2021年中考数学二轮复习：几何综合压轴题 专项练习题汇编（含答案解析）

2021年中考数学二轮复习：几何综合压轴题专项练习题汇编

一、计算题(本大题共1小题，共14分)

1.如图1,在AaBC中，AACB=90°,AC=BC,。为AB上一点，连接CQ,将8

绕点C顺时针旋转90。至CE,连接AE.

(1)连接E。，若CD=3,AE=4,求AB的长；

(2)如图2,若点尸为AO的中点，连接EB、CF,求证：CF1EB.

图1图2

二、解答题(本大题共22小题，共276.0分)

2.已知，A4BC是等边三角形，等腰三角形BOE的顶点。在AC上，且8。=OE,

乙BDE=120°.

(1)如图1,当8,C,E三点共线时，连接并延长交AB于点反

①求证：CE=；4B；

②求证：BFBD=EF-CE；

图1图2

第1页共55页

3.【操作发现】如图1,在^。48和4OCD中，。4=OB,0C=0D,乙40B=乙COD=

40°,连接AC,8。交于点M.

①喘的值为;

DU

②乙4MB的度数为.

【类比探究】如图2,在4。48和4OCD中，乙4OB=LCOD=90。,/048=Z.OCD=

30°,连接AC交BD的延长线于点M.计算名的值及44MB的度数；

【实际应用】在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC,8。所在直线

交于点M,若。。=1,OB=小,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

图1图2备用图

4.如图①，在△ABC中，AC^BC,CO为4B边上的中线，CE//AB,线段。E交8c

于点G.

(1)若CE=CG=1,48=4,求。E的长；

(2)如图②，取AZBC外一点F,连接4凡BF,CF,DF,CF与DE交于点H,若

乙4cB=90。，AC=AF,BF1CF,DE1DF.

①求黑的值；②求证：CH=FH.

第2页共55页

5.如图，在菱形ABC。中，AABC=60°,M为AO的中点，连接BM,交AC于E,

在CB上取一点F,使得CF=4E,连接AF,交于G,连接CG.

(1)求48GF的度数；

(2)求黑的值;

DU

(3)求证：BG1CG.

6.已知：如图1,ZkABC中，AB=AC,BC=6,BE为中线，点。为8C边上一点,

BD=2CD,DF_LBE于点凡EH1BC于点”.

(1)CH的长为.

⑵求BF-BE的值;

(3)如图2,连接FC,求证：/.EFC=/.ABC.

第3页共55页

7.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点。与点B分别位于直线AC的两侧，且

AD=AC,连结B。、CD,8。交直线AC于点E.

(1)当乙乙4。=90。时，求线段AE的长.

(2)过点A作4,1CD,垂足为点H,直线AH交80于点凡

①当NC4。<120。时，设AE=x,y=受空(其中“作后表示△BCE的面积，S-EF表

示△4EF的面积)，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当鬻=2时，请直接写出线段人后的长.

备用图

8.如图，在AABC中，力B<AC,点力、尸分别为8C、4C的中点，E点在边AC上,

连接DE,过点8作DE的垂线交AC于点G,垂足为点H,且仆CDE与四边形ABOE

的周长相等，设4c=b,AB=c.

(1)求线段CE的长度；

(2)求证：DF=EF；

(3)若S4BOH=S^EGH，求展的值.

第4页共55页

9.数学活动课上，某学习小组对有一内角为120。的平行四边形ABCCaBAD=120。)

进行探究：将一块含60。的直角三角板如图放置在平行四边形A8CQ所在平面内旋

转，且60。角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线

段A8,AO于点E,『(不包括线段的端点).

(1)初步尝试

如图1,^AD=AB,求证：①ABCE三AACF,@AE+AF=AC;

(2)类比发现

如图2,^AD=2AB,过点C作CH1AD于点H,求证：AE=2FH；

(3)深入探究

10.如图，在△ABC中，AG1BC,垂足为点G,点E为边AC上一点，BE=CE,点

D为边BC上一点,GD=GB,连接AO交BE于点F.

(1)求证：乙ABE=/.EAF-,

(2)求证：AE2=-EF-EC-.

(3)若CG=24G,AD=2AF,BC=5,求AE的长.

第5页共55页

11.如图，在等边AABC中，BD=CE,连接4)、BE交于点F.

(1)求N4FE的度数；

(2)求证：AC-DF=BD-BF；

(3)连接FC,若CF14D时，求证：BD=加.

12.如图，在△ABC中，AACB=90°,AC=BC,CO是A8边上的中线，点E为线段

CD上一点(不与点C、。重合)，连接BE,作EFlBE与AC的延长线交于点凡与

BC交于点G,连接8F.

(1)求证：ACFGfEBG；

(2)求NEFB的度数；

(3)求①的值.

第6页共55页

13.如图，正方形ABC。的边长为6,E、尸分别是边C£＞、AO上的动点，AE和BF交

于点G.

(1)如图(1),若E为边C£＞的中点，AF=2FD,求AG的长；

(2)如图(2),若点尸在AO上从A向。运动，点E在。C上从。向C运动.两点同

时出发，同时到达各自终点，求在运动过程中，点G运动的路径长；

(3)如图(3),若E、F分别是边。、AO上的中点，BD与AE交于点、H,求4FBD的

14.如图，在△ABC中，AC=VTO,tanA=3,々IBC=45。，射线BO从与射线8A重

合的位置开始，绕点B按顺时针方向旋转，与射线BC重合时就停止旋转，射线8。

与线段AC相交于点。，点M是线段8。的中点.

(1)求线段BC的长；

(2)①当点。与点4、点C不重合时，过点。作DEJ.2B于点E,DFJLBC于点尸，

第7页共55页

连接ME,MF,在射线8。旋转的过程中，4EMF的大小是否发生变化？若不变,

求NEMF的度数；若变化，请说明理由.

②在①的条件下，连接EF,直接写出AEFM面积的最小值.

备用图

15.如图①，在锐角AABC中分别为中点，尸为AC上一点，且NAFE=乙4,

DM〃EF交AC于点M.

(1)求证：DM=DA；

(2)点G在BE上，且NBDG=4C,如图②，求证：ADEGfECF；

(3)在图②中，(2)的基础上，取CE上一点H,使NCF"=/B,若BG=1,求EH

的长.

16.如图，在矩形A8C。中，点E是对角线AC上一动点，连接8E,作CF1BE分别交

BE于点G,AB于点R

⑴如图1,若CF恰好平分NBC4求证：4CGE王4CGB；

第8页共55页

(2)如图2,若第=2,取3c的中点H,连接AH交BE于点P,求证:

(1)AH=34P;

@BH2=BF-BA.

17.如图，矩形ABCCQIB>4。)中，点M是边OC上的一点，点P是射线C8上的动

点，连接AW,AP,且Z7MP=2乙4MD.

(1)若〃PC=76°,则ND4M=；

(2)猜想乙4PC与ND4M的数量关系为,并进行证明；

(3)如图1,若点M为力C的中点，求证：2AD=BP+AP;

(4)如图2,当乙4Mp=41PM时，若CP=15,黑=|时，则线段MC的长为.

第9页共55页

18.如图，正方形ABC。中，E为BC边上任意点，AF平分4EAD,交8于点F.

(1)如图1,若点F恰好为C。中点，求证：4E=BE+2CE；

(2)在⑴的条件下，求案的值；

DC

(3)如图2,延长AF交BC的延长线于点G,延长AE交。C的延长线于点”，连接

HG,当CG=D尸时，求证：HG1XG.

19.已知△ABC为等边三角形.点力为直线BC上的一动点(点。不与B、C重合)，以

AD为边作菱形/WEF(4、D、E、尸按逆时针排列)，使ZD4F=60。，连接CF.

(1)如图1,当点O在线投BC上时，求证：AC=CF+CD；

(2)如图2,当点。在线投8C的延长线上且其他条件不变时，结论4c=CF+CO是

否成立？若不成立，请写出4C、CF、C。之间存在的数量关系，并说明理由，

20.(1)如图1,E是正方形ABCD边A8上的一点，连接B。、DE,将4BDE绕点。逆

时针旋转90。，旋转后角的两边分别与射线BC交于点G和点F.

①线段DB和DG的数量关系是；

②写出线段8E,8尸和OB之间的数量关系.

(2)当四边形48C。为菱形，NADC=60。，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的

一点，连接8。、DE,将NBOE绕点。逆时针旋转120。，旋转后角的两边分别与射

第10页共55页

线8C交于点G和点F.

①如图2,点E在线段A8上时，请探究线段B£、8F和8。之间的数量关系，写

出结论并给出证明；

②如图3,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点若BE=1,AB=2,

直接写出线段GM的长度.

21.如图1,在△力BC中，力B=AC,点。，E分别是边BC,4c上的点，且4ADE=NB.

(1)求证：AB-CE=BD-CD；

(2)若4B=5,BC=6,求AE的最小值;

(3)如图2,若△ABC为等边三角形,401DE,BE10E,点C在线段OE上,40=3,

BE=4,求OE的长.

22.如图，AABC中，4B=4C=10厘米，BC=12厘米，。是BC的中点，点尸从B

出发，以。厘米/秒(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动，点。同时以1厘米/秒的

速度从。出发，沿。8匀速向点8运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也

随之停止运动，设它们的运动时间为t秒.

⑴若a=2,那么f为何值时4BPQ与4BZM相似？

第11页共55页

(2)已知M为AC上一点，若当t=1时，四边形PQCM是平行四边形，求这时点P

的运动速度.

(3)在P、。两点运动工程中，要使线段PQ在某一时刻平分A4B0的面积，点P的

运动速度应限制在什么范围内？【提示:对于一元二次方程，有如下的结论:若与•冷

是方程ax?+bx+c=0(a*0)的两个根，则乂1+乂2=-£，xi,x2=^l

23.如图，在RtAABC中，44cB=90。，AC=5cm,ABAC=60°,动点”从点8出

发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在

CB边上以每秒百cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为f秒(OStS5),连接

MN.

(1)若BM=BN,求f的值；

(2)若AMBN与△力BC相似，求f的值;

(3)当f为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值.

第12页共55页

答案和解析

1.【答案】解：(1)如图1,由旋转可得，EC=DC=3,乙ECD=90°=乙ACB,

又・：AC=BC,

•••△BCDWA4CE(S4S),

・•・AE=BD=4,Z,CAE==45°=Z-CABf

・•・LEAD=90°,

：•DE=V324-32=3VL

:.AD=yjDE2—AE2=J(3>/2)2-42=V2»

・•・AB=/O+BD=V2+4.

(2)如图2,过。作CG148于G,则46=^48,

•e.CG=-AB,即竺=

24B2

・・•点/为AQ的中点，

・•・FA=-AD

2f

1111

••・FG=AG-AF=-AB--AD=-(AB-AD)=±BD,

222'72

由(1)可得，BD=AEf

第13页共55页

AFG=-AE,即竺=工,

2AE2

.CG_FG

“AB-AE9

又・・•乙CGF=乙BAE=90°,

*'•△CGF〜ABAE,

:.Z.FCG=乙ABE,

•・•乙FCG+乙CFG=90°,

••・/.ABE+(CFG=90°,

:.CF1BE.

【解析】(1)根据旋转的性质，得出△BCD三△ACE,进而得到AE=BD=4,/.CAE=

ZF=45°=/.CAB,/.EAD=90°,求出。E的长，即可得到AO的长，进而得出4B的

长；

(2)过C作CG1AB于G,则4G=BG,得出与=保，证明△CGF-&BAE,得至此FCG=

ABAE

/.ABE,依据Z4BE+乙CFG=90°,可得CF1BE.

本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股

定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

2.【答案】(1)①证明：•；BD=DE,ABDE=120°,

•••乙DBE=乙DEB=1(180°-120°)=30°,

•••△ABC为等边三角形,

乙ACB=4ABC=60°,AB=AC,

•••&CDE=乙4cB-乙DEB=60°-30°=30°,

:.Z.CDE=乙CED,

ACD=CE,

又・••乙CBD=乙ABD=30°,

CD=AD=-AC=-AB,

22

CE=-AB-,

2

②证明：・・•乙4BC=60。，Z.DEC=30°,

••・乙BFE=90°,

第14页共55页

同理些=在，

BD3

又丫DC=CE,

BFCE

—=—,

EFBD

・•・BF•BD=EFeCE；

(2)解：将△48。绕点8顺时针旋转60。得到△8CN,连接。N,

图2

AD二CN,Z.DBN=60°,BD=BN,Z.BAD=Z.BCN=60°,

,•.△BDN为等边三角形,

・•・DN=BD,乙BDN=乙BND=60°,

BD=DE,

・・・DE=DN,

又・••乙ACB=60°,

:.乙ACN=Z.ACB+Z-BCN=60°+60°=120°,

:.乙DNC=60。一乙CDN,

延长DM,使DM=MH,连接EH,则DH=2DM,

・・•MA=ME,LAMD=乙EMH,

・・./.DAM=4EMH,AD=HE,

:・AD//EH,CN=HE,

・・・乙DEH=(CDE,

・・•乙BDE=120°,

・・・(NDE=60°,

・・・£CDE=60°-Z,CDN=乙DEH,

・•・乙DNC=乙DEH,

•••△ONCWADEH(SAS),

:.CD=DH,

・・・CD=2DMf

第15页共55页

CD「

J—=2.

DM

【解析】(1)①由等腰三角形的性质得出NDBE=乙DEB=30°,由等边三角形的性质得

出乙4cB=NABC=60。，AB=AC,由等腰三角形的性质可得出结论；

②求出NBFE=90。，由锐角三角函数的定义可得出结论；

(2)WA4BD绕点B顺时针旋转60。得到△BCN,连接DN,由旋转的性质得出ZD=CN,

乙DBN=60°,BD=BN,/.BAD=NBCN=60°,得出△BDN为等边三角形，延长DM,

使DM=MH,连接EH,则=证明△AMD三△EMH(SAS),由全等三角形的

性质得出NDAM=乙EMH,AD=HE,证明△DNC^ADEH{SAS},由全等三角形的性

质得出CD=DH,则可得出答案.

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角

形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

3.【答案】140°

【解析】解：(1)问题发现

①如图1,•••4AOB=乙COD=40°,

・••Z.COA=4DOB,

vOC—OD,OA=OB,

••.△CO力三△D0B(S4S),

:.AC=BD,

・•・一AC=1-；

BD

②•・•△COi4=ADOB,

:.Z.CAO=乙DBO,

Z.AOB=40°,

・・・Z,OAB+乙48。=140°,

在44MB中，乙AMB=180°-(Z.CAO+4OAB+乙ABD)=180°一(NDBO+Z,OAB+

Z.ABD)=180°-140°=40°,

故答案为：①1;②40。；

(2)类比探究

如图2,=V3,乙4MB=90。，理由是：

BD

RMC00中，4。。。=30°,Z.DOC=90°,

第16页共55页

—=tan30°=—,

OC3

同理得：—=tan300=—»

OA3

0。OB

—，

OCOA

•••4/08=4。。。=90。,

・•・Z,A0C=乙BOD,

力图

•••△AOC^LBOD>3&

=y/3Z.CAO=乙DBO,

BDOD9

在44MB中，乙AMB=180°一{Z,MAB+4aBM)==180°-{Z.OAB+乙ABM+乙DBO)=

90°；

(3)拓展延伸

①点C与点例重合时，如图3,同理得：A71OC-ABOD,

乙

4MB=90°,—BD=V3,

设BO=x,则4C=遮x,

Rt△COD中，“CD=30°,OD•=1.

-CD=2,BC=x—2,

RtAZOB中，/LOAB=30°,OB，=V7，

AB=2OB=2V7,

在Rt/kAMB中，由勾股定理得:>1C2+BC2=AB2,

大

•••(V3x)2+(x-2)2=(277)2,

x2—x—6=0,

・•・(》—3)(%+2)=0,

***X]=3,%2=—2,

・•・AC=3>/2;zTB

②点。与点M重合时，如图4,同理得：4AMB=90°,

^=V3,

BD

设8。=x,则4C=V3x,

在4MB中，由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,

・•・(V5x)2+(%+2尸=(277)2,

/.%24-%—6=0,

A(x+3)(%—2)=0,

第17页共55页

**,%]=—3,%2=2,

•••AC=2>/3:

综上所述，AC的长为3g或2遮.

(1)①证明△COA三△COB(SAS),得AC=BD,比值为1；

②由△COA任DOB,得“4。=乙DBO,根据三角形的内角和定理得：乙4MB=180°-

QDB0+40AB+^ABD)=40°；

(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOCs^BOD,则啜=8，由全等三角形的性

质得乙4M8的度数；

(3)正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4,同理可得：xAOCsx

BOD,贝lJZ71MB=90。，—=V3,可得AC的长.

BD

本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，

解题的关键是能得出：AAOCSABOD,根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解

决问题，本题是一道比较好的题目.

4.【答案】解：(1)•••CE//AB,

CEG〜ABDG,

CE_CG

,•访一记’

・•・在等腰三角形ABC中，AC=BC,CD为A8边上的中线，

BD=-AB=2,CD1AB,

2

.-1=_--1-,

2BG

・•・BG=2,

・・・BC=BG+CG=2+1=3,

・•・CD2=BC2-BD2=32-22=5,

vCE//AB,CDLAB,

・•・CD1CE,

・・・4DCE=90°,

:,在Rt△CEO中，DE=yJCD24-CE2=V54-12=V6;

(2)①・・・DEJ.DF,CDLAB,

:.Z.FDE=乙CDB=90°,

・•・(FDB=Z.HDC,

vBF1CF,

第18页共55页

・•・乙CFB=Z-EDF=90°,

・•.乙CFB+Z.DFH=Z-EDF+乙DFH,

・・.乙DFB=乙DHC,

v^ACB=90°,AC=BC,

・・.△ABC是等腰直角三角形，CD为AB边上的中线,

:.BD=CD,

ZDFB=乙DHC

在和△DHC中，UFDB=

BD=CD

•••△0FBWADHC(44S),

；・DF=DH,

vZ-EDF=90°,

.•.△HDF是等腰直角三角形，

HF=V2DW)即黑的值为企；

UH

②设AC=BC=a,

•••△ABC是等腰直角三角形，CQ为AB边上的中线,

AB=V2J4C=V2a>AD=-AB=—a>

22

:.——AD=—AC=一42,

ACAB2

-AC=AF,

——AD=——AF=一V2,

AFAB2

vZ.DAF=乙FAB,

・•・△DAF〜AFAB,

—=—=即BF=&DF,

BFAB2

•••△DFB=^DHC,

・•・CH=BF,DF=DH,

•••CH=V2DF=V2DH,

•••HF=&DH，

：.CH=FH.

【解析】⑴证ACEGfBDG,得暮=*,求出BG=2,则BC=3,由勾股定理得CD?

BDBG

8C2-BD2=5,再由勾股定理即可得出答案；

第19页共55页

(2)①证4OFB三△CHCQL4S),得OF=。“，证出△HDF是等腰直角三角形，得HF=

V2DH,即可得出答案；

②由等腰直角三角形的性质得出AB=V2AC=y[2a,AD=\AB=*，则竿=£=彳

iiEADAF-hFAB,得BF=^DF,由△DFB三△DHC,得出CH=BF,DF=DH,推

出CH=®DF=&DH,即可得出结论.

本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角

形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握全等三角形的判

定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键.

5.【答案】解：(1)、•四边形4BCO是菱形，

AB=BC=CD=AD,/.ABC=/.ADC=60°,

.•.△ABC,△ADC都是等边三角形，

•••AB=AC,/BAE=^ACF=60°,

■■■AE=CF,

：.^BAE^^ACF{SAS},

・•・乙

ABE=Z-CAFf

・・・乙BGF=Z.ABE+/.BAG=Z.CAF+/-BAG=Z.BAC=60°.

(2)v/.BAG+^ABG=Z.ABG+乙CBM=60°,

・♦・乙BAG=乙CBM,

-AD//CB,

・・.乙AMB=z£BM,

Z.BAG=4BM4

•・•乙ABG=4ABM,

・•.△BAG*BMA,

BG_AG

,•，

ABAM

:.A,G_—AM,,

BGAB

■■■AM=MD=-AD=-AB,

22

AG_1

BG2

(3)设4M=CM=x,连接CM,

第20页共55页

•・•△4CD是等边三角形，

・,.CM1AD,

ACM=WAM=V3x,

-AD//CB,

:,CM1BC,

:.(BCM=90°,

vAD=BC=2%,

・・・BM=>JBC2+CM2=缶，

BAGfBMA,

ABBM

,••____,

BGAB

2Xy[7x

:、---------,

BG2x

4五

••BG=—x,

7

BGBC277

**CB~~BM~7

v乙CBG=乙CBM,

*'•△CBGs公MBC,

・•・乙BGC=乙BCM=90°,

BG.LCG.

【解析】(1)证明△BAE=^ACF(SAS),推出〃BE=“4F可得结论.

(2)证明△B4G7BAM,推出普=*，推出黑=*抑可解决问题.

ABAMBGAB2

(3)想办法证明△CBGfMBC可得结论.

本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三

角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

6.【答案】1.5

第21页共55页

【解析】解：（1）如图1,作4GLBC于点G,

A

:・CG=3,

-AE=EC,EH1BC,

・•・EH〃AG,

I3

ACH=-CG=-；

22

故答案为：|.

(2)vBD=2CD,

...CD=iFC=-x6=2,

33

:.BD=4,

・•・DH=CD-CH=2-1.5=0.5,

:.8”=4+0.5=4.5,

•・・DF1BE,EH1BC,

:.乙DFB=乙EHB,

v乙DBF=乙EBH,

DFB〜二EHB,

.BF_BD

••―«

BHBE

BF•BE=BH•BD="4=18.

2

(3)如图2,过点A作4M〃BC交BE延长线于点M,

第22页共55页

图2

・•.zM=乙EBC,Z.AEM=乙CEB,

•••△AEMwaCEB(44S),

・・・AM=8C=6,BM=2BE,

・•・BF•BM=BF•2BE=2x18=36,

-AMBC=6x6=36,

・・・BF・BM=AM,BC,

BFBC

"AM-BM'

v乙FBC=Z-M,

•••△FBCs>AMB,

・・・乙ABM=(BCF,

•・・乙EFC=乙FBC+乙BCF,

:.乙EFC=Z.FBC+乙ABM,

:.乙EFC=Z-ABC,

(1)作AGIBC于点G,求出CG=3,得出EH〃4G,贝l|CH=，G=|；

(2)求出BH=4.5,证明△DFB-4EHB,得出黑=烂，则可得出结论；

(3)过点A作4M〃BC交BE延长线于点M,证明CEBQL4S),则4M=BC=6,

BM=2BE,证得空=空，可证明△FBCfAMB,贝IJNABM=乙BCF,则可得出结论.

AMBM

本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角

形的判定与性质，三角形的外角和，平行线的性质等知识，正确作出辅助线，构造全等

三角形是解题的关键.

7.【答案】解：(1)•••△ABC是等边三角形，

4B=BC=AC=2,ABAC=/.ABC=^ACB=60°.

第23页共55页

-AD=AC,

:.AD=AB,

・,.乙48。=乙4DB,

・・•乙ABD+Z,ADB+Z.BAC+ACAD=180°,4CAD=90°,Z.ABD=15°,

・•・Z.EBC=45°.

过点E作EGJ.BC,垂足为点G.

设4E=x,则EC=2-x.

在RMCGE中，乙4cB=60。，

c]

EG=EC-sinz/lCB=—(2-x).CG=EC-cos44cB=l--x,

***BG=2—CG=1H—x

2

在RMBGE中，Z-EBC=45°,

•••1+|x=y(2-X),

解得x=4—2值.

••・线段AE的长是4-2亚

(2)①当N&W<120。时，

设=a,则4BZM=a,4DAC=Z.BAD-^BAC=120°-2a.

■■■AD=AC,AH1CD,

：./.CAF=-ADAC=60°-a,

2

又TZ.AEF=60°+a,

:.Z.AFE=60°,

・••Z-AFE=Z-ACBy

又•・•^LAEF=乙BEC,

第24页共55页

・•・△AEF^^BEC,

SABCEBE2'

由(1)得在RtACGE中，BG=1+1%.EG=y(2-x).

BE2=BG2+EG2=X2-2X+4,

y2

••・y=^^(0<x<2)・

②

整理得3/+x-2=0,

解得X=|或一1（舍去）,

当12。。＜皿。＜18。。时，同法可得、=备,

整理得3/-工一2=0,

解得％=-|（舍去）或1，

第25页共55页

：.AE=1.

综合以上可得AE的长为1或|.

【解析】(1)过点E作EG1BC,垂足为点G.4E=%,贝l]EC=2—x.根据BG=EG构建

方程求出x即可得出答案.

(2)①证明△4EFyBEC,可得受空=工，由此构建关系式即可解决问题.

SA8CEBE

②分两种情形：当“4D<120。时，当120。</.CAD<180。时，分别得出方程求解即

可解决问题.

本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想及方程的思想解决问题.

8.【答案】(1)解：•••点。为8c的中点，

:.BD=CD,

・・•△CDE与四边形ABDE的周长相等，

•**CD+DE+CE=AB+BD+DE+AE,

ACE=ABAE=AB+04c-EC),

・•・2CE=AC4-AB=b+c,

•••CF=1(/?+c)；

(2)证明：•.•点£»、F分别为BC、AC的中点，

•••。5是△CAB的中位线，

DF=-2A2B=-c,2AF=-A2C=-b,

由(1)知：CE="b+c),

:.AE=b—CE1=h—|(h+c)=|(fa—c),

•••EF=AF-AE=-b--(b-c>)=-c,

・•・DF=EF；

(3)解：连接BE、DG,如图所示：

IS^BDH=S^EGH，

ASRBDG=S&DEG9

:.BE//DG,

・・・DF是ZkCAB的中位线，太「

G

第26页共55页

BD

■■-DP//AB,黑号,

・•・△ABE^^FDG,

AB_AE_2

―"■

DFFG1

•••FG=^AE=ix|(fe-c)=i(b-c),

过点A作4P1BG于P,

•••DF11AB,

・•・Z.DFC=Z-BAC,

vZ.DFC=Z.DEF+乙EDF,EF=DF,

・•・乙DEF=Z.EDF,

：,/LBAP+/-PAC=2Z.DEF,

•・•ED1BG,AP1BG,

・•・DEHAP,

・•・乙PAC=乙DEF,

・•・Z.BAP=乙DEF=乙PAC,

-APLBG,

・•・AB=AG=c,

:.CG—b—c,

・•・CF=gb=FG+CG=：(b—c)+(b—c),

**3b—5c,

b5

J-=一.

c3

【解析】(1)由已知得出BD=CD,由^CDE与四边形A8QE的周长相等，得出CD+DE+

CE=4B+BD+DE+/E,即CE=AB+AE=AB+(4C—EC),即可得出结果；

(2)易证£)尸是△C4B的中位线，则OF==：c,4F==：b,由(1)知CE=；(b+

c),AE=b-CE=^(b-c),EF=AF-AE=^c,即可得出结论；

(3)解:连接BE、DG,由SABDH=SAEGH,得出“小。=SADEC,则BE//DG,证明△ABE*

FDG,得出含=箓=：，求出FG=；(b-c),过点A作4P1BG于P,证明力B=AG=c,

则CG=b-c,由CF=：b=FG+CG=：(b-c)+(b-c),得出3b=5c,即可得出

结果.

第27页共55页

本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、相似

三角形的判定与性质、同底三角形面积相等则高相等等知识；熟练掌握中位线定理与平

行线的性质是解题的关键.

9.【答案】解：（1）①•••四边形4BCD是平行四边形，Z.BAD=120°,

・•・Z.D=乙B=60°,

•・•AD=AB

.•.△ABC,△AC。都是等边三角形，

:.乙B=Z-CAD=60°,乙ACB=60°,BC=AC,

・・•乙ECF=60°,

:.Z-BCE+/.ACE=2LACF+Z-ACE=60°,

Z.BCE=Z.ACF,

在aBCE和△4CF中，

Z-B=Z.CAF

BC=AC

ZBCE=乙ACF

BCE二4ACF•

(2)•・•△BCE王AACF,

：.BE=AF,

:.AEAF=AEBE=AB=AC.

(2)设OH=%,由由题意，CD=2%,CH=网,

AD=2AB=

4%,

第28页共55页

.%AH=AD—DH=3%,

vCH上AD,

:.AC=7AH2+CH?=2V3x,

222

AAC+CD=AD,

・・.乙ACD=90°,

・・・/.BAC=Z.ACD=90°,

:.乙CAD=30°,

:.4ACH=60°,

v乙ECF=60°,

・•・乙HCF=AACE,

*'•△i4CE^AHCF,

.些_9_2

"FH~CH~'

：.AE=2FH.

⑶夕

【解析】

解；(1)见答案

(2)见答案

(3)如图3中，作CN_LAD于MCM_L84于M,CM与AD交于点H.

•・•乙ECF+/-EAF=180°,

・•・Z,AEC+/LAFC=180°,

v/.AFC+Z.CFN=180°,

第29页共55页

・•・乙CFN=^AEC,•・•乙M=乙CNF=90°,

・•・△CFNfCEM,

.CN_FN

,,=，

CMEM

・・•AB-CM=AD-C/V,AD=3AB,

・•・CM=3CN,

・,・照=*=g设CN=a,FN=b,则

CMEM3

CM=3a,EM=3b,

v/-MAH=60°,4M=90°,

图3

:.^AHM=乙CHN=30°,

・•・HC-2a,HM=a,HN=V3a»

4A4b-Arr2>/3

**.AM=—a,AH=—Q,

33

AC=7AM2+CM2=返。，

3

AE+3AF=(EM-AM)+3(AH+HN-FN)=EM-AM+3AH+3HN-3FN=

3AH+3HN-AM=^a,

14、叵

AE+3AF

AC=量=6

故答案为夕.

【分析】

(1)①先证明△48C,A4CD都是等边三角形，再证明NBCE=4ACF即可解决问题.②

根据①的结论得到BE=4F,由此即可证明.

(2)设CH=x,由由题意，CD=2x,CH=V3x>由△ACE—HCF,得尊=受由此即

rHCH

可证明.

(3)如图3中，作CN14。于N,CM1B4于M,CM与AO交于点H.先证明△CFN“ACEM,

得4=由4B-CM=40-CN,AD=3AB,推出CM=3CN,所以/=警=±,设

CN=a,FN=b,则CM=3a,EM=3b,想办法求出AC,4E+34F即可解决问题.

本题考查几何变换综合题.全等三角形的判定和性质.相似三角形的判定和性质、等边

三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形，学会添加常用

辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.

10.【答案】(1)证明：vEB=EC,

乙EBC=zC.

第30页共55页

,*eAGJLBD,BG=GD»

:.AB=AD,

・,.乙48。=乙4DB,

・・•乙ABD=乙ABE+乙EBC,Z.ADB=乙DAC+ZC,

・•・乙ABE=Z-DAC,

即z_ABE=Z.EAF.

(2)证明：vZ.AEF=Z.BEA,Z.EAF=^ABE,

：.^AEF-^BEA,4.

...竺=空，/

2/!

AE2=EF-EB,/^--^、、、\|

vEB=EC,BGD

AE2=EF-EC.

(3)解：设BE交AG于J,连接D/,DE.

•••4G垂直平分线段BQ,

■■JB=JD,

:.Z-JBD=乙JDG,

v乙JBD=zC,

:.Z.JDB=zC,

・•・DJ//AC,

・•・Z,AEF=乙DJF,

,:AF=DF,Z-AFE=乙DFJ,

'^AFE^^DFJ(AAS),

:・EF=F],AE=DJf

vAF=DF,

・•・四边形AJDE是平行四边形，

•・・DE11AG,

vAG1BC,

:.ED1BC,

•・•EB=EC,

第31页共55页

BD=DC=

2

BG=DG=4

vtan乙JDG=tanzC=—=-=—,

JCG2DG

・•・哈,

・・•Z-]GD=90°,

DJ=JGJ2+DG2=J©)2+©2=咨

5V8

・••AE=DJ=

8

【解析】(1)首先证明NE8C=Z.C,/.ABD=Z.ADB,再根据44B0=/.ABE+Z.EBC,

/.ADB=/.DAC+/.C,可得结论.

(2)证明△AEFsABE4可得结论.

(3)设BE交4G于J,连接D/,DE.证明四边形A/DE是平行四边形，推出DE1BC,

AE=DJ,想办法求出D7即可解决问题.

本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型.

11.【答案】解：(1AF4BC是等边三角形，

•••AB=AC=BC,AABD=乙BCE=60°,

在△力BD和ABCE中，

AB=BC

乙ABD=ABCE=60°,

BD=CE

.-.AABD=ABCE(SAS),

:./.BAD=Z.CBE,

■：Z.ADC=/.CBE+Z-BFD=/.BAD+Z.ABC,

：.乙BFD=/.AFE=乙ABC=60°：

(2)证明：由(1)知4840=4DBF,

又•••4ADB=乙BDF,