2022新高考数学高频考点题型归纳47二项式定理（学生版）

专题47二项式定理--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力1.了解“杨辉三角”的特征，掌握二项式系数的性质及其简单应用.2．掌握二项式定理，会用二项式定理解决有关的简单问题．二、教学建议（1）考查二项式定理；（2）考查通项公式的应用；（3）考查二项式系数的性质.（4）热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n，求参数的值等.三、必备知识1.二项式定理，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.(4)二项式的系数从，，一直到，.3.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．当是偶数时，中间的一项取得最大值．当是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，4.注意:(1)．分清是第项，而不是第项.(2)．在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及它们之间的大小关系.(4).在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．5.二项式定理的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①；②；（5）证明不等式.四、高频考点+重点题型考点一.二项展开式中指定项或系数问题例1-1.（2020·全国高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．例1-2.（2020·天津高考真题）在的展开式中，的系数是_________．例1-3.（2020·浙江省高考真题）设，则a5=________；a1+a2+a3=________．例1-4.（2017·山东高考真题（理））已知的展开式中含有项的系数是54，则n=_____________.例2-1.将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)－4))3展开后，常数项是________.例2-2.(1＋2x－3x2)5展开式中x5的系数为________．例2-3.(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10 B.20C.30 D.60例2-4.(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4的展开式中x的系数是()A.－4 B.－3C.3 D.4例2-5.(2019·马鞍山模拟)二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A．3B．5C．6D．7考点二、二项式系数的性质及各项系数和例3-1.（2021·浙江·高三期中）若多项式，则_______．例3-2.（2021·上海·格致中学高三期中）如果，则______.例3-3.（2021·广东·广州市协和中学高二期中）已知，则________________.例3-4.（2021·浙江丽水·高三期中）若，则________，________．例3-5.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.考点三、二项式定理的应用例4-1.设，且，若能被13整除，则（）A．0 B．1C．11 D．12例4-2.（2019·湖北高二期末（理））的计算结果精确到个位的近似值为（）A.106 B.107 C.108 D.109例4-3.1－90Ceq\o\al(1,10)＋902Ceq\o\al(2,10)－903Ceq\o\al(3,10)＋…＋(－1)k90kCeq\o\al(k,10)＋…＋9010Ceq\o\al(10,10)除以88的余数为________.例4-4.（多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C．由“第行所有数之和为”猜想：D．由“，，”猜想例4-5.（2021·全国·高二课时练习）当是大于的正整数且时，求证：．巩固训练单选题1.（2017·全国高考真题（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为（）A.-80 B.-40 C.40 D.802.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))6的展开式中，常数项为()A．－240 B．－60C．60 D．2403.二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A．3 B．5C．6 D．74.若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为()A．－4 B.eq\f(5,2)C．4 D.eq\f(7,2)5．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,\r(x))))n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为()A．50B．70C．90D．1206．设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)．若a＝Ceq\o\al(0,20)＋Ceq\o\al(1,20)·2＋Ceq\o\al(2,20)·22＋…＋Ceq\o\al(20,20)·220，a≡b(mod10)，则b的值可以是()A．2018B．2019C．2020D．20217．已知(xcosθ＋1)5的展开式中x2的系数与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,4)))4的展开式中x3的系数相等，且θ∈(0，π)，则θ等于()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)多选题8．二项式(2x－1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是()A．第2项 B．第3项C．第4项 D．第5项9．对于二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3))n(n∈N*)，以下判断正确的有()A．存在n∈N*，展开式中有常数项B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项10.已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为()A．7 B．8C．9 D．1011.若(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8且a1＋a2＋…＋a8＝255，则实数m的值为()A．1 B．－1C．－3 D．312．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）设，下列结论正确的是（）A． B．C．中最大的是 D．当时，除以2000的余数是1三.填空题13．（2021·全国）（数学文化）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是______．（用数字作答）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……14．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(1,x)))(2x＋1)5(a≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a＝_______，展开式中常数项为_______．15．若n是正整数，则7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)除以9的余数是.16.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)－3))5的展开式中常数项是________．17.设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*，已知aeq\o\al(2,3)＝2a2a4.(1)则n的值为________；(2)设(1＋eq\r(3))n＝a＋beq\r(3)，其中a，b∈N*，则a2－3b2的值为________．四.解答题18.在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数