2022新高考数学高频考点题型归纳05函数的概念及表示（学生版）

专题05函数的概念及表示一、关键能力通过函数概念和函数解析式的学习，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题，逐步养成学习者的数学抽象能力。二、教学建议在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数：求简单函数的值域中，简单函数指下列函数：，及它们之间简单的加减组合（更复杂的组合需在导数复习结束后加入）。函数概念需要多次接触，反复体会，螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。三、自主梳理1．函数的定义（☆☆☆）一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．2．函数的定义域、值域（☆☆☆）在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．3．函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．（☆☆☆）4．表示函数的常用方法有：列表法、图象法和解析法．（☆☆☆）5．分段函数（☆☆☆）在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．四、真题感悟1.(2014浙江)已知函数，且，则A．B．C．D．2.(2014江西)已知函数，，若，则A．1B．2C．3D．-13．（2020北京11）函数的定义域是__________．4.（2017新课标Ⅲ）设函数，则满足的的取值范围是___．5.(2014浙江)设函数若，则实数的取值范围是___.6.（2017浙江）若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则A．与有关，且与有关B．与有关，但与无关C．与无关，且与无关D．与无关，但与有关7.（2017浙江）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是．8.(2013北京)函数的值域为．五、高频考点+重点题型考点一、定义域例1.（1）函数的定义域为（）A．B．C． D．（2）（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______．对点训练1.（2021江西省临川高三押题预测卷）已知集合,,则（）A． B． C． D．对点训练2.（2021湖北省荆州中学高三下学期四模）定义域是一个函数的三要素之一,已知函数定义域为,则函数的定义域为（）A． B．C． D．对点训练3.若函数的定义域为R,则实数a的取值范围为________；【答案】；【解析】(1)的定义域为R,则恒不为零,即没有实数根,所以,所以实数a的取值范围为；总结：1、给定函数解析式求定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．注意定义域是一个集合,要用集合或区间表示.常见基本初等函数定义域的基本要求为：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y＝tanx,x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求2、抽象函数的定义域要求：寻找内在的隐含条件考点二、函数值域与最值例2．（2021山东省济南市高三二模）（多选题）下列函数求值域正确的是（）A．的值域为B．的值域为C．的值域为D．的值域为对点训练1.（2021陕西省西安市高三下学期适应性考试）已知集合,集合,则（）A． B．C． D．对点训练2.函数的值域为__________．考点三、解析式例1、求下列函数的解析式（1）已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x),则f(x)=________．（2）已知是三次函数,且在处的极值为0,在处的极值为1,则=______．（3）已知f(x)的定义域为{x|x≠0},满足3f(x)＋5feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3,x)＋1,则函数f(x)=________．（4）已知函数是偶函数,且时,则时f(x)=________．对点训练1.已知函数f（x）＝2x﹣1，g（x）=x2，x≥0−1，x＜0，求f[g（x）]和g[析式．对点训练2.（2021·云南高三二模（理））已知函数，若，且，设，则的取值范围为________.考点四、分段函数例4．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数，则（）A．B．若，则C．在上是减函数D．若关于的方程有两解，则对点训练1、（2021江西省高三5月联考）已知函数则不等式的解集为（）A． B．C． D．对点训练2.（2020•河西区三模）已知实数a≠0，函数f(x)=2x+a，x＜1−x−2a，x≥1，若f（1﹣a）＝f（1+a），则A．−34 B．34 C．−考点五、复合函数例5.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数的定义域为，图象如图1所示，函数的定义域为，图象如图2所示.若集合，，则中有___________个元素.对点训练1.(多选题)已知定义域内的函数f(x)满足f(f(x))-x>0恒成立,则f(x)的解析式不可能是 ()A.f(x)=2019xB.f(x)=eC.f(x)=x2D.f(x)=lg1+对点训练2.【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数令，则下列说法正确的是（）A． B．方程有3个根C．方程的所有根之和为－1 D．当时，考点六、函数概念：对应法则例1.下列所给图象是函数图象的个数为()A．1B．2C．3 D．4对点训练1.（上海卷）设D是含数1的有限实数集，fx是定义在D上的函数，若fx的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，fA．3B．32C．33对点训练2.（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”,则下列对应法则f满足函数定义的有（）A． B． C． D．巩固训练一、单选题1.函数的值域为（）A． B． C． D．2.（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数是相等函数的是（）A． B． C． D．3.已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）+2f（﹣x）＝x2﹣x，则f（x）＝（）A．x2+2x3 B．2x23+x4．（2020秋•渝中区校级月考）对任意x∈R，存在函数f（x）满足（）A．f（cosx）＝sin2x B．f（sin2x）＝sinx C．f（sinx）＝sin2x D．f（sinx）＝cos2x5（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形中，点从点出发，沿向，以每个单位的速度在正方形的边上运动；点从点出发，沿方向，以每秒个单位的速度在正方形的边上运动.点与点同时出发，运动时间为(单位：秒)，的面积为(规定共线时其面积为零，则点第一次到达点时，的图象为（）A． B．C． D．6.(2020山东潍坊一模)函数f(x)=x+1,-1<x<0,2x,x≥0,若实数a满足f(A.2B.4C.6D.8多选题7.（2021·全国高一课时练习）已知f(x)=，则f(x)满足的关系有（）A． B．=C．=f(x) D．8.（2021·全国高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则（）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是三、填空题9.若函数的定义域为R,则实数a的取值范围为________.10.（2021·全国高一课时练习）已知f=x2+，则函数f(x)=_______，f（3）=_______．四、解答题11．（2021内蒙古巴彦淖尔市高三月考）已知函数,.（1）求的解析式.（2）若方程