2022新高考数学高频考点题型归纳49离散型随机变量及其均值方差（学生版）

专题49离散型随机变量的分布列及其均值方差一、关键能力理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，并能解决一些简单的实际问题.二、教学建议（1）考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质；（2）离散型随机变量的分布列及其概率分布是高考命题的热点，与离散型随机变量的数字特征结合命题是主要命题方式．三、必备知识1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．随机变量的线性关系：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.2.分布列的两个性质①，；②.3．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．4．均值(1)若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望．(2)离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)均值的性质E(c)＝c，E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b，c为常数)．5．方差(1)若离散型随机变量X所有可能的取值是x1，x2，…，xn，且这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，则称：V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn为X的方差．(2)σ＝eq\r(VX)，叫标准差．(3)方差的性质a，b为常数，则V(aX＋b)＝a2V(X)．四、高频考点+重点题型考点一.概率分布的求法例1-1.随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列．例1-2.甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2).记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的概率分布．例1-3.（2020·黑龙江实验中学（理））设离散型随机变量的分布列为012340.20.10.10.3求：（1）的分布列；（2）求的值.例1-4.（2017课标3，理18选）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；对点练1、在一次购物抽奖活动中，假设某10张劵中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布．对点练2．（2017北京，理17选）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列.考点二、离散型随机变量分布列的性质例2-1.（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二月考）设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3若随机变量，则等于（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7例2-2.（2020·陕西高二期末（理））离散型随机变量的分布列为下表，则常数的值为（）01A． B． C．或 D．以上都不对例2-3.（2020·防城港市防城中学高二期中（理））袋中装有一些大小相同的球，其中标号为号的球个，标号为号的球个，标号为号的球个，，标号为号的球个．现从袋中任取一球，所得号数为随机变量，若，则______．对点练1.（2021·河南·高二期末（理））若随机变量的分布列如下表，则的最大值是（）A． B． C． D．对点练2.（2019·吉林高二期末（理））随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，246则（）A． B． C． D．对点练3.（2020·广东高二期末）设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a为常数，则（）A．a= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=考点三.离散型随机变量的均值与方差例3-1.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).例3-2.随机变量X的可能取值为0,1,2，若P(X＝0)＝eq\f(1,5)，E(X)＝1，则D(X)＝()eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(10),5)例3-3.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望.例3-4.设某人有5发子弹,当他向某一目标射击时,每发子弹击中目标的概率为eq\f(2,3),若他连续两发命中或连续两发不命中则停止射击,否则将打完子弹．(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；(2)求他所耗用的子弹数X的分布列与数学期望．例3-5.某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当志愿者,学生的名额分配如表所示：高一年级高二年级高三年级10人6人4人(1)若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传,求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；(2)若将4名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相互独立的),记安排到高一年级的教师人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望．考点四.均值与方差在决策问题中的应用例4-1.某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15).针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．对点练1、甲、乙、丙、丁4名田径选手参加集训,将挑选一人参加400米比赛,他们最近10次测试成绩(单位：秒)的平均数和方差如表：甲乙丙丁平均数59575957方差12121010根据表中数据,应选哪位选手参加比赛更有机会取得好成绩()A．甲B．乙C．丙D．丁例4-2.(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？例4-3.若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台？考点五、分布列的应用例5-1．（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.例5-2.（2017·天津高考真题（理））从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．例5-3.（2019年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．对点练1.（2021·全国·高二课时练习）同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X．（1）写出X的分布列；（2）求；（3）求“点数和大于9”的概率．对点练2.（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.巩固训练单选题1．设随机变量X的概率分布为X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)则P(|X－3|＝1)等于()A.eq\f(7,12)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)2．随机变量X的概率分布为X124P0.40.30.3则E(5X＋4)等于()A．15B．11C．2.2D．2.33．若随机变量X的概率分布为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)4．设随机变量ξ的分布列为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10)))等于()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)5．一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是()A.eq\f(13,35)B.eq\f(14,35)C.eq\f(18,35)D.eq\f(22,35)6.从某班6名学生(其中男生4人，女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望E(ξ)＝()A.eq\f(4,5) B．1C.eq\f(7,5) D．27．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于()A.eq\f(126,125)B.eq\f(6,5)C.eq\f(168,125)D.eq\f(7,5)8.设0<a<1.随机变量X的概率分布是X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)则当a在(0,1)内增大时，()A．V(X)增大B．V(X)减小C．V(X)先增大后减小D．V(X)先减小后增大多选题9．（2022·江苏·高三专题练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（）．A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝10.从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则下列说法正确的是()A．D(X)＝eq\f(8,5) B．D(X)＝eq\f(6,5)C．m＝2 D．m＝411.已知随机变量ξ的分布列如下表所示.ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)的值与公差d的取值范围分别是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))12．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是()A．答对0题和答对3题的概率相同，都为eq\f(1,8)B．答对1题的概率为eq\f(3,8)C．答对2题的概率为eq\f(5,12)D．合格的概率为eq\f(1,2)填空题13．随机变量X的概率分布为X01mPeq\f(1,5)neq\f(3,10)且E(X)＝1.1，则V(X)＝________.14．随机变量X的概率分布如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．15.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为Y，若Y的数学期望E(Y)>eq\f(7,4)，则p的取值范围是________．16.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是________，方差是________．17.已知随机变量ξ的分布列为ξ123P0.5xy若E(ξ)＝eq\f(15,8)，则D(ξ)＝________.四.解答题18．小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A，B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A，B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A，B，C猜中的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且A，B，C是否猜中互不影响．(1)求A恰好获得4元的概率；(2)设A获得的金额为X元，求X的概率分布．19.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和均值．20．某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为X，若X∈[1,300]，每单提成3元，若X∈(300,600]，每单提成4元，若X∈(600，＋∞)，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y，若Y∈[1,400]，每单提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：美团外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x(单)131416171820天数2612622表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y(单)111314151618天数4512351(1)设美团外卖配送员月工资为f

(X)，饿了么外卖配送员月工资为g(Y)，当X＝Y∈(300,600]时，比较f

(X)与g(Y)的大小关系；(2)将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率．①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值E(x)和E(y