的长度为40厘米。因此，三角形PAB的面积为（20×a÷2）+（20×b÷2）=10a+10b。另一方面，三角形PAB也是三角形PBC的一半。因此，三角形PBC的面积为（10a+10b）÷2=5a+5b。最后，根据勾股定理，我们可以得出：a²+（20÷2）²=P²，b²+（20÷2）²=P²，其中P为三角形PBC的斜边长度。将上述两个等式相减，得到：a²-b²=（20÷2）²=100。因此，（a+b）×（a-b）=100。由于a和b都是正数，因此a+b大于a-b。因此，我们可以将上式改写为：a+b=100÷（a-b）。至此，我们已经求出了a+b的值。三角形面积与a、b的关系可以通过连结等腰三角形的顶点和底边上的点来解决。将等腰三角形分为两个小三角形，它们的底都是20厘米，高分别为a厘米和b厘米。根据三角形的面积公式，两个小三角形的面积分别为20×a÷2和20×b÷2。因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以得到a+b=14（厘米）。在例2、例3中，通过添加辅助线使图形间的关系更清晰，进而解决问题。例如，在例4中，将三角形ABC的面积是10厘米2的图形与三角形DEF联系起来。通过连结FB，可以得出三角形ADF的面积是20（厘米2），同理可知，三角形BDE与三角形CEF的面积都等于20厘米2。因此，三角形DEF的面积等于70（厘米2）。在例5中，通过将已知条件画成图形，可以解决问题。将正方形的一边截去15厘米，另一边截去10厘米，得到一个长方形。该长方形的面积比原正方形的面积减少了1725厘米2。因此，原正方形的边长等于75（厘米），剩下的长方形的面积等于3900（厘米2）。在例6中，通过已知的红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片的面积，可以求出正方形盒子底部的面积。将这三个纸片放在正方形盒的底部，它们之间互相叠合。已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10。因此，正方形盒子底部的面积为44（厘米2）。1.等腰直角三角形的面积为20平方厘米，求其中最大的正方形的面积。解：设等腰直角三角形的直角边长为a，则其面积为a²/2=20，解得a=4√5。最大正方形的边长为a/2=2√5，面积为20。2.平行四边形ABCD的周长为75厘米，以BC为底的高为14厘米，以CD为底的高为16厘米。求平行四边形ABCD的面积。解：设AB=x，AD=y，则周长为2(x+y)=75，解得x+y=37.5。平行四边形的面积为底乘高，即S=(BC+AD)×h/2=(x+y)×h/2=(14+16)×37.5/2=375平方厘米。3.在一个正方形水池的周围，环绕着一条宽2米的小路，小路的面积是80平方米，正方形水池的面积是多少平方米？解：设正方形水池的边长为x，则小路的外边长为x+4，小路的面积为(x+4)²-x²=80，解得x=6。正方形水池的面积为x²=36平方米。4.一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分，它们的面积差是28平方厘米，梯形的上底长是多少厘米？解：设长方形的长为a，宽为b，线段的长度为x。则三角形的面积为ax/2，梯形的面积为(x+b)(a-x)/2，它们的面积差为(ax/2)-(x+b)(a-x)/2=28。化简得x²-(a+b)x+28=0，解得x=4或7。当x=7时，梯形的上底长为a-x=5厘米。5.在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF的面积是1，则三角形ABC的面积是多少？解：连接AE、CD，设BC=a，AC=b，则AE=EC=(a+b)/3，CD=2(a+b)/3。由三角形面积公式可得ED=2/3×DF=2/3×(a+b)/3，EF=2/3×BE=2/3×(2a+b)/3。三角形EDF的面积为1，代入可得DF=(a+b)/2，BE=(2a+b)/2。由三角形面积公式可得ABC的面积为1/2×AC×BD=(a+b)²/18。6.一个长方形的周长是28厘米，如果它的长、宽都分别增加3厘米，那么得到的新长方形比原长方形的面积增加了多少平方