2021年中考数学压轴题专项训练《四边形》（含解析）

2021年中考数学压轴题专项训练《四边形》

1.如图①，在矩形中，己知比'=8CR,点G为aI边上一点，满足BG=AB=6CM,动点£以1。物5的

速度沿线段/从点6移动到点G,连接AE,作EFVAE,交线段切于点F.设点£移动的时间为"s),

夕的长度为y(cm),y与/的函数关系如图②所示.

(1)图①中，CG=2cm,图②中，m=2；

(2)点厂能否为线段力的中点？若可能，求出此时r的值，若不可能，请说明理由；

(3)在图①中，连接/尸，AG,设AG与EF交于点、H,若4G平分4力郎的面积，求此时t的值.

CG=2cm,

■:EFLAE,

:.NAE/NFEC=9Q°,且//微■/胡6=90°,

:./BAE=/FEC,且NB=NC=90°,

:.XABEsXECF、

.AB_BE

*'EC=CF"

£=6,

BE—6cm,CE—2cm,

.6_6

*'7=CF

CF=2cm,

.*./»=2,

故答案为：2,2；

(2)若点尸是切中点，

:.CF=DF=3cm,

,：l\ABEs[\ECF,

.ABBE

••,

ECCF

.6=8-EC

••而二3

_8g]8=0

•.,△=64-72=-8<0,

...点尸不可能是切中点；

(3)如图①，过点〃作于点机

'ZC=90a,HMLBC,

JIM//CD,

.fXEFC,

EH二EH

'W"K

'/C平分△[即的面积，

.EH=FH,

.EM=MC,

•BE=t,EC=8-t,

.EM=CM=\--t,

2

.MG=CM-CG=2--,

2

.AB_BE

EC=CF'

6_t

■打不

9

a=8t-t

6

,EUC,EH=FH,

.Jg[g8t-t2

212

•AB=BG=6,

.N45=45°,旦HMLBC,

.ZHGM=NGHM=45°,

02/29

2

.-.8t-t^2,A,

122

，t=2或t=12,且tW6,

2.问题提出:

(1)如图1,的边/在直线〃上，过顶点4作直线加〃〃，在直线m上任取一点〃连接敛CD,

则的面积=的面积.

问题探究：

(2)如图2,在菱形位?(力和菱形必鹤中，BG=&,ZA=60°,求△戊方的面积；

问题解决：

(3)如图3,在矩形力腼中，AB=12,BC=10,在矩形四切内(也可以在边上)存在一点只使得△

力跖的面积等于矩形力质的面积的看，求△/!如周长的最小值.

5

解：问题提出：

(1)•.•两条平行线间的距离一定，

；.△力优与△戚同底等高，即的面积=/\圾7的面积，

故答案为：—；

问题探究：

(2)如图2,连接加,

图2

•.•四边形4式四边形附石是菱形，

：.AD//BC,BC//EF,AD=AB,BG=BE,

：.ZA=ZCBE=eO0,

，△力的是等边三角形，而'是等边三角形,

：.ZABD=ZGBE=e>Oa,

：.BD//GE,

(3)如图3,过点尸作加〃丝，交/〃于点£,

图3

9

••,△/秋的面积等于矩形力腼的面积的叁

5

19

.,.—X12X^=—X12X10

25

：.AE=8,

作点力关于用的对称点4,连接49交我、于点R此时△4分周长最小,

/E=AE=89

：.AA=16,

•MVA7A12+AB2~V256+144—20,

04/29

，△/以周长的最小值=ARA冰PB=A'P^PB+AB=20+12=32.

3.(1)方法感悟：

如图①，在正方形四切中，点反尸分别为〃G6c边上的点，且满足N必产=45°,连接用将△血应

绕点4顺时针旋转90°得到△?1比,易证厘从而得到结论：DE+BF=EF.根据这个结论，

若G9=6,DE=2,求用'的长.

(2)方法迁移：

如图②，若在四边形被力中，AB=AD,ZB+ZP=180°,E、b分别是及7、5上的点，且/瓦/=£/

BAD,试猜想如BF,"之间有何数量关系，证明你的结论.

(3)问题拓展：如图③，在四边形4a®中，AB=AD,/屏/4%=180°,E、尸分别是边比；必延长

线上的点，且/£4尸=•1•/历仞，试探究线段跖、BE、外之间的数量关系，请直接写出你的猜想(不必

说明理由).

解：(1)方法感悟:

•将△/应绕点4顺时针旋转90°得到△H6G,

:.GADE=2,

■：△GA3XEAF

：.GF=EF,

；36,DE=2

:.CE=4,

..•第=虚+公，

.,.靖=(8-跖)，16,

:.EF=5；

(2)方法迁移:

DE+BF=EF,

理由如下：如图②，将△/应、绕点/I顺时针旋转90°得到△力做

AD

图②

由旋转可得，AH=AE,BH=DE,/1=/2,ND=/ABH,

'：/EAF=X/DAB,

2

Z./W=/1+/3=N2+/3=」/胡。，

2

ZHAF=AEAF,

■:NAB小NABF=N济NABF=180°,

点队B、尸三点共线，

在△45F和△/5中，

'AH=AE

<ZHAF=ZEAF

AF=AF

:.MAE阳4AHF(SAS),

:.EF=HF,

:.EF=DE+BF.

(3)问题拓展：

EF=BF-FD,

理由如下：在比'上截取加加，

班N/〃C=180°,ZADC+ZADF=180°,

06/29

:・/B=/ADF,&AB=AD,BH=DF,

:.XAB的XADFQSAS)

:・/BAH=/DAF,A/f=AD,

,/AEAF=—ABAD,

2

ADAE^ABAH=—ABAD,

2

AHAE=—ZBAD=AEAF,且/£=4£,AH=AD,

2

△为国△刈£(必S)

:.HE=EF,

：.EF=HE=BE-BH=BE-DF.

4.如图1,在?ABCD中，AB=3cm,BC=^cm,ACLAB,切沿47的方向匀速平移得到△外瓶速度为1CR/S；

同时，点。从点C出发，沿龙方向匀速移动，速度为1CR/S,当财停止平移时，点。也停止移动,

如图2,设移动时间为C(s)(0<<4),连结A0,,隔，解答下列问题：

(1)当力为何值时，PQ//

(2)当/为何值时，/。@=45°?

(3)当£为何值时，PQJL胸

A^VBC2-AB2=4OT>

'：MN//AB,PQ//MN,

：.PQ//AB,

史CQ

•.•—,

CACB

.4-tt

••—,

45

・・・"“=—20s

9

(2)如图2,过点0作QEX.AC,则QE"AB,

.CQ_CE_QE

••旗a而

.t二CE二QE

•亏TT，

43

：.CE=—^QE=—t,

55

U：ZCPQ=45°,

3

：.PE=QE=—t,

5

/+—z+—r=4,

55

t=­s

3

(3)如图2,过点P作PRLBC于F点,过点"作物/_L8G交加延长线于点从

・・・四边形月即是矩形，

:.PM=FH=3,

•・•/月=N4=90°,4ACB=4PCF,

:•△ABCsXFPC,

.PF_CF_PC

"，AB=AC

.PF_CF二4-t

-一"厂5

:PF—12-31,Cp16-4t

55

9+9+

:,QH=3-FQ=3-qCF-C6=^3_,

5

■:PQLMQ,

：.APQF+ZMQH=^Q,且NPQF+NFPQ=9Q°,

：.AFPQ=ZMQH,且/%>=///=90°,

.PFQH

••而而

08/29

12-3t9+9t

5=5

16-4t=12-3t

-?--t——

5.问题背景：如图1,在正方形4%力的内部，作/DAE=』ABF=/BCG=4CDH,根据三角形全等的条件,

易得△的比△仍吗△8C侬△CX”,从而得四边形£7物是正方形.

类比探究：如图2,在正a1的内部，作Nl=N2=/3,AD,BE,"•两两相交于〃，E,厂三点(。，

E,厂三点不重合).

(1)/XABD,/\BCE,是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；

(2)△龙尸是否为正三角形？请说明理由；

(3)如图3,进一步探究发现，△力刃的三边存在一定的等量关系，设劭=a,AD=b,AB=c,请探索

图1图2图3

(1)IXABI运XBC酌XCAF：理由如下：

•.•△49C是正三角形，

：.NCAB=NABC=NBCA=6Q°,AB=BC=AC,

又"1=/2=/3,

/ABg/BCE=ZCAF,

rZABD=ZBCE=ZCAF

在AABD、位和△。尸中，AB=BC=CA，

Z1=Z2=Z3

/\ABD^/\BCE^/\CAFCASA)；

(2)△叱是正三角形；理由如下：

XAB的XBC曜XCAF,

：.NADB=4BEC=/CFA,

：.4FDE=ADEF=NEFD,

.•.△娇是正三角形；

(3)1=才+&加氏作4£1加于6,如图所示：

•・•△〃£尸是正三角形，

49c=60°,

在Rt△4％中，DG=—b,AG=®b,

22

在RtZU8G中，c=(a+—Z?)2+(返8)2,

22

/./=才+瑟"2.

6.如图，在四边形力发力中，然是对角线，/ABC=/CDA=90°,BC=CD,延长及?交力〃的延长线于点日

(1)求证：AB=AD；

(2)若AE=B计DE,求/员1C的值；

(3)过点£作眦、〃力8,交力。的延长线于点机过点材作MHL0G交〃。的延长线于点R连接必设

加=小点。是直线四上的动点，当以％产。的值最小时，点。与点“是否可能重合？若可能，请说明理

由并求此时机的值(用含a的式子表示)；若不可能，请说明理由.

YBC=CD,AC=ACf

・••RtZkAK^Rt△1%(/企).

：.AB=AD.

(2)解：*：AE=BE+DE,

又•：AE=AD^DE,

：.AD=BE.

•：AB=AD,

：.AB=BE.

：.ZBAD=ZBEA.

・・・NA5C=90°,

10/29

AABAD=^°.

•・•由（1）得△第荏△49C,

：.ZBAC=ZDAC.

・・・N为—22.5°.

（3）解：当航＞如的值最小时，点。与点£可以重合，理由如下:

•:ME"AB,

・・・N4?C=N掰%=90°,NMAB=/EMA.

■:MPIDC,

:・/MPC=9G.

：.ZMPC=ZADC=900.

J.PM//AD.

:・/EAM=/PMA.

由（1）得，RtAJ^C^RtAJZ?a

:・/EAC=/MAB,

・•・N£%=/AMP.即加1平分4PME.

又.：MP_LCP,MELCE,

:・PC=EC.

设N必#=a,则/物々a.

在Rl△力跖中，N跖4=90°-2a.

在Rt△砸'中，ZECD=90°-/应4=2Q.

'：PC=EC,

：./PEB=/EPC=/ECD=a.

:・ZPED=/BEAQPEB=9G-a.

■:MEHAB,

:./QED=/BAD=2G.

当N/®7=NQ£〃时，

*：4PDE=/QDE,DE=DE,

：./\PDE^j\QDECASA).

：.PD=DQ.

即点户与点0关于直线月夕成轴对称，也即点〃、点£、点户关于直线力夕的对称点。，这三点共线,

也即,歌〃。的值最小时，点。与点£重合.

因为当/a2HNQ物时，90°-a=2a,也即a=30°.

所以，当N4切=60°时，例外内取最小值时的点0与点片重合.

此时航的最小值即为ME+PE.

YPC=EC,"4PCB=4ECD,CB=CD,

：.l\PCB^/\ECD(SAS).

：.ZCBP=ZCDE=90°.

:./CBR/ABC=18C.

：.A,B,尸三点共线.

当/力做=60°时:在△网为中，

NPAE=/PEA=6G°.

：.ZEPA=60°.

・・・△加为等边三角形.

■:EB工AP,

:.AP=2AB=2a.

：.EP=AE=2a.

・・・N£%=N£4Q30°,

:・EM=AE=2a.

."比"。的最小值为4a

7.已知：如图，在正方形/以力中，点6在边上运动，从点力出发向点〃运动，到达〃点停止运动.作

12/29

射线5并将射线*绕着点C逆时针旋转45°,旋转后的射线与/〃边交于点凡连接跖

(1)依题意补全图形；

(2)猜想线段〃区EF,加的数量关系并证明；

(3)过点。作CGJL砂，垂足为点C,若正方形力强的边长是4,请直接写出点C运动的路线长.

解：(1)补全图形如图1所示：

(2)，熨段DE,EF,跖的数量关系为：EF=D/BF.理由如下:

延长/〃到点耳慢DH=BF,连接烈如图2所示：

・・•四边形/题是正方形，

ABCD=Z.ADC=ZB=90°,BC=DC,

：.ZCDH=90°=ZB,

<DH=BF

在△6ZW和△恸中，ZCDH=ZB»

DC=BC

:.△CDgXCBF〈SAS').

:.CH=CF,4DCH=4BCF.

・・・N£CF=45°,

:・/ECH=/ECD^/DCH=4ECI>4BCF=蜴°.

:"ECH=/ECF=450.

rCH=CF

在和△aF中，ZECH=ZECF，

CE=CE

•••△欧修(夕IS).

：.EH=EF.

■:E4DE+DH,

:・EF=DE+BR

(3)由(2)得：XEC的XECFQSAS),

:・/CEH=/CEF,

■:CDIAD,CG工EF,

:.CD=CG=4,

.•.点G的运动轨迹是以C为圆心4为半径的弧DB,

图1

8.如图，在正方形力版中，户是边附上的一动点(不与点6,C重合)，点6关于

直线力夕的对称点为反连接力£连接膜并延长交射线/P于点R连接杯1.

(1)若NBAP=a,直接写出N45F的大小(用含a的式子表示)；

(2)求证：BF1DF；

(3)连接5用等式表示线段加；BF,。,之间的数量关系，并证明.

14/29

(1)解：由轴对称的性质得：ZEAP=ZBAP=a,AE=AB,

・・,四边形力颇是正方形，

：.ZBAD=90°,AB=AD,

：.ZDAE=90°-2a,AD=AE,

：.AADF=Z.AED=—(1800-4DAE)=—(90°+2a)=45°+a；

22

(2)证明：・・•四边形力物是正方形，

：.ZBAD=^0°,AB=AD,

・・•点E与点、8关于直线"对称，

:・/AEF=/ABF,AE=AB.

：.AE=AD.

：.ZADE=ZAED.

'：ZAE/AZAEF=180°,

・••在四边形4?/“中，NADE+/ABF=180°,

:・/BF>NBAD=18G,

:./BFD=90°

:・BFLDF，、

(3)解：线段"；BF,⑦之间的数量关系为/尸=«叱例理由如下:

过点8作BMLBF交正于点M,如图所示：

•・,四边形4?⑦是正方形，

：.AB=CB,ZABC=90°,

:・/ABM=/CBF,

・.•点"与点〃关于直线0p对称，/BFD=90°,

:./MFB=/MFE=45。,

•、是等腰直角三角形，

:・B代BF,FM=y[2^

'AB=CB

在△?1,监和中，ZABM=ZCBF，

BM=BF

:.△AMB^XCFB(弘S),

:.助f=*

・：4F=E附加,

:.AF=MBF+CF.

9.如图1,已知等腰口△/园中，E为边AC上一点,过£点作牙工儿?于尸点，以为边作正方形，且4C

=3,EF=g.

（1）如图1,连接阴求线段〃■的长;

（2）将等腰RtZU加'绕点旋转至如图2的位置，连接质材点为R?的中点，连接轨；，监；求MC与版

关系♦

解：（1）如图1,是等腰直角三角形，AC=3,

:.AB=3M，

过点C作a八四于M,连接CF,

Z.CM=AM=—AB=冬巨,

22

四边形47仔'是正方形,

:.AF=EF=M，

：.MF=AM-AF=^^

2

在RtZXC监1中，CF=

(2)CM=FM,CMLFM,

理由：如图2,

16/29

过点2?作阴〃绪交融/的延长线于"连接CECH,

・・•四边形4G即是正方形,

：.EF=AF

•・•点M是缈的中点，

:.BM=EM,

在明和△笈妒中，

<ZBHM=ZEFM

,NBMH=NEMF，

BM=EM

•••△笈仍上/\以0(445),

：.MH=MF,BH=EF=AF

•・,四边形HG旗是正方形，

：.ZFAG=90°,EF//AG,

,:BH〃EF,

:,BH〃AG,

：.ZBA(^ZABH=180°,

：.ZCB/^ZASaZBA&ZCAG=180°.

,•♦△/死是等腰直角三角形，

：.BC=AC,N47O=N的0=45°,

：.ZCB/fi-ZCAG=90°,

9：ZCAG+ZCAF=90°,

：.2CBH=/CAF,

在方和中，

'BH=AF

,ZCBH=ZCAF，

BC=AC

:ABCgAACF(SAS),

：.CH=CF,ABCH^AACF,

：.NHCF=NBCmNBCF=NAC^NBCF=9G°,

...△凡7/是等腰直角三角形，

,:MH=MF,

：.CM=FM,CMVFM-,

10.如图将正方形/版绕点1顺时针旋转角度a(00<a<90°)得到正方形CD'.

(1)如图1,B'C与4c交于点M,CD'与力。所在直线交于点M若MN〃B'D',求a；

(2)如图2,—交于点Q,延长^与及7交于点只当a=30°时.

①求/〃40的度数；

②若48=6,求々的长度.

图1图2

解：(1)如图1中，

,JMN//B'D',

：.ACMN=4CB'D'=45°,ACNM=4CD'B'=45°,

:.乙CMN=4CNM,

:.CM=CN,

•：C'B'=C〃'，'

:.MB'=N»,

•：AB'=AD',ZAB'—NAD'A'=90°,

.♦.△AB'，侬N(SAS),

：.AB'AM=AD'AN,

VAB'AD'=90°,ZMV=45°,

AB'AM=AD'4222.5°,

胡C=45°,

ABAB'=22.5°,

18/29

a=22.5°.

/.RtAW丝Rt△/初(血)，

C.ZQAB'=NQAD,

■:NBAB'=30°,/以A90°,

：.AB'49=30°,

：.AQAD=—AB'42=30°.

2

②如图2中，连接4只在力8上取一点£，使得4£=跖连接品设阳=a.

,:NAB—/AB'-90°,AP^AP,AB=AB',

；.Rt△初陷RtZ\W(HL),

：.ABAP=£PAB'=15°,

'：EA=EP,

:.NEA—NEPA=15°,

即三/劭n/94=30°,

".PE=AE=2a,BE=y[^a,

■：AB=6,

；.2a+«a=6,

；.a=6(2-V3).

：.PB=&(2-5/3),

：.PC=BC-PB=6-6(2-V3)=673-6,

'：ACPQ^ABPB'=180",/BAB'+/BPB'=180°,

：.ACPQ=ABAB'=30°,

PC返=*4西

2

11.已知，如图1,在边长为2的正方形/腼中，〃是边四的中点，点?在边也上，过点4作在让品

分别交线段CD、切于点G、〃(点G不与线段切的端点重合).

(1)如图2,当G是边切中点时，求4尸的长；

(2)设/Q=x,四边形愀的面积是y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

解：（1）是4?的中点，A42,

：.AE^—AB=].,

2

同理可得DG=\,

•:AGLEF,

:・/AHF=/HAR/AFH=90°,

•・,四边形4?必是正方形，

・・・N»%=90°=NDAG+NAGD,

:./AFH=/AGD,

■:/EAF=/ADG=9¥,

:、XEAFSMADG,

AAE=AD即上上

AFDGAF1

尸得；

（2）如图1,由（1）知：XEAFsXADG、

1A_'D

B

图1

20/29

AAE=AD即上上

AFDGxDG

:.DG=~2x,

■:/HAF=/DAG,

NAHF=NADG=90°,

・・・/AHFsXADG,

.AHAFJH

"AD-AG

一皿:「x—典

-2V22+(2X)22X;

2xx2x2x2

・・y=S^AOG-S〉ANt，

=/，2x-2一工x2，

3

Cx

图2

：.ZAHB=90°,

・・・NE1仁45°,

：.ZAEH=45°,

，”=4E=1,

：.0<x<l；

3

关于x的函数关系式为：尸2x——J^(OVxVl)；

2(")

(3)如图3,过〃作加_1力£交BC于M,连接右队延长£4至此使郴=。力，连接"V；

N

D

匚

BC

图3

设CM=a,则AN=a,

•:AD=CD,4NAD=』DCM=9Q°,

:.XNAD^/XMCD(SAS),

：.ZADN=ZCDMfDN=DM,

•:EFLAG,DMA.AG,

：.EF//DM,

EDM=/FED=45。,

ADE"CDM=/EDM=蜴°,

・・・/NDA+/ADE=ZNDE=/EDM,

°：ED=ED,

：./\NDE^/\MDE(必S),

:,EN=EM=8I,

、：BM=2-a,

在Rt△原V中，由勾股定理得：城+)/=£林,

・，・1'+(2-a)2=(54-1)

_2

a~3)

ZAEI^ZEAG=ZEAG^ZDAG,

：.AAEF=4DAG=ZCDM,

tanZAEF=tanZCDM,

.AF_CM

••~~~~—,

AECD

2_

•••空3

~^2

12.如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

22/29

(1)概念理解:如图2,在四边形4?口中，AB=AD,问四边形四切是垂美四边形吗？请说

明理由;

(2)性质探究:如图1,四边形/6＜笫的对角线点、6〃交于点。，ACVBD.试证明：姐+)=9+初;

(3)解决问题:如图3,⑵中，Z^6S=90°,/CL"且"'=4；,4n四且熊=48,连结龙、BG、

GE.己知40=4,16=5,求而1的长.

图1图2图3

解：(1)四边形/a®是垂美四边形,

理由如下：连接力GBD,

图2

'：AB=AD,

：.点A在线段被的垂直平分线上，

■:C4CD,

...点。在线段如的垂直平分线上，

是线段切的垂直平分线，

/•四边形"及力是垂美四边形；

(2)•:AC1BD,

：.ZAOD=AAOB=ABOC=^COD=^a,

由勾股定理得，A6+BC=AG+DG+BG+C。,

AE+Off=AG+BG+CG+DG,

：.Aff+BC=AS-+Cff^

故答案为：AE+C廿=A4+BC；

(3)：/。6=/胡£=90°,

:.NCAG^/BAC=NBAE+/BAC,即/GAB=ZCAE,

在△窈6和1中，

'AG=AC

<NGAB=NCAE，

AB=AE

：./\GAB^/\CAE(必S),

ZABG=Z.AEC,又N4mN4%=90°,

：.NABMNAWE=90°,即龙_L6G,

...四边形府是垂美四边形，

由(2)得，8+就=%+*,

'：AC=\,4?=5,

:.BC=3,CG=4®,8£=5料，

.•.蜃=Cd+M您=73,

••V73-

13.如图1,四边形连接力7,NACB=NBEC=90°,〃在四上，连接切，NACD=NABC,BE=CD.

(1)求证：四边形〃以为矩形；

(2)如图2,连接然丝交优于点0,若tan/月=2,在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接

写出图中所有长度与旄的长度相等的线段.

EE

图1)

((图2)

(1)证明：・・・//空=90°,

・・・/力+/力吸=90°,

♦:/ACD=/ABC,

：.ZA^ZACD=90°,

AZADC=90°,

:.NBDC=18Q°-90°=90°=ABEC,

24/29

在Rt△腼和Rt△鹿中，i，

lCD=BE

:.RSBCD^RtACBE(瓶)，

：.BD^CE,

'：CD=BE,

...四边形。监是平行四边形，

又庞C=90°,

...四边形侬£为矩形：

(2)解：图中所有长度与舟〃的长度相等的线段为〃'二优三加=切=庞三泥4〃理由如下:

由。1)得：四边形"麻■为•矩形，NADC=90°,

：.BC=DE,OD=OE,OB=OC,

0C=0B=0D=OE=—BC,

2

'：AADC=AACB=^°,

：.CD=2AD,BC=2AC,

VAD2+AC2":VAD2+(2AD)娓m

：.DE=BC=2AC,

：.0C=0B=0D=0E=费BC=AC=倔〃，

：.AC=^0C=0B=0D=0E=yf^AD.

14.如图在直角坐标系中，四边形力5(力为正方形，力点的坐标为(a,0),〃点的坐标为(0,b),且a,6

满足(a-3)2+