新高考数学高频考点题型归纳13函数与数学模型（教师版）

专题13函数与数学模型一、关键能力1.了解指数函数、对数函数及幂函数的增长特征，掌握求解函数应用题的步骤．2.了解函数模型及拟合函数模型；在同一坐标系中能对不同函数的图象进行比较．3.建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的)，要正确地确定实际背景下的定义域，将数学问题还原为实际问题．二、教学建议1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.三、自主梳理几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析：式一次函数型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)对数函数型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(2)指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax四、高频考点+重点题型考点一、函数的图像法与列表法例1-1．（阅读函数图像）（2020北京15）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【解析】∵用来评价治污能力，而是图像上两点连线的斜率，在上，甲的治污能力比乙强，故①对，时刻甲比乙强，时刻都低于达标排放量，∴都达标，甲企业在时刻治污能力不是最强．例1-2．（判断图像）（2015全国卷2，理11）如图，长方形的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数，则的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，f(x)＝tanx＋eq\r(4＋tan2x)，图象不会是直线段，从而排除A、C．当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝1＋eq\r(5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2eq\r(2)．∵2eq\r(2)<1＋eq\r(5)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))，从而排除D，故选B．例1-3．（阅读函数的列表）某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行计价，该地区电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)【答案】148.4【解析】据题意有0.568×50＋0.598×150＋0.288×50＋0.318×50＝148.4(元)．对点训练1．（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km，行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时．由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选D．对点训练2.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A．40万元 B．60万元C．120万元 D．140万元【答案】C【解析】甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40万元，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80万元，共获利40＋80＝120万元，故选C.对点训练3．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年后，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f(x)的图象大致为()【答案】D【解析】设某地区起始年的绿化面积为a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x年后，绿化面积g(x)＝a(1＋18%)x，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y，则y＝f(x)＝eq\f(gx,a)＝(1＋18%)x＝1.18x，因为y＝1.18x为底数大于1的指数函数，故可排除A，C，当x＝0时，y＝1，可排除B，故选D.对点训练4.2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级每月应纳税所得额元（含税）税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（）A．1800 B．1000 C．790 D．560【答案】C【解析】李某月应纳税所得额（含税）为：元，不超过3000的部分税额为元，超过3000元至12000元的部分税额为元，所以李某月应缴纳的个税金额为元．考点二、对数型函数例2.（2021全国甲理）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【解析】分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.【详解】由，当时，，则.故选：C.对点训练1．（2021·山东聊城市·高三三模）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（）A．104倍 B．105倍 C．106倍 D．107倍【答案】C【解析】根据已知函数关系式，设出未知数，解方程即可求出对应声强，然后可直接得结果.【详解】设一般正常人听觉能忍受的最高声强为，平时常人交谈时声强为，由题意得解得∴故选：C考点三、指数型函数例3.（2020山东6）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（） （）A．天B．天C．天 D．天【答案】B【思路导引】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果．【解析】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天，故选：B．对点训练1.（2015四川）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是小时．【答案】24【解析】由题意得，即，所以该食品在℃的保鲜时间是．考点四、二次函数型例4．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟【答案】B【解析】由题意可知过点（3，0．7），（4，0．8）（5，0．5），代入中可解得，∴，∴当分钟时，可食用率最大．对点训练1.（2020·北京高三期末）某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来天内,这种水果每箱的销售利润(单位:元)与时间,单位:天)之间的函数关系式为,且日销售量(单位:箱)与时间之间的函数关系式为①第天的销售利润为__________元;②在未来的这天中,公司决定每销售箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间的增大而增大,则的最小值是__________．【答案】12325【解析】①因为，，所以该天的销售利润为；②设捐赠后的利润为元，则，化简可得，．令，因为二次函数的开口向下，对称轴为，为满足题意所以，，解得．故答案为：①1232；②5．考点五、分式型函数例5.要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）【答案】160【解析】设该容器的总造价为元，长方体的底面矩形的长，因为无盖长方体的容积为，高为，所以长方体的底面矩形的宽为，依题意，得对点训练1.(2018上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．【解析】(1)当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；当时，若，即，解得（舍）或；∴当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．因此人均通勤时间，整理得：，则当，即时，单调递减；当时，单调递增．实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．考点六、函数模型选择例6.某公司为了实现2020年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.025x，y＝1.003x，y＝eq\f(1,2)lnx＋1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．(参考数据：1.003538≈5，e＝2.71828……，e8≈2981)【解析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10,1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.(1)对于y＝0.025x，易知满足①，但当x>200时，y>5，不满足公司的要求．(2)对于y＝1.003x，易知满足①，但当x>538时，y>5，不满足公司的要求．(3)对于y＝eq\f(1,2)lnx＋1，易知满足①.当x∈[10,1000]时，y≤eq\f(1,2)ln1000＋1.下面证明eq\f(1,2)ln1000＋1<5.因为eq\f(1,2)ln1000＋1－5＝eq\f(1,2)ln1000－4＝eq\f(1,2)(ln1000－8)≈eq\f(1,2)(ln1000－ln2981)<0，满足②.再证明eq\f(1,2)lnx＋1≤x·25%，即2lnx＋4－x≤0.设F(x)＝2lnx＋4－x，则F′(x)＝eq\f(2,x)－1＝eq\f(2－x,x)<0，x∈[10,1000]，所以F(x)在[10,1000]上为减函数，F(x)max＝F(10)＝2ln10＋4－10＝2ln10－6＝2(ln10－3)<0，满足③.综上，奖励模型y＝eq\f(1,2)lnx＋1能完全符合公司的要求．对点训练1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)C．y＝log2x D．y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x【答案】B【解析】由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.巩固训练一、单项选择题1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是（）A．一次函数模型B．幂函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型．x45678910y15171921232527答案：A解析：根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是（）ABCD答案：A解析：前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误．3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为（）m．A．400B．12C．20D．30答案：C解析：设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，0<<40，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400．4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知声音强弱的等级(单位：dB)由声音强度(单位：)决定．科学研究发现，与成线性关系，如喷气式飞机起飞时，声音强度为声音强弱的等级为；某动物发出的鸣叫，声音强度为，声音强弱的等级为．若某声音强弱等级为90dB，则声音强度为（）A．0.001 B．0.01 C．0.1 D．1【答案】A【解析】设，代入两点坐标即可得到函数表达式，进而解方程可得结果.【详解】解析依题意，设将代入，,解得，故.令，解得x=0.001.故选：A5．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0．5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）A．8B．10C．12D．13答案：B解析：设该企业需要更新设备的年数为x，，设备年平均费用为y万元，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝eq\f(100＋0.5x＋x（x＋1）,x)＝x＋eq\f(100,x)＋1．5，由基本不等式得y＝x＋eq\f(100,x)＋1．5≥2eq\r(x·\f(100,x))＋1．5＝21．5，，当且仅当x＝eq\f(100,x)，即x＝10时取等号．6．（2021·江苏南京市·高三三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数的10倍表示声强的声强级，单位是“分贝”，即声强的声强级是（分贝）.声音传播时，在某处听到的声强与该处到声源的距离的平方成反比，即（为常数）.若在距离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该声音（即声强不小于）的位置到声源的最大距离为（）A．100米 B．150米 C．200米 D．米【答案】B【解析】根据题设中的条件，列出方程，求得实数的值，再由题设中的条件，即可求解.【详解】由题意知，解得，又由，可得，根据人耳能听到的足校声强为，所以米.故选：B.二、多选题7.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：，）（）A．6 B．9 C．8 D．7【答案】BC【解析】设经过次过滤，产品达到市场要求，则，即，由，即，得，8.如图，某池塘里的浮萍面积（单位：与时间（单位：月）的关系式为，且；a，且．则下列说法正确的是（）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第6个月时，浮萍的面积会超过C．浮萍面积从蔓延到只需经过5个月D．若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则【答案】BC【解析】由题意可知，函数过点和点，代入函数关系式：，且；，且，得：，解得：，函数关系式：，函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项错误，当时，，浮萍的面积超过了，故选项正确，令得：；令得：，所以浮萍面积从增加到需要5个月，故选项正确，令得：；令得：；令得：，，故选项错误，三、填空题9．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.答案24解析由已知条件，得192＝eb，又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2，∴e11k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,192)))eq\s\up12(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(\f(1,2))＝eq\f(1,2).设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋b＝192e33k＝192(e11k)3＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝24.10．某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个．答案：4解析：设要同时开放x个窗口才能满足要求，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(N＋40M＝40K，①,N＋15M＝15K×2，②,N＋8M≤8Kx.③))由①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(K＝2.5M，,N＝60M，))代入③，得60M＋8M≤8×2．5Mx，解得x≥3．4．故至少同时开放4个窗口才能满足要求．三、解答题11．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元.若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R).(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年